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沪科版数学8年级上册精做课件授课教师：.班级：8年级（）班.时间：.15.4.1等腰三角形的性质第十五章轴对称图形与等腰三形沪科版数学八年级上册15.4.1等腰三角形的性质练习题本次练习题围绕15.4.1等腰三角形的性质核心知识点编写，重点考查等腰三角形的定义、等边对等角核心性质、等腰三角形三线合一定理、等腰三角形轴对称特征、利用性质求角度、求边长、辨析常见易错题型、规范几何推理证明等重难点考点。题型延续固定分层结构，包含选择题、填空题、解答题，难度循序渐进，贴合八年级几何基础推理节奏，帮助学生吃透等腰三角形核心性质，理清边角对应关系，规范几何解题步骤，完善轴对称三角形知识体系。一、选择题（每题4分，共20分）1.等腰三角形的两底角相等，这一性质简称为（）A.等角对等边B.等边对等角C.三线合一D.轴对称性质2.等腰三角形“三线合一”中的三线不包括（）A.顶角平分线B.底边上的中线C.腰上的高D.底边上的高3.已知等腰三角形的一个顶角为70°，则它的底角度数为（）A. 70°B. 55°C. 40°D. 35°4.等腰三角形的对称轴是（）A.腰上的中线B.底边上的高所在直线C.底边本身D.腰上的高5.下列关于等腰三角形的说法正确的是（）A.任意两个角相等B.两腰相等，两底角相等C.只有一条高D.三条边都相等二、填空题（每题4分，共24分）6.有两条边相等的三角形叫做__________三角形。7.等腰三角形的两个__________相等，简称等边对等角。8.等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、__________相互重合，即三线合一。9.等腰三角形是__________图形，有且只有一条对称轴。10.若等腰三角形一个底角为50°，则它的顶角为__________°。11.三线合一的适用对象仅限等腰三角形的__________（填“腰”或“底边”）相关线段。三、解答题（共56分）12.（18分）完整简述等腰三角形的两大核心性质，并标注适用条件。13.（18分）已知：在△ABC中，AB=AC，∠B=65°，求∠A、∠C的度数。14.（20分）已知：AB=AC，AD⊥BC，垂足为D，求证：AD平分∠BAC、BD=CD。参考答案及解析一、选择题1. B解析：等腰三角形核心性质，两条腰对应相等，对应的两个底角相等，即等边对等角。2. C解析：三线合一特指顶角平分线、底边上的中线、底边上的高，腰上的高不满足该性质。3. B解析：等腰三角形两底角相等，底角=(180° 70°)÷2=55°。4. B解析：图形对称轴为直线，等腰三角形对称轴是底边上的高所在直线。5. B解析：等腰三角形定义为两腰相等，对应性质为两底角相等，其余选项表述均错误。二、填空题6.等腰7.底角8.底边上的高9.轴对称10. 80 11.底边三、解答题12.解：①等边对等角：等腰三角形的两条腰相等，对应的两个底角相等，适用于所有等腰三角形；②三线合一：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合，仅针对底边和顶角适用，腰不适用该性质。13.解：∵AB=AC，∴△ABC为等腰三角形，∠C=∠B=65°。根据三角形内角和定理，∠A=180° 65° 65°=50°。14.证明：∵AB=AC，AD⊥BC，根据等腰三角形三线合一性质，底边上的高既是底边上的中线，也是顶角平分线。∴BD=CD，AD平分∠BAC。本套习题聚焦等腰三角形核心性质，重点训练学生掌握等边对等角、三线合一两大重难点，规避三线合一误用、角度计算漏解等常见易错点。习题由浅入深，兼顾概念识记、角度边长计算与规范几何证明，贴合本节教学核心，帮助学生精准掌握等腰三角形的边角规律与几何特征，熟练运用性质解题，夯实轴对称三角形几何基础，为后续等腰三角形判定、等边三角形学习做好铺垫。（字数900）等腰三角形
概念回顾
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形 .
等腰三角形中，
相等的两边叫做 腰，
腰
腰
底边
底角
底角
顶
角
第三边叫做 底边.
两腰的夹角叫做 顶角，
腰与底边的夹角叫做 底角.
A
B
C
概念回顾
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形 .
等腰三角形是一类特殊的三角形.等腰三角形除具有一般三角形的性质外，还具有什么样的特殊性质呢？
腰
腰
底边
底角
底角
顶
角
A
B
C
底边上的中线所在的直线是它的对称轴.
操 作
A
B
C
D
画一个等腰三角形ABC，如下图，
把边 AB 叠合到边 AC 上，
这时点 B 与点 C 重合，
并出现折痕 AD.
图中哪些线段或角相等？
观察图形：
△ADB 与 △ADC 有什么关系？
等腰三角形是轴对称图形，
等腰三角形具有对称性：
猜 想
操 作
A
B
C
D
AB=AC
∠B=∠C
BD=CD
∠BAD=∠CAD
∠BDA=∠CDA
=90°
猜想 1：等腰三角形的两底角相等
AD 为底边上的中线
AD 为顶角平分线
AD 为底边上的高
猜想 2： 等腰三角形的
顶角平分线、
互相重合
底边上的中线、
底边上的高
猜想 2：等腰三角形顶角的平分线垂直平分底边.
A
B
C
D
已知：如图，在△ABC 中，AB=AC.
求证：∠B=∠C.
证明：
过点 A 作 AD⊥BC，交 BC 于点 D
则 ∠ADB ＝∠ADC＝90°
在 Rt△ABD 与 Rt△ACD 中
∵
AB＝AC
(已知)
AD＝AD
(公共边)
∴ Rt△ABD ≌ Rt△ACD
(HL)
∴ ∠B＝∠C
(全等三角形对应角相等)
猜想 1：等腰三角形的两底角相等
验证猜想
已知：如图，在△ABC 中，AB=AC.
求证：∠B=∠C.
A
B
C
D
证明：
取 BC 的中点，连接AD
则 BD=CD
在△ABD与△ACD中
AB=AC
BD=CD
AD=AD
∵
(公共边)
∴ △ABD≌△ACD
∴ ∠B=∠C
(SSS)
(全等三角形对应角相等)
猜想 1：等腰三角形的两底角相等
验证猜想
已知：如图，在△ABC 中，AB=AC.
求证：∠B=∠C.
A
B
C
D
证明：
作顶角 ∠BAC 的平分线 AD，交 BC 于点 D
则 ∠BAD=∠CAD
在△ABD与△ACD中
AB＝AC
∠BAD=∠CAD
AD＝AD
(公共边)
∵
∴ △ABD≌△ACD
∴ ∠B＝∠C
(SAS)
(全等三角形对应角相等)
猜想 1：等腰三角形的两底角相等
验证猜想
等腰三角形的性质
A
B
C
定理 1：
等腰三角形的两个底角相等.
简称“等边对等角”
几何语言：
∵ 在 △ABC 中，AB=AC
∴ ∠B=∠C
(等边对等角)
知识拓展：
① 适用条件：
必须在同一个三角形中.
② 作用：
是证明角相等的常用方法，应用它证角即可省去三角形全等的证明，因而更简便.
验证猜想
猜想 2：等腰三角形顶角的平分线垂直平分底边.
A
B
C
D
已知：如图，在△ABC 中，AB=AC，∠BAD=∠CAD.
求证：
BD=CD
∠BDA=∠CDA=90°，
证明：
在 △ABD 与 △ACD 中
AB=AC
∠BAD=∠CAD
AD=AD
∵
(公共边)
∴ △ABD≌△ACD
∴ BD=CD，
(SAS)
∠BDA=∠CDA
又∵ ∠BDA+∠CDA=180°
∴ ∠BDA=∠CDA=90°
等腰三角形的性质
定理 2：
顶角平分线、
互相重合.
底边上的中线、
底边上的高
等腰三角形的
简称“三线合一”
即
等腰三角形顶角的平分线垂直平分底边
A
B
C
D
思考： 在等腰三角形中，若出现“三线”中的“一线”，我们应该想到什么？
知一得二
等腰三角形的性质
定理 2：
顶角平分线、
互相重合.
底边上的中线、
底边上的高
等腰三角形的
简称“三线合一”
即
等腰三角形顶角的平分线垂直平分底边
A
B
C
D
几何语言：
① ∵ 在△ABC中，AB＝AC，
② ∵ 在△ABC中，AB＝AC，
∠BAD＝∠CAD
∴ BD＝CD，
AD⊥BC
∴ ∠BAD=∠CAD ，
AD⊥BC
BD＝CD
(三线合一)
(三线合一)
③ ∵ 在△ABC中，AB＝AC，
BD=CD
∴ ∠BAD=∠CAD ，
AD⊥BC
(三线合一)
等腰三角形的性质
定理 2：
顶角平分线、
互相重合.
底边上的中线、
底边上的高
等腰三角形的
简称“三线合一”
等腰三角形顶角的平分线垂直平分底边
即
A
B
C
D
知识拓展：
① 适用条件：
(1) 必须是等腰三角形
(2) 必须是顶角的平分线、底边上的中线
和底边上的高才互相重合.
② 作用：
是证明线段相等、角相等、线段垂直等关系的重要方法.
画出任意一个等腰三角形的底角平分线、这个底角所对的腰上的中线和高，看看它们是否重合？
不重合！
三线合一
“三线合一”必须是等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线和底边上的高互相重合
为什么不一样
A
B
C
A
B
C
问题 1：等边三角形的三个内角之间有什么关系？
等腰三角形
AB=AC
∠B=∠C
等边三角形
AB=AC=BC
∠A=∠B=∠C=60°
探究新知
猜想 3：等边三角形三个内角相等，每一个内角都等于60°.
已知：AB=AC=BC.
求证：∠A= ∠ B=∠C= 60°.
A
B
C
证明：
∵ AB=AC=BC
∴ ∠B=∠C，∠A=∠C
(等边对等角)
∴ ∠A=∠B=∠C
∵ ∠A+∠B+∠C=180°
∴ ∠A=∠B=∠C=60°
(三角形的内角和等于180°)
验证猜想
猜想 3：等边三角形三个内角相等，每一个内角都等于60°.
归纳总结
等边三角形三个内角相等，每一个内角都等于60°.
等边三角形的性质
A
B
C
几何语言：
∵ △ABC 是等边三角形
∴ ∠A=∠B=∠C=60°
AB=AC=BC
A
B
C
A
B
C
问题 2 等边三角形有“三线合一”的性质吗？等边三角形有几条对称轴？
顶角的平分线、底边上的高
底边上的中线
三线合一
知识拓展：
① 等边三角形各边上的高、中线和所对角的平分线都“三线合一”.
② 等边三角形是特殊的等腰三角形，具备等腰三角形的所有性质.
知识点1 等腰三角形的“等边对等角”的性质
（第1题）
1.［2024济南］如图，已知， 是
等腰直角三角形， ，顶点,
分别在,上，当 时， ____.
返回
2.［2024内江］如图，在中， ，
，，则 的度数为______.
（第2题）
返回
（第3题）
3.如图，在点处用钉子将木条，
钉在一起，是木条 上一点，用橡皮
筋连接，，固定木条 ，把木条
绕转动．若是 的中点，当
的面积最大时，与 之
间存在的数量关系为_______________.
返回
4. 如图，锐角三角形中，，点， 分别在边
,上，连接, .下列命题中，假命题是( )
A
（第4题）
A. 若，则
B. 若,则
C. 若，则
D. 若，则
返回
知识点2 等边三角形的性质
（第5题）
5.如图，等腰三角形纸片中， ，
，垂足为 .小花放入一张等边三角形
纸片，在上，为与 的交点，
小都又放一张等边三角形纸片，在 上.
小花和小都量得， ，那么等腰三
角形纸片底边 的长应为____.
11
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（第6题）
6. 如图，是等边三角形的边
上的高，以点为圆心， 长为半径作
弧，交的延长线于点，连接 ，则
( )
C
A. B. C. D.
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（第7题）
7. 如图，是等边三角形， 是角平
分线，是等边三角形，连接 ，有
下列结论：
；； .
其中正确的个数为( )
A
A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
（第7题）
【点拨】是等边三角形， 是角
平分线， ， ，①正
确； 是等边三角形，
，
. 平分
，，，②正确； ，③正
确， 正确结论的个数是3.
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易错点 求角的度数时考虑问题不全而漏解
8. 在和 中，
，， ，已知
，则 ______________.
或
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9. ［2025芜湖校级模拟］如图，在中， ，
，，分别是，，上的点，且 ，
，若 ，则 的度数是( )
C
A. B. C. D.
【点拨】， .在
和中， ，
.又 ，
. . .
.
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10. ［2024遂宁］如图①，与 满足
，，， ，我们称这
样的两个三角形为“伪全等三角形”.如图②，在 中，
，点,在线段上，且 ，则图中共有“伪
全等三角形”( )
D
A. 1对 B. 2对 C. 3对 D. 4对
【点拨】 ,
.在和
, ,, ,
和是一对“伪全等三角形”. 同理可得，
中， .
和 是一对“伪全等三角形”，
和 是一对“伪全等三角
形”，和 是一对 “伪全等
三角形”. 题图②中共有4对“伪全等
三角形”.故选D.
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11.如图，在 中，
， ，在 上
取一点，延长到点 ，使得
；在上取一点 ，
延长到点，使得 ；
在上取一点，延长到点，使得 ；….
按此操作进行下去，那么第个三角形的内角 ____
（用含 的式子表示）.
【点拨】， ，
.
，是 的外角，
.同理可得
， ， .
.
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12.如图，在等边三角形中，点是 边
上一点（点不与端点重合）．作点 关于
直线的对称点，连接，在射线 上
取一点，使 ，延长与 所
在直线交于点 .
（1）求证： ；
【证明】 是等边三角形，
.
， .
.
.
（2）若，求 的长；
【解】 点关于直线的对称点为点 ，
， .
设 ，
， ，
.
.
（3）当在边上运动时，，， 面积之
间的数量关系为______________________．
【点拨】如图，在上截取，连接 ，
设.易得 ，
，
，
， ，同（2）
得，
.
易得 ，
， .
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13.［2025沈阳月考］如图①，已知直线与轴、
轴分别交于，两点，以 为直角顶点在第二象限作等腰直
角三角形 .
（1）求点的坐标，并求出直线， 的表达式.
【解】如图①，过点作轴，垂足为 .
在中，令，可得 ，
.
令，可得， .
， .
为等腰直角三角形，
， .
.
， .
.
在和中，
.
， .
.
设直线的表达式为，把， 的坐标
代入，得解得
直线的表达式为 .
设直线的表达式为，把， 的坐
标代入，得
解得
直线的表达式为 .
等腰三角形的性质
定理 1：
等腰三角形的两个底角相等.
简称“等边对等角”
定理 2：
顶角平分线、
互相重合.
底边上的中线、
底边上的高
等腰三角形的
简称“三线合一”
即
等腰三角形顶角的平分线垂直平分底边
等边三角形的性质
① 等边三角形三个内角相等，每一个内角都等于60°.
② 等边三角形各边上的高、中线和所对角的平分线都“三线合一”
③ 等边三角形是特殊的等腰三角形，具备等腰三角形的所有性质.
等腰三角形中常见的添辅助线的方法是：
作等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高.

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