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湘教版数学8年级上册精做课件授课教师：.班级：8年级（）班.时间：.章末复习第2章分式湘教版八年级数学第2章分式全章知识点总结本章是初中代数核心计算章节，承接整式运算，是后续分式方程、反比例函数、代数式化简求值的基础。本章重点掌握分式概念、有意义/值为0的条件、分式基本性质、约分通分、分式四则运算、整数指数幂、分式应用题。本章计算陷阱多、公式细碎、易错点密集，是考试基础分值必考章节。2.1分式的概念2.1.1分式的定义1.严格定义一般地，如果A、B是整式，且B中含有字母，同时B≠0，那么式子$$\frac{A}{B}$$叫做分式。其中A为分子，B为分母。2.分式与整式的区别整式分母不含字母；分式分母必须含字母（判断分式的唯一标准）。例：$$\frac{1}{x}$$、$$\frac{x+1}{x-2}$$是分式；$$\frac{x}{2}$$、$$\frac{1}{3}$$是整式。2.1.2分式的三种核心条件（必考选择、填空）1.分式有意义：分母$$B\neq0$$2.分式无意义：分母$$B=0$$3.分式的值为0（重中之重）必须同时满足两个条件：分子A=0且分母B≠0。易错绝杀点：只令分子为0，忘记排除分母为0的取值，直接扣分！2.1.3分式的符号性质$$\frac{-a}{b}=-\frac{a}{b}，\frac{a}{-b}=-\frac{a}{b}，\frac{-a}{-b}=\frac{a}{b}$$符号口诀：一负则负，两负则正。分子、分母、分式本身三处符号，任意两处变号，分式值不变。2.2分式的基本性质本章所有约分、通分、变形的唯一依据。1.基本性质内容分式的分子与分母同乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变。$$\frac{A}{B}=\frac{A\times C}{B\times C}，\frac{A}{B}=\frac{A\div C}{B\div C}\ \ (C\neq0)$$2.关键前提C是整式且C≠0，做题默认取值使原式有意义。2.2.1分式的约分1.定义把一个分式的分子、分母的公因式约去，叫做分式的约分。2.最简分式分子、分母没有公因式的分式，叫做最简分式。计算最终结果必须化为最简分式。3.约分步骤先因式分解（分子分母全部拆解），再找准公因式，最后约去公因式。2.2.2分式的通分1.定义把几个异分母分式化为与原来分式相等的同分母分式，叫做通分。2.最简公分母（必考）取各分母所有因式的最高次幂的积作为最简公分母。3.通分用途分式加减运算的前置步骤，异分母分式必须先通分，再加减。2.3分式的四则运算2.3.1分式的乘除1.乘法法则：分子乘分子，分母乘分母$$\frac{A}{B}\cdot\frac{C}{D}=\frac{A\cdot C}{B\cdot D}$$2.除法法则：除以一个分式=乘这个分式的倒数$$\frac{A}{B}\div\frac{C}{D}=\frac{A}{B}\cdot\frac{D}{C}$$满分技巧：先因式分解、先约分、后相乘，减少大数计算错误。2.3.2分式的乘方$$\left(\frac{A}{B}\right)^n=\frac{A^n}{B^n}$$（n为正整数）分子分母分别乘方，符号跟随乘方规律。2.3.3分式的加减1.同分母加减：分母不变，分子直接相加减$$\frac{A}{B}\pm\frac{C}{B}=\frac{A\pm C}{B}$$2.异分母加减：先通分，化为同分母，再加减$$\frac{A}{B}\pm\frac{C}{D}=\frac{AD\pm BC}{BD}$$核心禁忌：分式加减不能直接分子分母分别加减！2.3.4分式混合运算（考试大题必考）1.运算顺序：先乘方→再乘除→最后加减，有括号先算括号内；2.全程优先因式分解、提前约分，简化计算；3.最终结果必须是最简分式或整式；4.化简求值题型：代入数值必须保证原式所有分母不为0。2.4整数指数幂2.4.1负整数指数幂（重点）$$a^{-p}=\frac{1}{a^p}\ \ (a\neq0，p为正整数)$$口诀：负指数变倒数，指数变正数。底数翻转、指数变号。例：$$2^{-2}=\frac{1}{4}，x^{-1}=\frac{1}{x}$$2.4.2零指数幂$$a^0=1\ \ (a\neq0)$$易错点：0的0次幂无意义。2.4.3指数幂所有运算公式（全适用）同底数幂乘除、幂的乘方、积的乘方，对正负整数指数全部适用。2.4.4科学记数法（小数型）极小小数表示：$$a\times10^{-n}$$（$$1\le|a|<10$$，n为正整数）用于表示微米、纳米、微小数据，考试填空高频。2.5分式方程及应用2.5.1分式方程定义分母中含有未知数的方程叫做分式方程。2.5.2分式方程解法（四步法）1.化：两边同乘最简公分母，化为整式方程；2.解：解常规整式方程；3.验：必须检验（分式方程专属步骤，不检验直接扣分）；4.答：写最终解。2.5.3增根（重难点）1.增根定义使分式方程分母为0的整式方程的解，叫做增根。2.核心结论分式方程无解两种情况：①整式方程无解；②整式方程有解，但全部是增根。2.5.4分式方程应用题常见题型：工程问题、行程问题、销售利润问题、效率问题。答题关键：必须双重检验——检验方程解、检验是否符合实际题意。第2章满分必考易错总汇总1.分式值为0题型，只令分子为0，忽略分母≠0，必错；2.混淆分式、整式，只看分母是否含字母，与分子无关；3.分式加减乱约分、直接分子分母相加减，运算规则误用；4.负指数幂运算不翻转底数、符号出错；5.解分式方程忘记检验增根，大题直接扣步骤分；6.化简求值代入时，取值使原式分母为0，属于无效代入；7.通分、找最简公分母漏因式，导致计算全盘错误。第2章考前速背公式清单1.分式判定：分母含字母为分式；2.值为0条件：分子0、分母非0；3.乘除：乘法直接乘，除法变倒数；4.加减：同底直接加减，异底先通分；5.指数：$$a^{-p}=\frac{1}{a^p}，a^0=1(a\neq0)$$；6.分式方程：去分母化为整式方程，务必验根。知识结构
分式
概念
基本性质
运算
分式方程
约分
通分
分式的加法和减法
分式的乘法、除法和乘方
整数指数幂
最简分式
知识回顾
知识点1 分式
分式有意义的条件
分式无意义的条件
分式值为零的条件
g ≠ 0
g = 0
f = 0，g ≠ 0
　　设 f，g 都是多项式，其中 g 不为零多项式. 我们把 f 除以 g 的结果记作 ，称 是分式，其中 f 称为分子，g 称为分母.
分式的基本性质：分式的分子与分母都乘同一个不为 0 的多项式(或除以它们的一个不为 0 的公因式)，所得分式与原分式________.
知识点2 分式的基本性质
相等
最简分式：分子与分母没有公因式的分式.
约分：把一个分式的分子与分母的 ________ 约去.
通分：利用分式的基本性质，把几个异分母的分式化成同分母的分式.
公因式
知识点3 分式的运算
先乘方，再乘除，然后加减.
若有括号，先算括号里面的.
加、减法：
乘、除法：
乘方：
混合运算：
知识点4 整数指数幂
同底数幂的除法：
零次幂：
负整数指数幂：
a×10 –n (1 |a| < 10，n 是正整数)
科学记数法：
知识点4 整数指数幂
整数指数幂的基本性质：
1. am·an = am+n (a ≠ 0，m，n 都是整数)
2. (am)n = amn (a ≠ 0，m，n 都是整数)
3. (ab)n = an·bn (a ≠ 0，b ≠ 0，n 是整数)
4. (a ≠ 0，b ≠ 0，n 是整数)
知识点5 可化为一元一次方程的分式方程
1. 分式方程：分母中含未知数的方程叫作分式方程.
2. 分式方程的解法：
分式方程
去分母
整式方程
求解
x = m
x = m 是分式方程的解
目标
最简公分母不为0
检验
整合1 两个概念
概念1 分式
1.［2025邵阳期末］下列各式：；；； ，属于分式
的有( )
B
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
返回
概念2 分式方程
2.下列方程中，是分式方程的是( )
B
A. B.
C. D.
返回
整合2 一个性质——分式的基本性质
3.若是一个最简分式，则 可以表示的式子是( )
B
A. B.
C. D.
返回
4.下列各式变形正确的是( )
D
A. B.
C. D.
返回
5.将克蔗糖完全溶于克水中，配制成蔗糖水，蔗糖水的浓度为 ，
若， 同时扩大为原来的2倍，且蔗糖能完全溶于水中，则蔗糖水浓度
的值( )
A
A.不变 B.缩小为原来的
C.扩大为原来的2倍 D.扩大为原来的4倍
返回
6. 将分式与 通分，最简公分母是_______________，
分式变为__________，分式 变为_ _________.
返回
整合3 两种运算
运算1 整数指数幂运算
7.随着我国科技迅猛发展，电子制造技术不断取得突破性成就，电子元
件尺寸越来越小，在芯片上某种电子元件大约占 .将
用科学记数法表示应为( )
C
A. B.
C. D.
返回
8.下列运算正确的是( )
D
A. B.
C. D.
返回
9.计算：
（1） ;
解：原式 .
（2） .
解：原式
.
返回
运算2 分式的运算
10.［2024重庆中考］计算： .
解：原式 .
返回
11.［2024青岛中考］先化简，再从 ，0，3中选一个
合适的数作为 的值代入求值.
解：原式 .
易知，1，，故可选择或3.当时，原式 ；
当时，原式 .
（选择一个数代入即可）
返回
整合4 一种解法——分式方程的解法
12.解分式方程：
（1）［2024陕西中考］ ；
解：方程两边同乘，得 ，
去括号，得，移项、合并同类项，得 ，检验：
当时，，所以原分式方程的解为 .
（2） .
解：方程两边同乘，得 ，
整理，得，解得.检验：当时， ，
所以 不是原分式方程的解，所以原分式方程无解.
返回
整合5 一种应用——分式方程的应用
13. ［2025长沙月考］第一届全国青少年三大球运动会于
2024年11月20日至28日在长沙市和岳阳市举行.长沙市南雅中学作为本次
三大球运动会的承办地之一，承担了足球赛事.在筹备期间，为了确保
赛事顺利进行，学校准备一次性购买若干个足球和排球，用480元购买
足球的数量和用390元购买排球的数量相同，已知足球的单价比排球的
单价多15元.
（1）足球和排球的单价各是多少元？
解：设足球的单价是元，则排球的单价是 元，依题意得
，解得，经检验， 是原方程的解且符合题意，
所以 .
答：足球的单价是80元，排球的单价是65元.
（2）根据学校实际情况，需一次性购买足球和排球共100个，但要求其
总费用不超过7 550元，那么学校最多可以购买多少个足球？
解：设学校购买个足球，则购买 个排球，
依题意得，解得 .
因为为正整数，所以 的最大值为70.
答：学校最多可以购买70个足球.
返回
整合6 两种思想
思想1 整体思想
14.已知，则 的值是( )
C
A.1 B.
C.0.5 D.
返回
15.若，则 的值为( )
A
A. B.
C.5 D.
返回
思想2 消元思想
16.已知，，且，求 的值.
解：由,,得 解得
又因为,所以原式 .
返回
整合7 三个易错点
易错点1 同分母的分式相加减容易漏掉分母，与解方程的去分母混淆
17.计算： ___.
2
返回
易错点2 分子相减易忽视分数线有括号作用
18.计算 的结果是_______.
返回
易错点3 解分式方程后忽略根的检验
19.解方程： .
解：去分母，得 ，
去括号，得，解得 .
经检验， 不是原分式方程的解，所以原方程无解.
返回
课堂小结
分式方程的解
分式方程
实际问题
实际
问题
的答案
目标
分式
目标
类比分
数性质
分式基本性质
类比分
数运算
分式的运算
列式
整式方程
去分母
解整式方程
整式方程的解
检验
列方程

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