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第1章二次函数的图象分层练习题
基础训练
一、单选题
1．（25-26九年级上·湖北孝感·期末）二次函数 图象的顶点所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（25-26八年级下·重庆·期中）若点，在二次函数的图象上，则，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．无法确定
3．（2026·四川甘孜·中考真题）对于抛物线，以下说法正确的是（ ）
A．开口向下 B．对称轴为直线
C．顶点坐标为 D．当时，随的增大而减小
4．（26-27九年级·全国·暑假作业）如图，四边形是正方形，且点、恰好在抛物线上，点在轴上，则的长为（ ）
A．2 B． C．4 D．
5．（25-26八年级下·浙江宁波·期末）将函数的图象先向右平移再向下平移，所得函数图象的解析式可能是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
6．（25-26八年级下·福建福州·阶段检测）二次函数的最小值是____________．
7．（2026·江苏·二模）二次函数，当时，随的增大而增大，写出一个符合条件的的值_______．
8．（2026·吉林长春·模拟预测）已知、是抛物线上的两点．若且，则________．（填“”、“”或“”）
9．（2026·浙江·模拟预测）同一平面直角坐标系中，抛物线与关于原点成中心对称，则代数式的值为______．
10．（26-27九年级·全国·暑假作业）如图，在平面直角坐标系中，A，B是x轴上方抛物线上的两个点，C，D是x轴上的两个点．若四边形是边长为4的正方形，则c的值为_______
三、解答题
11．（25-26九年级上·河北张家口·期末）已知抛物线．
(1)判断点是否在此抛物线上．
(2)若点，在该函数图象上，试比较与的大小，并说明理由．
12．（26-27九年级·全国·暑假作业）已知二次函数图像经过点．
(1)判断这个函数图像的开口方向；
(2)点在这个函数图像上，求m的值．
13．（26-27九年级·全国·暑假作业）已知函数是关于的二次函数.
(1)求满足条件的值；
(2)当为何值时，此抛物线有最低点？这时，当取何值时，随的增大而减小；
(3)当为何值时，此抛物线有最高点？最高点的坐标是多少？这时，当取何值时，随的增大而增大.
14．（26-27九年级·全国·暑假作业）已知二次函数．
(1)在如图的坐标系中描点，画出该二次函数的图象；
(2)写出该二次函数图象的对称轴和顶点坐标；
(3)若，求y的取值范围．
x … 0 1 2 3 4 …
… 2 0 2 …
提升训练
一、单选题
1．（2026·江苏南京·三模）若二次函数(为常数)的图像与轴有两个不同的交点，则该函数图像的顶点在( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（2026·广东·二模）对于抛物线，下列说法正确的是（ ）．
A．图象与轴无交点
B．当时，随的增大而增大
C．当时，有最小值
D．图象的顶点坐标为
3．（2026·河南周口·二模）已知二次函数（，m，n为实数），当时，；当时，．下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
4．（2026·江苏泰州·二模）下列函数中，其图像不经过第二象限，且与x轴有且只有一个公共点的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2026·广东深圳·三模）当两条曲线关于某直线对称时，我们把这两条曲线叫做关于直线的对称曲线．如果抛物线与抛物线是关于轴的对称曲线，则的值为（ ）
A．3 B．0 C．1 D．2
二、填空题
6．（2026·甘肃武威·一模）二次函数的顶点坐标是 ____．
7．（2026·宁夏吴忠·三模）将抛物线先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，则平移后的抛物线的顶点坐标为_________．
8．（2026·甘肃武威·一模）已知点与在函数的图像上，则、的大小关系为______．
9．（25-26九年级下·四川绵阳·开学考试）如图，二次函数的图象经过正方形的三个顶点，则的值为_______．
10．（25-26九年级下·黑龙江大庆·期中）如图，抛物线与轴交于点，顶点在轴的正半轴上，连接，若是等腰直角三角形，则的值为___．
三、解答题
11．（25-26九年级上·吉林长春·阶段检测）已知二次函数的表达式为：，写出该二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．
(1)开口方向：____________；
(2)对称轴：____________；
(3)顶点坐标：____________．
12．（25-26八年级下·全国·课后作业）在平面直角坐标系中画出的图象．
0 1 2 3
1 1
13．（2026九年级下·全国·专题练习）二次函数的顶点为．
… 0 1 2 3 …
… 0 4 3 0 …
(1)补全表格，在所给的平面直角坐标系中，画出它的图象；
(2)抛物线的顶点的坐标是___________；
(3)当___________时，随的增大而减小；
(4)当时，的取值范围是___________．
… 0 1 2 3 …
… 0 3 4 3 0 …
14．（25-26九年级下·全国·单元测试）如图，点、、、在函数的图像上，且点、和点、分别关于轴对称，点的横坐标为，点的纵坐标为．
(1)求点的纵坐标和点的横坐标，并写出点、的坐标
(2)在原图中，利用对称性，直接找特殊点，画出二次函数的图像．
15．（25-26九年级下·全国·课堂例题）如图，点、在的图象上．直线与轴交于点，连接、．
(1) _______； _______；
(2)求直线的函数表达式；
(3)当 时， 的取值范围为_____．
答案解析
基础训练
一、单选题
1．（25-26九年级上·湖北孝感·期末）二次函数 图象的顶点所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【分析】先根据顶点式得到顶点坐标，再根据坐标符号判断顶点所在象限即可．
【详解】解：可写为，
该二次函数图象的顶点坐标为，
顶点横坐标，纵坐标，
顶点在第二象限．
2．（25-26八年级下·重庆·期中）若点，在二次函数的图象上，则，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．无法确定
【答案】B
【分析】本题考查二次函数的函数值比较，可直接将点的横坐标代入函数解析式，得到和的表达式，再根据的条件比较大小．
【详解】解：将代入得：，
将代入得，
，
，
即．
3．（2026·四川甘孜·中考真题）对于抛物线，以下说法正确的是（ ）
A．开口向下 B．对称轴为直线
C．顶点坐标为 D．当时，随的增大而减小
【答案】B
【分析】根据抛物线顶点式的性质，分别判断开口方向、对称轴、顶点坐标和增减性，即可得到正确选项．
【详解】解：∵抛物线解析式为
∴
∴抛物线开口向上，故A错误
对称轴为直线，故B正确
顶点坐标为，故C错误
∵抛物线开口向上，对称轴为直线
∴当时，随的增大而增大，故D错误．
4．（26-27九年级·全国·暑假作业）如图，四边形是正方形，且点、恰好在抛物线上，点在轴上，则的长为（ ）
A．2 B． C．4 D．
【答案】A
【分析】根据正方形的性质求出直线的解析式，然后联立方程求出交点坐标，根据勾股定理求解即可．
【详解】解：根据正方形的性质可得，
∴直线的解析式为，
联立，
解得或，
∴，
∴，
在正方形中，
∴．
5．（25-26八年级下·浙江宁波·期末）将函数的图象先向右平移再向下平移，所得函数图象的解析式可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用“左加右减自变量，上加下减常数项”的平移规则，得到平移后解析式的特征，即可判断正确选项．
【详解】解：原函数为，设向右平移个单位，再向下平移个单位，
平移规则为右减自变量，下减常数项，
平移后解析式为，满足，．
选项A：，得，，符合向右平移再向下平移的要求，正确；
选项B：常数项为，不符合要求，错误；
选项C：平方项底数为，，属于向左平移，不符合要求，错误；
选项D：平方项底数为，，未进行向右平移，不符合要求，错误．
二、填空题
6．（25-26八年级下·福建福州·阶段检测）二次函数的最小值是____________．
【答案】1
【分析】直接根据顶点式即可得出答案．
【详解】解：二次函数，
，开口向上，顶点为，
故函数的最小值为．
7．（2026·江苏·二模）二次函数，当时，随的增大而增大，写出一个符合条件的的值_______．
【答案】（答案不唯一，任意负数均可）
【分析】根据顶点式得到对称轴，结合给定的增减性判断的取值范围，即可写出符合条件的的值．
【详解】解：二次函数解析式为，
∴对称轴为直线，
当时，随的增大而增大，
二次函数图象开口向下，
，
（答案不唯一）．
8．（2026·吉林长春·模拟预测）已知、是抛物线上的两点．若且，则________．（填“”、“”或“”）
【答案】
【分析】根据点在抛物线上得到与的表达式，对和作差，结合已知条件和判断差的符号，即可比较和的大小．
【详解】解：∵，是抛物线上的两点，
∴，，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，即，
∴．
故答案为：．
9．（2026·浙江·模拟预测）同一平面直角坐标系中，抛物线与关于原点成中心对称，则代数式的值为______．
【答案】
【分析】设为上任一点，它关于原点成中心对称的点为，根据抛物线与关于原点成中心对称，在抛物线上，得，
从而或，求解即可．
【详解】解：设为上任一点，它关于原点成中心对称的点为，
那么在抛物线上，
代入可得，
整理得，
∴或，
∴．
10．（26-27九年级·全国·暑假作业）如图，在平面直角坐标系中，A，B是x轴上方抛物线上的两个点，C，D是x轴上的两个点．若四边形是边长为4的正方形，则c的值为_______
【答案】8
【分析】根据二次函数的对称性及正方形的性质求出点A的坐标，代入计算即可．
【详解】解：如图，
∵A，B是x轴上方抛物线上的两个点，抛物线的对称轴为直线，
∴A，B关于y轴对称，
∵四边形是边长为4的正方形，
∴，，
即，
将代入得：，
解得：．
三、解答题
11．（25-26九年级上·河北张家口·期末）已知抛物线．
(1)判断点是否在此抛物线上．
(2)若点，在该函数图象上，试比较与的大小，并说明理由．
【答案】(1)点在此抛物线上
(2)，见解析
【分析】本题主要考查二次函数的性质．
（1）判断点是否在抛物线上，只需将点的横坐标代入抛物线解析式，看得到的纵坐标是否与该点的纵坐标相等；
（2）比较函数值的大小，可根据抛物线的开口方向和点离对称轴的远近进行判断，即可得出答案．
【详解】（1）解：把点代入抛物线解析式中，
当时，，
点在此抛物线上；
（2）解：∵抛物线的对称轴为直线，
∵，
∴抛物线开口向下，
∵，抛物线上离对称轴越远的点函数值越大，
∴’．
12．（26-27九年级·全国·暑假作业）已知二次函数图像经过点．
(1)判断这个函数图像的开口方向；
(2)点在这个函数图像上，求m的值．
【答案】(1)开口向上
(2)
【分析】本题考查了二次函数的性质．
（1）先将点的坐标代入二次函数解析式求出的值，根据的正负判断函数图像的开口方向；
（2）将点的坐标代入已确定的二次函数解析式，计算求出的值.
【详解】（1）解：将点代入中
得
即
解得
因为 所以这个函数图像的开口向上
（2）解：由（1）可知二次函数解析式为
将点代入中
得
解得.
13．（26-27九年级·全国·暑假作业）已知函数是关于的二次函数.
(1)求满足条件的值；
(2)当为何值时，此抛物线有最低点？这时，当取何值时，随的增大而减小；
(3)当为何值时，此抛物线有最高点？最高点的坐标是多少？这时，当取何值时，随的增大而增大.
【答案】(1)或
(2)当时，抛物线有最低点，当时，随的增大而减小
(3)当时，抛物线有最高点，最高点坐标为，当时，随的增大而增大
【详解】（1）解：∵函数是关于的二次函数，
∴，
解得：或，
∴满足条件的值为．
（2）解：当时，函数为，开口向上，此时抛物线有最低点，当时，随的增大而减小．
（3）解：当时，函数为，开口向下，此时抛物线有最高点，最高点坐标为，当时，随的增大而增大．
14．（26-27九年级·全国·暑假作业）已知二次函数．
(1)在如图的坐标系中描点，画出该二次函数的图象；
(2)写出该二次函数图象的对称轴和顶点坐标；
(3)若，求y的取值范围．
【答案】(1)见解析
(2)对称轴为直线，顶点坐标为
(3)
【分析】（1）根据列表，描点，连线的步骤画出图象；
（2）根据二次函数的图象及性质即可解答；
（3）求出当和时的函数值，结合函数图象即可解答．
【详解】（1）解：列表：
x … 0 1 2 3 4 …
… 2 0 2 …
描点，连线
（2）解：该二次函数图象的对称轴为直线，顶点坐标为．
（3）解：当时，，
当时，，
∴由图象可得时，．
提升训练
一、单选题
1．（2026·江苏南京·三模）若二次函数(为常数)的图像与轴有两个不同的交点，则该函数图像的顶点在( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【分析】先根据二次函数顶点式确定顶点坐标，再利用判别式求出的取值范围，最后根据坐标符号判断顶点所在象限．
【详解】解：∵二次函数解析式为顶点式，
∴函数顶点坐标为．
∵二次函数图像与轴有两个不同交点，将解析式展开得，
∴判别式，
解得．
∵，
∴，顶点横坐标为正，纵坐标为负，
∴顶点坐标在第四象限．
2．（2026·广东·二模）对于抛物线，下列说法正确的是（ ）．
A．图象与轴无交点
B．当时，随的增大而增大
C．当时，有最小值
D．图象的顶点坐标为
【答案】C
【分析】根据二次函数的顶点式的性质，逐项分析，即可求解．
【详解】解：对于抛物线，顶点坐标为，对称轴为直线；
∵，
∴抛物线的开口向上，
对A选项：令，则，即抛物线与轴交点为，故A选项说法错误，不符合题意；
对B选项：当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，故B选项说法错误，不符合题意；
对C选项：当时，有最小值；故C选项说法正确，符合题意；
对D选项：抛物线的顶点坐标为，故D选项说法错误，不符合题意．
3．（2026·河南周口·二模）已知二次函数（，m，n为实数），当时，；当时，．下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】C
【分析】根据已知的两组，的对应值代入二次函数解析式，消去参数，整理得到关于的表达式，再将各选项的代入即可判断的正负，得到正确结论．
【详解】解：∵二次函数（，m，n为实数），当时，；当时，，
∴，
两式消去可得：，
解得：，
A、若，，故A错误；
B、若，，B错误；
C、若，，C正确；
D、若，，D错误．
4．（2026·江苏泰州·二模）下列函数中，其图像不经过第二象限，且与x轴有且只有一个公共点的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题需结合函数性质，根据两个要求逐一筛选：①图像不经过第二象限；②与轴有且只有一个公共点，即可得到答案．
【详解】解：选项A．：∵该一次函数与轴只有一个交点，满足条件②；当时，，存在的点，图像经过第二象限，不满足条件①，排除A；
选项B．：∵该二次函数是顶点式，顶点为，顶点在轴上，因此与轴有且只有一个公共点，满足条件②；又∵对任意，，可得，因此图像不经过第二象限，满足条件①，符合要求；
选项C．：∵顶点为，与轴只有一个交点，满足条件②；当时，，存在的点，图像经过第二象限，不满足条件①，排除C；
选项D．：∵反比例函数的图像与轴没有交点，不满足条件②，排除D．
5．（2026·广东深圳·三模）当两条曲线关于某直线对称时，我们把这两条曲线叫做关于直线的对称曲线．如果抛物线与抛物线是关于轴的对称曲线，则的值为（ ）
A．3 B．0 C．1 D．2
【答案】D
【分析】根据二次函数的性质与图象的轴对称变换，得出两条关于轴对称的抛物线开口大小方向一致，顶点关于轴对称，先求出的顶点坐标，再得到对称顶点，对应得到和的值，即可计算出结果
【详解】解：抛物线与抛物线是关于轴的对称曲线，
二者开口大小方向一致，顶点坐标关于轴对称，
对配方得 ，
的顶点坐标为，
点关于轴对称的点的坐标为，即的顶点坐标为，
又的顶点式为，其顶点坐标为，
，，
二、填空题
6．（2026·甘肃武威·一模）二次函数的顶点坐标是 ____．
【答案】
【分析】根据二次函数顶点式的性质，直接可得顶点坐标．
【详解】解：∵二次函数解析式为顶点式为，
∴顶点坐标为．
7．（2026·宁夏吴忠·三模）将抛物线先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，则平移后的抛物线的顶点坐标为_________．
【答案】
【分析】先根据顶点式得到原抛物线的顶点坐标，再根据点平移的规律计算得到平移后的顶点坐标即可．
【详解】解：抛物线是顶点式，可得原抛物线的顶点坐标为，
将顶点向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，
平移后的顶点横坐标为，纵坐标为，
因此平移后的抛物线的顶点坐标为．
8．（2026·甘肃武威·一模）已知点与在函数的图像上，则、的大小关系为______．
【答案】
【分析】根据函数解析式得出抛物线的对称轴以及开口方向，然后根据两点距对称轴的距离判断大小即可．
【详解】解：根据解析式可知抛物线对称轴为，开口向下，
∴两点离对称轴越远函数值越小，
∵，
∴．
9．（25-26九年级下·四川绵阳·开学考试）如图，二次函数的图象经过正方形的三个顶点，则的值为_______．
【答案】2
【分析】由题意易得点C、B关于y轴对称，点，进而根据正方形的性质可得点，然后代入二次函数解析式进行求解即可．
【详解】解：如图，连接，
∴C、B关于y轴对称，
∵四边形是正方形，
∴，与相互平分，
令时，则有，
∴点，
∴，
∴点，
把点C代入得：，解得：或，
∵，
∴．
10．（25-26九年级下·黑龙江大庆·期中）如图，抛物线与轴交于点，顶点在轴的正半轴上，连接，若是等腰直角三角形，则的值为___．
【答案】/0.5
【分析】求出抛物线的顶点坐标及与y轴的交点坐标，再根据列式求解．
【详解】解：的顶点坐标为，
将代入，得：，
结合图象可得，，
是等腰直角三角形，，
，
，
解得．
三、解答题
11．（25-26九年级上·吉林长春·阶段检测）已知二次函数的表达式为：，写出该二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．
(1)开口方向： ；
(2)对称轴： ；
(3)顶点坐标： ．
【答案】(1)向上
(2)
(3)
【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数顶点式性质解答即可﹒
（1）根据，即可得到抛物线开口向上；
（2）由抛物线顶点式即可得到对称轴为直线；
（3）由抛物线顶点式即可得到顶点坐标为﹒
【详解】（1）解：∵，
∴抛物线开口向上﹒
故答案为：向上；
（2）解：由抛物线解析式可得到抛物线对称轴为直线﹒
故答案为：；
（3）解：由抛物线解析式可得到抛物线顶点坐标为﹒
故答案为：
12．（25-26八年级下·全国·课后作业）在平面直角坐标系中画出的图象．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查作二次函数的图像，作图的基本步骤，列表、描点、再用平滑的曲线连接是解题的关键．
根据题意，列表、描点、再用平滑的曲线连接即可．
【详解】解：列表
0 1 2 3
1 1
描点，再用平滑的曲线连接如图：
13．（2026九年级下·全国·专题练习）二次函数的顶点为．
… 0 1 2 3 …
… 0 4 3 0 …
(1)补全表格，在所给的平面直角坐标系中，画出它的图象；
(2)抛物线的顶点的坐标是___________；
(3)当___________时，随的增大而减小；
(4)当时，的取值范围是___________．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
(4)或
【分析】本题考查了二次函数的图像绘制、顶点坐标求解、增减性判断及函数值对应自变量范围的确定，解题的关键是掌握二次函数的表达式变形（配方法）、图像性质（开口方向、对称轴）及数形结合思想的应用．
（1）补全表格需将代入函数表达式求值；画图需先确定顶点、与坐标轴交点等关键点，再用平滑曲线连接．
（2）求顶点坐标可通过配方法将函数化为顶点式，即可得解．
（3）先判断抛物线开口方向（由的符号确定），再确定对称轴，根据开口方向判断增减性区间．
（4）先求出和对应的自变量的值，再结合函数图像确定满足的取值范围．
【详解】（1）解：补全表格：将代入，得，故表格中对应的值为3；
… 0 1 2 3 …
… 0 3 4 3 0 …
画图步骤：先确定关键点（顶点、与轴交点和、与轴交点及），再用平滑的抛物线将这些点依次连接，即得函数图像．
（2）解：用配方法变形函数表达式：
，
二次函数顶点式的顶点为，故顶点的坐标为，
故答案为：．
（3）解：由可知，抛物线开口向下；
由顶点式可知对称轴为直线，开口向下时，对称轴右侧随的增大而减小，即，
故答案为：．
（4）解：当时，，解得，；
当时，，化简得，解得，；
结合抛物线图像（开口向下，顶点），可知当时，的取值范围是
或，
故答案为：或．
14．（25-26九年级下·全国·单元测试）如图，点、、、在函数的图像上，且点、和点、分别关于轴对称，点的横坐标为，点的纵坐标为．
(1)求点的纵坐标和点的横坐标，并写出点、的坐标
(2)在原图中，利用对称性，直接找特殊点，画出二次函数的图像．
【答案】(1)点的纵坐标为，点的横坐标为，，
(2)图见解析
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，掌握二次函数图象的性质是解决本题的关键．
（1）根据点在函数的图像上，可得点的坐标，再根据点的纵坐标为和点、分别关于轴对称即可得解；
（2）根据二次函数的对称性进行画图即可．
【详解】（1）解：点在函数的图像上，
当时，，
，
点的纵坐标为，
点、关于轴对称，
,
点在函数的图像上，点、关于轴对称，
当时，，
解得，
、，
点的横坐标为；
（2）解：∵和关于x轴对称，
∴画图如下所示
15．（25-26九年级下·全国·课堂例题）如图，点、在的图象上．直线与轴交于点，连接、．
(1) _______； _______；
(2)求直线的函数表达式；
(3)当 时， 的取值范围为_____．
【答案】(1)；
(2)；
(3)
【分析】此题主要考查了运用待定系数法求函数解析式，二次函数的图象及性质，熟练求解直线的解析式是解题的关键．
（1）将点代入求出的值，再将点代入求解即可；
（2）运用待定系数法求出直线的解析式即可；
（3）观察图象，利用数形结合法求解即可；
【详解】（1）解：∵点在的图象上，
∴，
解得，
∴，
当时，；
故答案为：；；
（2）解：∵，，
设直线的解析式为，
把，点坐标代入得，
解得，，
∴直线的解析式为：；
（3）解：对于抛物线，
∵，
∴当时，有最小值为0，
∵，，
∴当时，y的取值范围为．

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