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第1章二次函数单元提升测试卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．下列函数是二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
2．若是二次函数，则的值为（ ）
A． B．4 C． D．
3．对于二次函数，下列结论正确的是（ ）
A．当时，有最大值为7 B．图象的对称轴是直线
C．图象的对称轴是直线 D．当时，随的增大而增大
4．已知点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
5．用12米长的围栏围成一边靠墙（墙足够长）的矩形菜园，设垂直于墙面的边长为x米，矩形的面积为y平方米，根据题意，可列式为（ ）
A． B． C． D．
6．将抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线解析式是（ ）
A． B．
C． D．
7．如图，菱形的顶点在抛物线上，其中点为坐标原点，对角线在轴上，且．则菱形的面积是（ ）
A．18 B． C．9 D．
8．如图1，在中，，．动点M从点B出发，以的速度沿折线向终点C运动；动点N同时从点B出发，以的速度沿边向终点C运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为，的面积为，y与t之间的函数图象如图2所示，则下列结论正确的是( )
①；②的最大面积a为；③当时，；④当t为和时，的面积为．
A．②③ B．①③ C．①②③ D．①②④
9．函数是描述现实世界变化规律的数学模型，运用函数知识可以解决很多现实问题．如某型号飞机着陆后滑行的距离s（m）关于滑行的时间t（s）的函数关系式是．请结合函数图象，用数学眼光判断下列关于该运动情况的描述，其中错误的是（ ）
A．飞机着陆后前滑行的距离为
B．飞机着陆后滑行才能停下来
C．飞机滑行过程中，最后滑行了
D．飞机滑行过程中，最后滑行用时
10．二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③；，其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．）
11．某化肥厂10月份生产某种化肥，如果11、12月的月平均增长率为x，则12月份化肥的产量与x之间的函数关系式为______．
12．已知点，都在抛物线上，则_____．（用“”，“”或“”填空）
13．抛物线的部分图象如图所示，则关于x的方程的解是_________．
14．已知抛物线与x轴的交点为，则代数式的值为__________．
15．某广场上有一个小型喷泉，水流从垂直于地面的水管喷出，的长为，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落到地面上，某方向上抛物线路径的形状如图所示，落点到点的距离为．建立平面直角坐标系，水流喷出的高度（单位：）与水平距离（单位：）之间近似满足函数关系式（），则水流喷出的最大高度为_____________．
16．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，则点C的坐标为________；若抛物线上存在一点P，对称轴上存在一点Q，使得以C，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，则点P的坐标为________．
三、解答题（本题共8小题，第17-21题每题8分，第22-23题每题10分，第24题12分，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．已知二次函数的图象经过，．
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)当时，直接写出y的取值范围．
18．如图，已知抛物线经过点．
(1)求抛物线的表达式．
(2)利用函数图象，求当时，y的取值范围．
19．在平面直角坐标系中，二次函数的图象过点．
(1)求的值；
(2)已知二次函数的最大值为，求该二次函数的表达式．
20．某厂商投产一种新型科技产品，每件制造成本为18元，试销过程中发现，每月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的关系可以近似地看作一次函数．
(1)写出每月的利润L（万元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
(2)当销售单价为多少元时，厂商每月能获得最大利润 最大利润是多少
21．如图1，已知抛物线的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，A点的坐标为，且抛物线对称轴为直线．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图2，连接，P为线段下方抛物线上的一个动点，过点P作轴交于点M，作轴交y轴于点N，求的最大值及此时点P的坐标；
22．如果二次函数与轴的两个交点的距离为1，那么称这样的函数为“邻交函数”．例如，二次函数与轴的两个交点分别是，，两点的距离为1，则此函数是“邻交函数”
(1)判断二次函数是不是“邻交函数”
(2)若二次函数是“邻交函数”，求的值．
(3)若二次函数是“邻交函数”，令，求的最大值．
23．综合与实践
问题情境：为探究不同土壤肥力条件下小麦产量与施氮量的关系，科研团队在某地选择土壤基础肥力不同的若干试验田开展研究，并对试验数据进行整理分析．研究发现，在中肥力与低肥力两种麦田中，小麦每亩的产量（千克）与每亩施氮量（千克）的关系可近似用下图中的两条抛物线描述，其中．设中肥力麦田每亩的产量为（千克），低肥力麦田每亩的产量为（千克）．已知点，，均在描述与关系的抛物线上，且点是这条抛物线的顶点．
(1)建立模型：求中肥力麦田中小麦每亩的产量与的函数关系式；
(2)应用分析：已知低肥力麦田中小麦每亩的产量与的函数关系式为．
①假设低肥力、中肥力两种麦田每亩施氮量相同，当低肥力麦田每亩的产量最大时，求每亩的施氮量，以及此时两种麦田小麦每亩产量的差；
②现有面积均为1亩的中肥力、低肥力麦田各一块．当两块麦田每亩施氮量不同，且每亩的产量分别达到最大时，两块麦田的总产量为千克；当两块麦田每亩施氮量相同时，两块麦田总产量的最大值为千克．经判断小于，请直接写出与的差．
24．抛物线经过点，，．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点是抛物线第一象限上的一个动点，过点作平行轴的直线交轴于点．点是抛物线第四象限上的一个动点，分别连接，，若．
①如图，求的面积的最大值；
②如图，过点作轴交于点，过点作轴的平行线交轴于点．在直线上，将点向左平移至点，且，过点，，的圆弧在第四象限内交该抛物线于点，连接，，求证：．
第1章二次函数单元提升测试卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．下列函数是二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的定义．二次函数的标准形式为（a、b、c是常数，），据此判断各选项．
【详解】解：根据二次函数的定义逐项分析判断如下：
A、未知数的最高次不是2，该函数不符合二次函数的定义，故本选项不符合题意；
B、，该函数的右边不是整式，它不是二次函数，故本选项不符合题意；
C、，该函数符合二次函数的定义，故本选项正确，符合题意；
D、，该函数的右边不是整式，它不是二次函数，故本选项不符合题意；
故选：C．
2．若是二次函数，则的值为（ ）
A． B．4 C． D．
【答案】A
【分析】本题考查二次函数的定义，二次函数的一般形式为()，根据定义列出关于的方程与不等式，进而求解的值．
【详解】解：∵函数是二次函数，
∴，且．
由，得，解得或．
又∵，即，
∴．
故选：A．
3．对于二次函数，下列结论正确的是（ ）
A．当时，有最大值为7 B．图象的对称轴是直线
C．图象的对称轴是直线 D．当时，随的增大而增大
【答案】B
【详解】解：∵二次函数，，
∴当时，有最大值为7，故A选项说法错误，不符合题意；
图象的对称轴是直线，故B选项说法正确，符合题意；C选项说法错误，不符合题意；
当时，y随x的增大而减小，故D选项说法错误，不符合题意．
4．已知点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先确定二次函数的开口方向和对称轴，再根据开口向下的二次函数，点到对称轴的距离越大，对应函数值越小，即可比较得到结果．
【详解】解：∵ 二次函数解析式为，
∴，二次函数开口向下，对称轴为直线 ．
分别计算各点到对称轴的距离：
点到对称轴的距离为，
点到对称轴的距离为，
点到对称轴的距离为．
∵开口向下的二次函数，点到对称轴的距离越大，函数值越小，
又，
∴ ．
5．用12米长的围栏围成一边靠墙（墙足够长）的矩形菜园，设垂直于墙面的边长为x米，矩形的面积为y平方米，根据题意，可列式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，由围栏的全长及垂直于墙面的边长，可得出平行于墙面的边长为米，再利用矩形的面积公式，即可找出y关于x的函数关系式，此题得解，根据各数量之间的关系，找出y关于x的函数关系式是解题的关键．
【详解】解：围栏的全长为12米，且设垂直于墙面的边长为x米，
平行于墙面的边长为米．
根据题意得：，
故选：C．
6．将抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线解析式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】先将原抛物线解析式化为顶点式，得到原顶点坐标，再根据平移规则得到平移后的顶点坐标，最后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式即可，二次函数平移后二次项系数不变．
【详解】解：∵ ，
∴ 原抛物线的顶点坐标为，
∵ 将顶点向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度，
∴ 平移后顶点的横坐标为，纵坐标为，
即新顶点坐标为，
∵ 抛物线平移后二次项系数不变，
∴ 平移后抛物线的解析式为．
7．如图，菱形的顶点在抛物线上，其中点为坐标原点，对角线在轴上，且．则菱形的面积是（ ）
A．18 B． C．9 D．
【答案】A
【分析】根据菱形的性质求得点A的横坐标是解题的关键．连接交于点D，则由菱形性质知，从而得；由知，点纵坐标为3，由此可求得A点横坐标，即得，从而可得，由菱形面积公式即可求得其面积．
【详解】解：如图，连接交于点D；
∵四边形是菱形，
∴，，
∴；
∵，
∴点纵坐标为3；
∵点A在抛物线上，
∴，
解得：，
即A点横坐标为3，
即，
∴，
∴菱形面积为．
8．如图1，在中，，．动点M从点B出发，以的速度沿折线向终点C运动；动点N同时从点B出发，以的速度沿边向终点C运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为，的面积为，y与t之间的函数图象如图2所示，则下列结论正确的是( )
①；②的最大面积a为；③当时，；④当t为和时，的面积为．
A．②③ B．①③ C．①②③ D．①②④
【答案】B
【分析】由题意可知：，当时，点M在边上，则，当时，点M在边上，则，分别求出y关于t的函数解析式，即可判断各个选项．
【详解】解：由题意可知：，
当时，点M在边上，则，
当时，点M在边上，则，
当时，过点M作于点E，
∵，，
∴，
∴，即，
∴当时，的面积为最大，最大值为；
当时，过点M作于点F，
∵，
∴，
∴，
即
当时，的面积为最大，最大值为；
∴，的最大面积a为，故①正确，②错误；
当时，，，
∴，故③正确．
当时，，即的面积为，
当时，，即的面积为，
故④错误．
综上所述，结论正确的是①③．
9．函数是描述现实世界变化规律的数学模型，运用函数知识可以解决很多现实问题．如某型号飞机着陆后滑行的距离s（m）关于滑行的时间t（s）的函数关系式是．请结合函数图象，用数学眼光判断下列关于该运动情况的描述，其中错误的是（ ）
A．飞机着陆后前滑行的距离为
B．飞机着陆后滑行才能停下来
C．飞机滑行过程中，最后滑行了
D．飞机滑行过程中，最后滑行用时
【答案】C
【分析】本题考查二次函数的实际应用，先对函数配方得到飞机滑行的总时间和总滑行距离，再逐一计算每个选项判断正误.
【详解】先对函数配方得
∵二次函数开口向下，顶点坐标为，
∴飞机着陆后滑行停下，总滑行距离为.
对选项A：将代入函数得 ，A描述正确；
对选项B：由顶点可知最大滑行距离为，即飞机滑行才能停下，B描述正确；
对选项C：总滑行时间为，最后对应从到，将代入得，最后滑行距离为，C描述错误；
对选项D：当滑行距离为时，令，整理得，解得（舍去大于总时间的解），因此最后用时，D描述正确.
10．二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③；，其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
【答案】D
【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、与坐标轴的交点位置以及最值性质，逐项判断各结论的正确性即可．
【详解】解：由图象可知，抛物线开口向下，则；
∵对称轴为直线，
∴，即，故①正确；
∵当时，图象在轴下方，
∴，故②正确；
对称轴为直线， 与时的函数值相等，
∵当时，，
∴当时，，故③正确；
∵抛物线开口向下，
∴当时，函数取得最大值，
∴当时，，即，故④正确；
综上所述，正确的结论是①②③④．
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．）
11．某化肥厂10月份生产某种化肥，如果11、12月的月平均增长率为x，则12月份化肥的产量与x之间的函数关系式为______．
【答案】
【分析】本题主要考查列函数解析式，根据月平均增长率问题，11月份产量为，12月份产量为，从而得到函数关系式．
【详解】解：依题意，月平均增长率为，则11月份化肥产量为，12月份化肥产量为，
故，
故答案为：．
12．已知点，都在抛物线上，则_____．（用“”，“”或“”填空）
【答案】
【分析】此题考查了二次函数的函数值，通过直接计算点A和点B的纵坐标值进行比较．
【详解】解：对于抛物线，
当时，
；
当时，
．
因为，
所以
故答案为：．
13．抛物线的部分图象如图所示，则关于x的方程的解是_________．
【答案】
【分析】根据抛物线的对称轴为直线，与x轴的交点为，利用抛物线的对称性即可求得．
【详解】解：抛物线的对称轴为直线，与x轴的交点为，
设另一个交点为，
，
解得：，
故另一个交点为，
关于的方程的解是：，
14．已知抛物线与x轴的交点为，则代数式的值为__________．
【答案】
【分析】根据抛物线上点的坐标满足抛物线解析式，将交点代入解析式，得到的值，利用整体代入法求代数式的值．
【详解】解：把代入抛物线解析式，
得 ，
整理得．
．
15．某广场上有一个小型喷泉，水流从垂直于地面的水管喷出，的长为，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落到地面上，某方向上抛物线路径的形状如图所示，落点到点的距离为．建立平面直角坐标系，水流喷出的高度（单位：）与水平距离（单位：）之间近似满足函数关系式（），则水流喷出的最大高度为_____________．
【答案】/米
【分析】由题意可得，抛物线经过点和，把上述两个点的坐标代入二次函数表达式，可求出a和c的值，则抛物线的解析式可求出，再把抛物线解析式化为顶点式即可求出水流喷出的最大高度．
【详解】解：由题意可得，抛物线经过点和，
把上述两个点坐标代入二次函数表达式得：
，
解得：，
∴函数表达式为：，
∵，故函数有最大值，
∴当时，y取得最大值，此时，
答：水流喷出的最大高度为．
16．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，则点C的坐标为________；若抛物线上存在一点P，对称轴上存在一点Q，使得以C，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，则点P的坐标为________．
【答案】 或或
【分析】（1）令，代入抛物线求解可得点C的坐标；
（2）分情况讨论，当、、分别为平行四边形的对角线时，根据平行四边形对角线互相平分列方程求解即可．
本题是二次函数的综合题，主要考查了二次函数中平行四边形存在问题，熟练掌握二次函数的图象与性质，利用平行四边形对角线互相平分列方程是解题的关键．
【详解】解：（1）令，解得，
故点C的坐标为；
（2）令，解得或，
故点B的坐标为；
∵，
∴设点，；
当为平行四边形的对角线时，
，
解得，
此时点；
当为平行四边形的对角线时，
，
解得，
此时点；
当为平行四边形的对角线时，
，
解得，
此时点；
综上，点P的坐标为或或．
三、解答题（本题共8小题，第17-21题每题8分，第22-23题每题10分，第24题12分，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．已知二次函数的图象经过，．
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)当时，直接写出y的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用待定系数法，代入已知两点坐标求解系数，即可得到二次函数解析式；
（2）将解析式配方为顶点式，当时，y取得最小值；再计算当，时，分别对应的函数值，即可得到y的取值范围．
【详解】（1）解：把，代入
得，
解得
∴二次函数的解析式为；
（2）解：将二次函数配方得，
函数的对称轴为直线
∵
∴二次函数开口向上，
∴当时，y取得最小值；
当时，，
当时，；
即在时，y的取值范围是．
18．如图，已知抛物线经过点．
(1)求抛物线的表达式．
(2)利用函数图象，求当时，y的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用待定系数法求二次函数的表达式；
（2）利用配方法得到，根据二次函数的性质得到当时，结合函数图象可得到当时，y的取值范围为．
【详解】（1）解：（1）把分别代入得，
解得，
所以抛物线的表达式为；
（2）解：∵，
∴当时，y有最小值，
∴时，y的取值范围为．
19．在平面直角坐标系中，二次函数的图象过点．
(1)求的值；
(2)已知二次函数的最大值为，求该二次函数的表达式．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据点的纵坐标相等，建立方程解答即可；
（2）由（1）知，把二次函数转化为，结合函数的最大值为，确定a值即可．
【详解】（1）解：二次函数的图象过点，
∴，，
∴，
∴，
解得，
∴．
（2）解：由（1）知，
故二次函数转化为，
则，
∵函数的最大值为，
∴二次函数图象开口向下，即，且，
整理，得，
解得或（舍去），
故．
故抛物线的解析式为．
20．某厂商投产一种新型科技产品，每件制造成本为18元，试销过程中发现，每月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的关系可以近似地看作一次函数．
(1)写出每月的利润L（万元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
(2)当销售单价为多少元时，厂商每月能获得最大利润 最大利润是多少
【答案】(1)
(2)当销售单价为34元时.厂商每月能获得最大利润，最大利润是512万元．
【分析】（1）单件利润为元，销售量为万件，总利润单件利润销售量，代入整理即可得到二次函数关系式．
（2）是开口向下的二次函数（二次项系数），顶点处取得最大值；用顶点公式求单价，再代入求最大利润．
【详解】（1）解：由题意，单件利润：元，销售量，
，
结合实际意义，销售量，
即，；
单价高于成本，自变量取值范围：．
函数关系式：．
（2）解：对于二次函数，，，，
对称轴：，
在取值范围内，将代入利润函数：
，
当销售单价为元时，每月获得最大利润，最大利润为万元．
21．如图1，已知抛物线的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，A点的坐标为，且抛物线对称轴为直线．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图2，连接，P为线段下方抛物线上的一个动点，过点P作轴交于点M，作轴交y轴于点N，求的最大值及此时点P的坐标；
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）通过对称轴确定系数a和b的关系，再代入点A的坐标，即可求出解析式；
（2）根据解析式求出点B，C的坐标，从而得到直线的解析式，设出点P的坐标，从而用所设字母表示出点M，N的坐标和和，构造函数关系求最值即可．
【详解】（1）解：∵已知抛物线的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，A点的坐标为，且抛物线对称轴为直线，
，
解得，
∴；
（2）解：∵抛物线对称轴为直线，A点的坐标为，
∴，
当，，
∴，
设直线解析式为，
，
解得，
∴直线表达式为，
设，
则由题意得，，
∴，，
∴，
∵，
∴当时，取得最大值，最大值为，
此时，
∴．
【点睛】掌握二次函数的图象与性质，通过对称轴确定系数a和b的关系，并通过设坐标表示出的值是解题关键．
22．如果二次函数与轴的两个交点的距离为1，那么称这样的函数为“邻交函数”．例如，二次函数与轴的两个交点分别是，，两点的距离为1，则此函数是“邻交函数”
(1)判断二次函数是不是“邻交函数”
(2)若二次函数是“邻交函数”，求的值．
(3)若二次函数是“邻交函数”，令，求的最大值．
【答案】(1)是“邻交函数”
(2)
(3)的最大值为
【分析】（1）求出二次函数与x轴的两个交点的坐标即可得到答案；
（2）设关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，由根与系数的关系得到，则可得到，解方程求出m的值，则可求出n的值，进而可得a的值；
（3）当时，，解得，根据定义得到，则可推出，进而得到，据此可得答案．
【详解】（1）解：在中，当时，，
解得，
∴二次函数与x轴的两个交点的坐标分别为，
∵，
∴二次函数与x轴的两个交点的距离为1，
∴二次函数是“邻交函数”；
（2）解：∵二次函数是“邻交函数”，
∴关于x的一元二次方程有两个不相同的实数根，且两根之差为1，
设关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，
∴，
∴，
∴，
解得或，
当时，，则，解得，
当时，，则，解得，
综上所述，；
（3）解：∵二次函数是“邻交函数”，
∴二次函数与x轴有两个交点，且这两个交点的距离为1，
在中，当时，，
解得，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
，
∵，
∴当时，t有最大值，最大值为9．
23．综合与实践
问题情境：为探究不同土壤肥力条件下小麦产量与施氮量的关系，科研团队在某地选择土壤基础肥力不同的若干试验田开展研究，并对试验数据进行整理分析．研究发现，在中肥力与低肥力两种麦田中，小麦每亩的产量（千克）与每亩施氮量（千克）的关系可近似用下图中的两条抛物线描述，其中．设中肥力麦田每亩的产量为（千克），低肥力麦田每亩的产量为（千克）．已知点，，均在描述与关系的抛物线上，且点是这条抛物线的顶点．
(1)建立模型：求中肥力麦田中小麦每亩的产量与的函数关系式；
(2)应用分析：已知低肥力麦田中小麦每亩的产量与的函数关系式为．
①假设低肥力、中肥力两种麦田每亩施氮量相同，当低肥力麦田每亩的产量最大时，求每亩的施氮量，以及此时两种麦田小麦每亩产量的差；
②现有面积均为1亩的中肥力、低肥力麦田各一块．当两块麦田每亩施氮量不同，且每亩的产量分别达到最大时，两块麦田的总产量为千克；当两块麦田每亩施氮量相同时，两块麦田总产量的最大值为千克．经判断小于，请直接写出与的差．
【答案】(1)（）
(2)①当低肥力麦田每亩的产量最大时，每亩的施氮量为13千克，此时两种麦田小麦每亩产量的差为299.5千克；②15
【分析】（1）根据点是描述与关系的抛物线的顶点，则设，将点代入即可求解；
（2）①根据二次函数的性质得到当时，取得最大值，此时，求出当时，的值，计算即可求解；
②根据二次函数的性质求出，的最大值，即可得到m的值，令，求出y的最大值，即可得到n的值，计算即可．
【详解】（1）解：由题意得，点是描述与关系的抛物线的顶点，
设，
点在描述与关系的抛物线上，
，解得，
与的函数关系式为；
（2）解：①．
∴，开口向下，
又，
当时，取得最大值，此时．
两种麦田每亩施氮量相同，
当时，，
此时．
答：当低肥力麦田每亩产量最大时，每亩的施氮量为13千克，此时两种麦田小麦每亩产量的差为299.5千克．
②∵，，
∴的最大值为646，的最大值为309．
．
令
，
当时，有最大值，为940．
，
．
24．抛物线经过点，，．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点是抛物线第一象限上的一个动点，过点作平行轴的直线交轴于点．点是抛物线第四象限上的一个动点，分别连接，，若．
①如图，求的面积的最大值；
②如图，过点作轴交于点，过点作轴的平行线交轴于点．在直线上，将点向左平移至点，且，过点，，的圆弧在第四象限内交该抛物线于点，连接，，求证：．
【答案】(1)
(2)①；
②证明：由①可得，
∵点是抛物线第一象限上的一个动点，过点作平行轴的直线交轴于点，过点作轴的平行线交轴于点，
∴，，，，
∴，
∵点是抛物线第四象限上的一个动点，过点作轴交于点，
∴，，，，
∵将点向左平移至点，且，
∴，
∴，
连接，
∴，
过点作交的延长线于，则，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵过点，，的圆弧在第四象限内交该抛物线于点，
∴由圆周角定理可得，
∴．
【分析】（1）利用待定系数法计算即可得出结果；
（2）①先求出，由题意可得，则，结合点是抛物线第四象限上的一个动点，得出，，表示出，令，则，，，从而可得，再结合二次函数的性质即可得出结果；②连接，过点作交的延长线于，由正切的定义并结合，得出，则，由圆周角定理可得，即可得证．
【详解】（1）解：∵抛物线经过点，，
∴，
解得，
∴抛物线的表达式为；
（2）解：①在中，令，则，
解得或，
∴，
∵点是抛物线第一象限上的一个动点，过点作平行轴的直线交轴于点，
∴，
∴，
∵点是抛物线第四象限上的一个动点，
∴，，
∴，
∴
，
令，
∵，，
∴，，
∴，，
∴
，
∵，
∴当时，的面积最大，为；
②略
【点睛】在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．

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