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沪科版数学8年级上册精做课件授课教师：.班级：8年级（）班.时间：.15.3.1角平分线的尺规作图与性质第十五章轴对称图形与等腰三形沪科版数学八年级上册15.3.1角平分线的尺规作图与性质练习题本次练习题围绕15.3.1角平分线的尺规作图与性质核心知识点编写，重点考查角平分线的定义、标准尺规作图步骤、角平分线的性质定理、定理适用条件、利用性质求线段长度、证明垂线段相等、区分角平分线与垂直平分线的不同考点。题型延续固定分层结构，包含选择题、填空题、解答题，难度循序渐进，贴合几何基础推理与作图题型，帮助学生熟练掌握角平分线作图规范与性质应用，完善轴对称几何知识体系。一、选择题（每题4分，共20分）1.角平分线的定义是将一个角分成两个（）的射线A.互补的角B.互余的角C.相等的角D.任意角2.角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的（）相等A.线段长度B.垂直距离C.任意距离D.斜线段长3.在∠AOB的平分线上有一点P，PM⊥OA，PN⊥OB，下列关系正确的是（）A. PM＞PN B. PM＜PN C. PM=PN D.无法确定4.尺规作角平分线时，画弧的半径要求是（）A.任意长度B.大于角边一半C.统一且合适长度D.必须最长5.下列说法能利用角平分线性质判定线段相等的是（）A.点在角内，到两边线段相等B.点在角平分线上，到两边垂直距离相等C.任意角内点距离都相等D.角平分线平分对边二、填空题（每题4分，共24分）6.从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等角的射线，叫做这个角的__________。7.角平分线性质定理：角平分线上的点到角两边的__________相等。8.若点P在∠AOB平分线上，且PM⊥OA，PN⊥OB，则__________=__________。9.尺规作角平分线无需量角器，仅依靠__________完成标准作图。10.角平分线是一条__________（填“射线”“直线”或“线段”）。11.利用角平分线性质证明线段相等，必须满足__________条件，缺一不可。三、解答题（共56分）12.（18分）简述尺规作图作任意已知角∠AOB平分线的完整步骤。13.（18分）已知：OP平分∠AOB，点P在OP上，PM⊥OA，PN⊥OB，若PM=6cm，求PN的长度，并写出依据。14.（20分）已知：在△ABC中，AD平分∠BAC，DB⊥AB，DC⊥AC，求证：DB=DC。参考答案及解析一、选择题1. C解析：角平分线核心定义，将一个角平均分为两个度数相等的角。2. B解析：角平分线性质特指点到角两边的垂直距离相等，不是任意线段距离。3. C解析：点在角平分线上，向角两边作垂线段，两条垂线段长度相等。4. C解析：尺规作图需保证两次画弧半径统一，才能精准得到角平分线交点。5. B解析：只有角平分线上的点，对应的两边垂线段才一定相等，是定理核心条件。二、填空题6.角平分线7.垂直距离8. PM；PN 9.直尺和圆规10.射线11.点在角平分线上、垂直于角的两边三、解答题12.解：①以角的顶点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA、OB于两点；②分别以两个交点为圆心，以大于两点间距一半的等长为半径，在角内部画弧，两弧交于一点；③连接顶点O与内部交点，所得射线即为∠AOB的角平分线。13.解：PN=6cm。依据：角平分线上的点到角两边的垂直距离相等，点P在∠AOB平分线上，因此PN=PM=6cm。14.证明：∵AD平分∠BAC（已知），DB⊥AB，DC⊥AC（已知），根据角平分线的性质定理，角平分线上的点到角两边的垂直距离相等，∴DB=DC。本套习题聚焦角平分线尺规作图与核心性质，精准贴合本节教学重难点，重点训练学生规范作图、理解定理条件、利用性质推理线段相等的能力。习题难度循序渐进，区分角平分线与线段垂直平分线的易错考点，兼顾基础识记、作图实操与几何证明，帮助学生吃透角平分线核心规律，熟练掌握几何推理书写规范，全面夯实轴对称几何知识体系，为后续三角形综合题型解题筑牢基础。（字数900）
知识回顾
角平分线的定义：
把这个角分成两个相等的角，
这条射线叫做这个角的平分线.
在角的内部，
如上图，
∠AOC=
= ∠AOB
或
=2∠AOC
1
2
以角的顶点为端点的一条射线
OC 是 ∠AOB 的平分线，
这时有：
B
A
O
O
C
∠COB
∠AOB=
=2∠COB
∠AOC+∠COB
探究新知
问题 怎样作出角的平分线？
再用量角器画出这个角的平分线.
度量法
方法一：
先用量角器量出已知角的度数，
并除以 2，
通过折痕找到角的平分线AC.
探究新知
问题 怎样作出角的平分线？
B
C
使∠BAC的两边重合，
折叠法
方法二：
通过折纸，
得到折痕 ，
A
(B)
C
角是轴对称图形，
角平分线所在的直线是它的对称轴.
问题 怎样作出角的平分线？
探究新知
B
A
M
N
P
Ｏ
用尺规作图法，作出∠AOB的平分线.
方法三：
作法：
任意长为半径画弧
1、以点O为圆心，
1
2
以大于 MN长为半径
分别交OA，OB于点M，N.
2、分别以点 M，N 为圆心，
(为什么 )
在角的内部画弧交于点P.
3、做射线OP，
则OP为所作的∠AOB的平分线.
思考 1 根据作图，你能证明所作射线 OP，就是 ∠AOB 的平分线吗？
B
A
M
N
P
Ｏ
已知：OM=ON，PM=PN.
求证：OP平分∠AOB.
证明：
在 △OMP 和 ONP 中
∵
OM=ON
PM=PN
OP=OP
(已知)
(已知)
(公共边)
∴ △OMP ≌ △ONP
(SSS)
∴ ∠MOP=∠NOP
∴ OP平分∠AOB
(全等三角形的对应角相等)
(角平分线的定义)
探究新知
探究新知
两弧相交于点P.
思考 2 当 ∠AOB 的两边成一直线时(即∠AOB=180°)，你会作这个角的平分线吗？这时的角平分线 OP 与直线 AB 是什关系？
作法：
任意长为半径画弧
1、以点O为圆心，
分别交OA，OB于点M，N.
1
2
以大于 MN长为半径画弧，
2、分别以点M，N为圆心，
3、作射线OP，
则OP为所作的∠AOB的平分线.
A
B
O
N
M
P
OP⊥AB
探究新知
通过上面作图，你能用尺规完成“经过一点作已知直线的垂线”吗？
由于这一点可能在直线上或直线外，这个作图要分为两种情况：
① 经过已知 直线上的一点 作这条折线的垂线.
② 经过已知 直线外一点 作这条直线的垂线.
① 经过已知直线上的一点作这条直线的垂线.
操 作
已知：直线AB和AB上的一点C.
求作：AB的垂线，使它经过点C.
两弧相交于点F.
作法：
任意长为半径画弧
1、以点C为圆心，
分别交CA，CB于点D，E.
1
2
以大于 DE长为半径画弧，
2、分别以点D，E为圆心，
3、作直线CF，
则直线CF为所求作的直线.
A
B
C
E
D
F
思考：为什么这样作出的直线CF就是所求作的垂线，你能说说道理吗？
② 经过已知 直线外一点 作这条直线的垂线.
已知：直线AB和AB外上的一点C.
求作：AB的垂线，使它经过点C.
两弧相交于点F.
作法：
1、以点 C 为圆心，以大于点 C 到直线 AB 的
距离的线段长为半径画弧，
1
2
以大于 DE长为半径画弧，
2、分别以点 D 和点 E 为圆心，
3、作直线 CF，
则直线 CF 为所求作的直线.
A
B
C
D
E
F
交AB于点 D 和 E；
思考：为什么这样作出的直线CF就是所求作的垂线，你能说说道理吗？
操 作
P
思考：如图，OP 是 ∠AOB 的平分线，P 是 OP 上的任意一点，过点 P 分别作 PC⊥OA，PD ⊥ OB，点 C，D 是垂足 .量一量 PC 和 PD 的长度，你能发现什么？
你能证明你的猜想吗？
P
B
A
Ｏ
C
D
PC=PD
C
D
P
C
D
猜想：角平分线上的点到角两边的距离相等.
由此你能得到什么猜想？
探究新知
验证猜想
猜想：角平分线上的点到角两边的距离相等.
证明：
∵ PC⊥OA，PD⊥OB
∴ ∠PCO=∠PDO=90°
在△PCO和△PDO中，
∠AOP=∠BOP
∠PCO=∠PDO
OP= OP
∴ △PDO≌△PEO
∴ PC=PD
P
B
A
Ｏ
C
D
已知：如图，OP 平分 ∠AOB，点 P 是 OP 上的任意一点， PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别为 C，D.
求证：PC=PD.
∵ OP 平分∠AOB
∴ ∠AOP=∠BOP
(角平分线的定义)
(垂直的定义)
∵
(公共边)
(AAS)
(全等三角形的对应边相等)
知识点1 角的平分线的作法
（第1题）
1. 如图，用直尺和圆规作 的平分线，
能得出 的依据是( )
A
A. B. C. D.
返回
（第2题）
2. ［2024深圳］在如图的三个图
形中，根据尺规作图的痕迹，能
判断射线平分 的是
( )
B
A. ①② B. ①③
C. ②③ D. 只有①
【点拨】在题图①中，利用基本作图可判断 平
分 ；在题图③中，如图，利用作法得
， .
在和 中，
， .
，， ，
即 .
在和中，
， .
又, ，
，
，是 的平分线；
在题图②中，利用基本作图得到点为 的中点，
则为边上的中线.则①③可得出射线 平分
.故选B.
返回
知识点2 用尺规作图法作垂线
3. 下列选项的尺规作图，能推出 的是( )
D
A. B. C. D.
返回
4. 如图，在 中，根据尺规作图的痕迹，下列四个结
论：；； ；
．其中一定正确的有( )
B
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
【点拨】根据作图痕迹可知，是 的垂
直平分线，平分 ，
，， ，
， .
所以②③④正确，不能确定和 的关系.
返回
5.如图，在中，，平分，交 于点
．
（1）过点作 直线于点 ．（要求：尺规作图，保
留作图痕迹，不写作法）
【解】如图， 即为所求.
（2）与 之间有何数量关系？请说明理由．
.
理由：平分， ，
.
， .
， .
.
返回
6.已知：如图①，线段 ，
．作等腰 ，使得它的
底边长为，底边上的高为 ．下列
作法中，正确的顺序为__________.
②①④③
①作线段的垂直平分线，与相交于点 ．②作线段
．③连接，，则 就是所求作的等腰三角
形．④在上取一点，使 ．
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7.如图，，是两条笔直交叉的公路，， 是两个社区，
政府现准备在 所在的区域内建一个社区集体充电桩，
要求充电桩到两个社区的距离相等，并且到两条公路的距离
也相等，请用尺规作图在图中画出充电桩的位置．
【解】如图所示，点 即为所求.
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角平分线上的点到角两边的距离相等.
角平分线的性质：
定理：
P
B
A
Ｏ
C
D
点到角两边垂线段的长度
使用条件：
① 点一定要在角平分线上
② 点到角两边的距离
性质定理的作用：
可用来证明两条线段相等.
是指
几何语言：
∵ OP 是 ∠AOB的平分线，
∴ PC=PD
(角平分线上的点到角两边的距离相等)
且 PC⊥OA，
PD⊥OB
推理的理由有三个，必须写完整，不能少了任何一个.
知识拓展：
过角平分线上的一点向角两边作垂线段，再利用角平分线的性质定理解决问题.
解决有关角平分线问题最常用的作辅助线的方法：

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