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沪科版数学8年级上册精做课件授课教师：.班级：8年级（）班.时间：.15.3.2角平分线的判定第十五章轴对称图形与等腰三形沪科版数学八年级上册15.3.2角平分线的判定练习题本次练习题围绕15.3.2角平分线的判定核心知识点编写，重点考查角平分线判定定理的内容理解、定理成立的必备条件、区分角平分线的性质与判定、利用判定定理证明射线为角平分线、结合垂线段相等进行几何推理、解决简单角度证明问题等重难点考点。题型延续固定分层结构，包含选择题、填空题、解答题，难度循序渐进，贴合几何推理基础题型，帮助学生理清性质与判定的因果逻辑，规范几何证明步骤，完善角平分线知识体系。一、选择题（每题4分，共20分）1.角平分线的判定定理核心内容是（）A.角内任意点到两边距离相等B.角内部到角两边距离相等的点在角平分线上C.平分角的射线是角平分线D.垂线段相等则角一定相等2.判定一条射线是角平分线，必不可少的条件是（）A.点在角内部、到角两边垂直距离相等B.任意两点距离相等C.线段长度相等D.角度大致相等3.已知点P在∠AOB内部，PM⊥OA，PN⊥OB，且PM=PN，则可直接判定（）A. OA=OB B. ∠AOP=∠BOP C. OP垂直平分AB D. PM∥PN4.下列关于性质与判定的逻辑说法正确的是（）A.性质：知距离相等，证角平分线B.判定：知角平分线，得距离相等C.性质：知角平分线，得距离相等D.两者逻辑完全相同5.不能判定射线为角平分线的是（）A.角内点到两边垂线段相等B.射线平分已知角C.角内斜线段相等D.两角度数相等且共顶点二、填空题（每题4分，共24分）6.角平分线判定定理：在一个角的内部，__________的点，在这个角的平分线上。7.角平分线性质是“由线得距等”，判定定理是“__________”。8.利用判定定理证明角平分线，点必须在角的__________，且距离为垂直距离。9.点P在∠AOB内部，PM⊥OA，PN⊥OB，PM=PN，则OP平分__________。10.三角形内，到三角形三边距离相等的点是三角形__________的交点。11.判定角平分线必须区分垂直距离与斜线段，__________线段相等不能判定角平分线。三、解答题（共56分）12.（18分）简要说明角平分线性质定理与判定定理的区别与联系。13.（18分）已知：点P在∠ABC内部，PD⊥AB，PE⊥BC，PD=PE，求证：BP平分∠ABC。14.（20分）已知：在△ABC中，D为BC上一点，DE⊥AB，DF⊥AC，DE=DF，求证：AD平分∠BAC。参考答案及解析一、选择题1. B解析：角平分线判定定理标准表述，角内到两边距离相等的点在角平分线上。2. A解析：判定定理两大核心条件：点在角内部、到角两边垂直距离相等，缺一不可。3. B解析：满足判定定理条件，可证OP为角平分线，对应两角相等。4. C解析：性质定理是已知角平分线，推出垂线段相等；判定定理反之，二者逻辑相反。5. C解析：只有垂直距离相等可判定角平分线，斜线段相等无判定效力。二、填空题6.到角两边距离相等7.由距等得线（角平分线）8.内部9. ∠AOB 10.角平分线11.斜三、解答题12.区别：性质定理已知角平分线，可证垂线段相等，属于“由线得边等”；判定定理已知角内垂线段相等，可证角平分线，属于“由边等得线”。联系：二者互为逆定理，均需依托垂直距离条件，是角平分线核心正反推理依据。13.证明：∵点P在∠ABC内部，PD⊥AB，PE⊥BC（已知），且PD=PE（已知），根据角平分线判定定理，∴BP平分∠ABC。14.证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC（已知），∴点D在∠BAC内部，又DE=DF（已知），由角平分线判定定理可得，AD平分∠BAC。本套习题聚焦角平分线判定核心重难点，重点训练学生区分性质与判定逆定理、精准把握定理条件、规范书写判定证明过程的能力。习题针对性强，规避斜线段相等误判、遗漏角内部条件等常见易错点，以基础证明题型为主，梯度平缓适配八年级几何学习节奏，帮助学生理清正反推理逻辑，熟练掌握角平分线全套考点，夯实几何证明基础，提升严谨的几何推理思维。（字数900）
探究新知
角平分线的性质：
定理：
角平分线上的点到角两边的距离相等.
逆
命
题
它是真命题吗？你能证明吗？
到角两边距离相等的点
在角的平分线上
角的内部
P
B
A
Ｏ
C
D
验证猜想
角的内部到角两边距离相等的点
在角的平分线上
求证：点 P 在 ∠AOB 的角平分线上.
证明：
作射线 OP
∴ 点 P 在∠AOB 的角平分线上
在 Rt△PCO 和 Rt△PDO 中
(全等三角形的对应角相等)
OP=OP
PC= PD
∵ PC⊥OA，PD⊥OB
∴ △PCO 和 △PDO 是直角三角形
∴ Rt△PCO≌Rt△PDO
∴ ∠AOP=∠BOP
P
B
A
Ｏ
C
D
已知：如图，点 P 在 ∠AOB 的内部，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是 D、E，PC=PD.
(公共边)
(已知)
(HL)
(角平分线的定义)
∵
角的内部到角两边距离相等的点
在角的平分线上
角平分线的判定：
定理：
应用所具备的条件：
(1) 位置关系：
(2) 数量关系：
判定定理的作用：
几何语言：
∵ PC⊥OA，
∴ 点 P 在 ∠AOB 的平分线上
点在角的内部；
该点到角两边的距离相等.
判断点是否在角平分线上.
(或 OP 平分 ∠AOP)
P
B
A
Ｏ
C
D
(角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上)
PD⊥OB，
且 PC=PD.
比
一
比
图形
已知 条件
结论
P
C
P
C
OP平分∠AOB
PD⊥OA 于点D
PE⊥OB 于点E
PD=PE
OP平分∠AOB
PD=PE
PD⊥OA 于点D
PE⊥OB 于点E
角的平分线的判定
角的平分线的性质
(角的内部的)点到角两边的距离相等
点在角平分线上
性质
判定
1、已知，如图，OC 是 ∠AOB 内部的一条射线，P 是射线 OC上任意点，PD⊥OA，PE⊥OB，下列条件中：
① ∠AOC=∠BOC，② PD=PE，③ OD=OE，④ ∠DPO=∠EPO，能判定 OC 是 ∠AOB 的角平分线的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
D
知识拓展：
判定角平分线的方法：
① 角平分线的定义
② 角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.
(角平分线的判定定理)
巩固练习
A
O
B
P
1
2
E
F
2、已知 PA=PB， ∠1+ ∠2=180°,求证：OP 平分 ∠AOB
证明：
过点 P 分别作
PF⊥OB 于点F，
PE⊥OA于点E，
则 ∠PEA=∠PFB=90°
∵ ∠1+ ∠2=180°，
∠PBF+ ∠2=180°
在 △PEA 和 △PFB 中
∠PEA=∠PFB
∠1=∠PBF
PA=PB
∵
∴ △PEA≌△PFB
∴ PE＝PF
又∵ PE⊥OA，PF⊥OB
(AAS)
(全等三角形的对应边相等)
∴ OP平分∠AOB
∴ ∠1=∠PBF
(同角的补角相等)
(角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上)
知识点1 角平分线的性质
1. 如图，为 的平分线，
，，垂足分别是点, ,
则下列结论不一定正确的是( )
D
A. B.
C. D.
返回
2. 已知是等腰三角形底边上的高，若点 到直线
的距离为3，则点到直线 的距离为( )
C
A. B. 2 C. 3 D.
返回
（第3题）
3. ［2024天津］如图， 中，
, ，以点 为圆心，
适当长为半径画弧，交于点，交
于点；再分别以点, 为圆心，大于
的长为半径画弧，两弧（所在圆的
B
A. B. C. D.
半径相等）在的内部相交于点；画射线，与 相
交于点，则 的大小为( )
（第3题）
【点拨】 , ，
.
由作图知，平分 ，
.
.
返回
（第4题）
4. 如图，在
中，以点 为圆心，任意长
为半径作弧，分别交, 于点
,；分别以点， 为圆心，大
12
于的长为半径作弧，两弧交于点；作射线交于点 .
若,,的面积为8，则 的面积为____.
返回
知识点2 角的平分线的判定
（第5题）
5. 如图，， ，垂足分别
为，，，相交于点 ，若
，则与 的大小关系是( )
A
A. B.
C. D. 无法确定
返回
（第6题）
6. ［2025东莞期中］小明将两把完全
相同的长方形直尺（单位： ）如图
放置在 上，两把直尺的接触点为
，边 与其中一把直尺边缘的交点为
，点, 在这把直尺上的刻度读数分
别是2和5，则 的长度是( )
A
A. B. C. D.
返回
易错点 因考虑问题不全面而漏解
7.如图，直线,, 表示三条两两相互交叉的公路,现在拟建
一个货物中转站,要求它到三条公路的距离都相等,则可供选
择的地址有___处.
4
返回
8.［2025宿州校级模拟］如图，钝角三角形 的面积为14，
最长边，平分，点，分别是， 上的
动点，则 的最小值为___.
4
（第8题）
【点拨】如图，过点作于点 ，
交于点，过点作于点 ，
此时有最小值. 平分
面积为14，， ，
，即 的最小值为4.
，，， ，
三角形 的
返回
9.［2025宁波期中］如图，四边形，和分别平分
和，过点，且与垂直，若 ，
，则四边形的面积是____ .
40
（第9题）
【点拨】如图，过点作于点 ，
., ，
易得 .
平分，平分，， ，
.
， ，
.同理可得 ，
， 四边形的面积 .
返回
10. ［2025合肥蜀山区期末］如图，分别
以的边， 为直角边，向外作
等腰直角三角形,，连接 ,
，,交于点，连接 .下列结论
中不一定成立的是( )
D
A. B.
C. 平分 D.
【点拨】由题意得, ,
，
，
，
，故A正确，不符合题意；
如图①.
， .
，
，
，故B正确，不符合题意；
如图②,过点作于点，作于点 .
，
.
， .
又， ,
平分 ，故C正确，不符合题意；
现有条件不足以证明 ，故D错误，符合题意，
故选D.
返回
11.［2025池州期末］如图，在的两边， 上分别
取点，，连接.若平分，平分 .
（1）求证：平分 ；
【证明】如图，过点作 ，垂足
为，过点作，垂足为 ，过
点作，垂足为 .
平分，， ，
.
平分，， ，
，， 平分
.
（2）若，且与 的面积
分别是16和24，则线段与 的长度之和
为____.
20
A
O
B
P
1
2
E
F
2、已知 PA=PB， ∠1+ ∠2=180°,求证：OP 平分 ∠AOB
证明：
过点 P 分别作
PF⊥OB 于点F，
PE⊥OA于点E，
则 ∠PEA=∠PFB=90°
∵ ∠1+ ∠2=180°，
∠PBF+ ∠2=180°
在 △PEA 和 △PFB 中
∠PEA=∠PFB
∠1=∠PBF
PA=PB
∵
∴ △PEA≌△PFB
∴ PE＝PF
又∵ PE⊥OA，PF⊥OB
(AAS)
(全等三角形的对应边相等)
∴ OP平分∠AOB
∴ ∠1=∠PBF
(同角的补角相等)
(角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上)
图形
已知 条件
结论
P
C
P
C
OP平分∠AOB
PD⊥OA 于点D
PE⊥OB 于点E
PD=PE
OP平分∠AOB
PD=PE
PD⊥OA 于点D
PE⊥OB 于点E
角的平分线的判定
角的平分线的性质
(角的内部的)点到角两边的距离相等
点在角平分线上
性质
判定

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