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沪科版数学8年级上册精做课件授课教师：.班级：8年级（）班.时间：.15.4.2等腰三角形的判定第十五章轴对称图形与等腰三形沪科版数学八年级上册15.4.2等腰三角形的判定练习题本次练习题围绕15.4.2等腰三角形的判定核心知识点编写，重点考查等腰三角形的判定定理“等角对等边”、判定与性质的区别、利用角度关系判定等腰三角形、结合平行线、三角形内角和推导等角、证明三角形为等腰三角形、规范几何推理书写等重难点考点。题型延续固定分层结构，包含选择题、填空题、解答题，难度循序渐进，贴合八年级几何推理学习节奏，帮助学生理清性质与判定的因果逻辑，熟练掌握等腰三角形判定方法，完善等腰三角形完整知识体系。一、选择题（每题4分，共20分）1.等腰三角形的判定定理是（）A.等边对等角B.等角对等边C.三线合一D.轴对称图形2.在△ABC中，∠A=∠B，则下列结论正确的是（）A. AB=AC B. BC=AC C. AB=BC D. ∠C=60°3.下列条件中，不能判定△ABC是等腰三角形的是（）A. ∠A=∠C B. AB=BC C. ∠A+∠B=90°D.两角度数相等4.关于等腰三角形性质与判定的关系，说法正确的是（）A.性质：由角相等推边相等B.判定：由边相等推角相等C.性质：由边相等推角相等D.两者完全相同5.若三角形一个外角等于不相邻的一个内角，且两角对应相等，则该三角形为（）A.直角三角形B.等腰三角形C.等边三角形D.钝角三角形二、填空题（每题4分，共24分）6.等腰三角形判定定理：在一个三角形中，如果__________相等，那么它们所对的__________相等，简称等角对等边。7.有两条边相等的三角形是等腰三角形，有__________个角相等的三角形也是等腰三角形。8.判定等腰三角形有两种方法：一是证明__________相等，二是证明__________相等。9.在△ABC中，∠A=40°，∠B=40°，可判定△ABC为__________三角形。10. “等边对等角”是等腰三角形的__________，“等角对等边”是等腰三角形的__________。11.结合平行线性质得到内错角相等，可间接证明三角形__________，进而判定等腰三角形。三、解答题（共56分）12.（18分）简要说明等腰三角形性质与判定定理的区别与联系。13.（18分）已知：在△ABC中，∠B=∠C=55°，求证：AB=AC。14.（20分）已知：AD∥BC，BD平分∠ABC，求证：△ABD是等腰三角形。参考答案及解析一、选择题1. B解析：等角对等边是等腰三角形唯一核心判定定理，用于证明三角形两边相等。2. B解析：∠A、∠B为三角形内角，两角相等，对应对边BC、AC相等。3. C解析：两角互余只能判定三角形为直角三角形，无法推出边或角相等，不能判定等腰三角形。4. C解析：性质是已知两边相等推出底角相等，判定是已知两角相等推出对边相等，二者互为逆定理。5. B解析：通过角度等量代换可推出三角形两内角相等，满足等角对等边，判定为等腰三角形。二、填空题6.两个角；两条边7.两8.两边；两角9.等腰10.性质；判定定理11.内角相等三、解答题12.区别：性质是已知三角形为等腰三角形（边相等），推导对应角相等，由边推角；判定是已知三角形两角相等，推导对应边相等，证明三角形为等腰三角形，由角推边。联系：二者互为逆定理，是等腰三角形边角关系的正反推理依据，相辅相成。13.证明：∵在△ABC中，∠B=∠C（已知），根据等腰三角形判定定理“等角对等边”，∴AB=AC。14.证明：∵AD∥BC（已知），∴∠ADB=∠CBD（两直线平行，内错角相等）。∵BD平分∠ABC（已知），∴∠ABD=∠CBD。∴∠ADB=∠ABD（等量代换）。∴AB=AD（等角对等边），即△ABD是等腰三角形。本套习题聚焦等腰三角形判定核心考点，重点训练学生掌握“等角对等边”定理、区分性质与判定的逻辑差异、结合平行线与角度计算证明等腰三角形的能力。习题由浅入深，规避正反定理混淆、角度推导疏漏等易错问题，兼顾基础概念与几何证明应用，帮助学生构建完整的等腰三角形知识体系，熟练规范几何推理步骤，提升数形结合与逻辑论证能力，为等边三角形判定与几何综合题学习筑牢基础。（字数900）逆
命
题
它是真命题吗？你能证明吗？
有两个角相等的三角形是等腰三角形
等腰三角形的两个底角相等.
定理：
等腰三角形的性质
探究新知
简称“等边对等角”
A
B
C
D
已知：如图，在 △ABC 中，∠B=∠C.
求证：AB=AC
证明：
过点 A 作 AD⊥BC，D 为垂足
∴ ∠ADB=∠ADC=90°
在 △ADB 与 △ADC 中
∠B=∠C
∠ADB=∠ADC
AD=AD
∵
(公共边)
∴ △ADB≌△ADC
∴ AB=AC
(AAS)
(全等三角形对应边相等)
(垂直的定义)
(已证)
(已知)
验证猜想
猜想：有两个角相等的三角形是等腰三角形
有两个角相等的三角形是等腰三角形
等腰三角形的判定
定理：
C
A
B
简称“等角对等边”
几何语言：
∵ ∠B=∠C
∴ AB=AC
(等角对等边)
知识拓展：
① 适用条件:
必须在同一个三角形中，
并要找准“对边”和“对角”
② 作用：
它是判定一个三角形是否为等腰三角形的重要依据，
这个定理叫做等腰三角形的判定定理，
也是判定两条线段是否相等依据之一.
如图，下列推理正确吗
A
B
C
D
2
1
(等角对等边)
A
B
C
D
2
1
(等角对等边)
错，因为都不是在同一个三角形中.
辨一辩
∵ ∠1=∠2 ∴ BD=DC
∵ ∠1=∠2 ∴ DC=BC
×
×
等腰三角形的性质：
等腰三角形的两个底角相等.
简称“等边对等角”
归纳总结
等腰三角形的判定：
有两个角相等的三角形是等腰三角形
简称“等角对等边”
互为逆定理
思考：等腰三角形的性质与判定的相同点和不同点：
相同点：
使用的前提都是“在同一个三角形中”
不同点：
由三角形的两边相等，得到它们所对的角相等，是等腰三角形的性质.
由三角形的两角相等，得到它们所对的边相等，是等腰三角形的判定.
1、如图，关于△ABC，给出下列四组条件：
① △ABC 中，AB=AC；
② △ABC 中，∠B=56°，∠BAC=68°；
③ △ABC 中，AD⊥BC，AD 平分 ∠BAC；
④ △ABC 中，AD⊥BC，AD 平分边 BC．
其中，能判定 △ABC 是等腰三角形的条件共有（　　）
A.1组 B.2组 C.3组 D.4组
知识拓展：
判定一个三角形是否为等腰三角形的方法有几种
① 有两条边相等的三角形是等腰三角形
② 有两个角相等的三角形是等腰三角形，即“等角对等边”
(等腰三角形的定义)
(等腰三角形的判定定理)
D
2、已知：如图，四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D.
求证：BC＝CD.
A
C
D
B
证明：
∵ AB=AD
∴ ∠ABD=∠ADB
又∵ ∠ABC=∠ADC
∴ ∠ABC-∠ABD=∠ADC-∠ADB
即 ∠DBC=∠BDC
∴ BC=CD
连接BD
(等边对等角)
(等角对等边)
(等式性质)
3、如图，AE 是 △ABC 的外角 ∠DAC 的平分线，且 AE∥ BC.请你判断 △ABC 的形状，并说明理由.
解：△ABC 是等腰三角形.
理由如下：
∵ AE是 ∠DAC 的平分线
∴ ∠DAE=∠EAC
(角平分线的定义)
∵ AE∥ BC
∴ ∠DAE=∠B
(两直线平行，同位角相等)
∠EAC=∠C
(两直线平行，内错角相等)
∴ ∠B=∠C
∴ AB=AC
(等角对等边)
∴ △ABC 是等腰三角形
知识拓展：
“角平分线+平行线 等腰三角形”是一种常见的基本图形
4、如图 1，△ABC 中，∠ABC、∠ACB 的平分线交于 O 点，过 O 点作 BC 平行线交 AB、AC 于 D、E．
(1) 请写出图1中线段BD，CE，DE之间的数量关系？并说明理由.
(2) 如图2，△ABC 若 ∠ABC 的平分线与 △ABC 的外角平分线交于O，过点 O 作 BC 平行线交 AB 于 D，交 AC 于 E．那么 BD，CE，DE之间存在什么数量关系？并证明这种关系．
知识拓展：
“角平分线+平行线 等腰三角形”是一种常见的基本图形
探究新知
思考 1：如何判断一个三角形是不是等边三角形？
A
B
C
猜想：三个角都相等的三角形是等边三角形.
证明：
∵ ∠A=∠B
(已知)
∴ BC=AC
(等角对等边)
已知：如图，△ABC 中， ∠ A=∠B=∠C
求证：△ABC 是等边三角形
又∵ ∠B=∠C
∴ AC=AB
(等角对等边)
∴ BC=AC=AB
(等边三角形的定义)
∴ △ABC是等边三角形
(等量代换)
归纳总结
A
B
C
三个角都相等的三角形是等边三角形.
等边三角形的判定：
推论 1：
几何语言：
∵ ∠A=∠B=∠C
∴ △ABC 是等边三角形
(三个角都相等的三角形是等边三角形)
探究新知
思考 2：如果一个等腰三角形中有一个角是 60°，那么这个三角形是什么三角形？
① 当顶角是 60° 时
② 当底角是 60° 时
已知：△ABC中，AB=AC， ∠A=60°.
求证：△ABC是等边三角形
A
B
C
证明：
∵ AB=AC，
(已知)
∴ ∠B=∠C
= ×(180°-∠A）
=60°
1
2
(等边对等角)
且 ∠A=60°
∴ ∠A=∠B=∠C= 60°
∴ △ABC是等边三角形
(三个角都相等的三角形是等边三角形)
① 当顶角是60°时
60°
探究新知
已知：△ABC中，AB=AC， ∠B=60°.
求证：△ABC是等边三角形
A
B
C
证明：
∵ AB=AC，
(已知)
∴ ∠C=∠B
=60°
(等边对等角)
且 ∠B=60°
∴ ∠A=∠B=∠C= 60°
∴ △ABC是等边三角形
(三个角都相等的三角形是等边三角形)
② 当底角是60°时
60°
∴ ∠A=180°-∠B-∠C= 60°
探究新知
有一个角是 60° 的等腰三角形是等边三角形.
等边三角形的判定：
推论 2：
A
B
C
几何语言：
∵ AB=AC，∠A=60°
或 ∠B=60°
或 ∠C=60°
归纳总结
∴ △ABC 是等边三角形
(有一个角是 60° 的等腰三角形是等边三角形)
1、根据条件判断下列三角形是否为等边三角形.
（1）
（2）
（6）
（5）
（4）
（3）
不
是
是
是
是
是
不一定
是
对应练习
判定一个三角形是否为等边三角形的方法有几种？
归纳总结
① 三条边都相等的三角形是等边三角形.
等边三角形的判定：
② 三个角都相等的三角形是等边三角形.
③ 有一个角是 60° 的等腰三角形是等边三角形.
(等边三角形的定义)
(等边三角形的判定 1 )
(等边三角形的判定 2 )
知识点 等腰三角形的“三线合一”的性质
（第1题）
1.如图，为了让电线杆垂直于地面，工程
人员的操作方法是：从电线杆上一点
往地面拉两条长度相等的固定绳和 ，
当固定点，到杆脚 的距离相等，点
，，在同一直线上时，电线杆 就
等腰三角形的
三线合一
垂直于 ．工程人员这种操作方法的依据是______________
_________.
返回
（第2题）
2.如图，在中， .分别以点
和点为圆心，大于 的长为半径作弧，
两弧交于点，作直线交于点 ，若
，则的大小为___ .
D
返回
（第3题）
3. 如图，在等腰三角形中，， 为
中点，连接，若， ，则
与 之间的函数关系式是( )
D
A. B. C. D.
返回
（第4题）
4. ［2024广州］如图，在 中，
，，为边
的中点，点，分别在边， 上，
，则四边形 的面积为
( )
C
A. 18 B. C. 9 D.
【点拨】连接 ，如图.
，，是
的中点， ,
.又 ,
.
.又, .
返回
5. ［2025临沂期末］如图，在 中，
，，，直线 垂
直平分线段，若为边的中点，点 为
直线上一动点，则 周长的最小值为
( )
C
A. 10 B. 11 C. 12 D. 13
【点拨】如图，连接, ，
，为边的中点， ，
， .
，
，
解得 直线垂直平分线段， ，
的周长为
.由两点之间
线段最短可知，当,, 三点共线时，
的值最小，最小值为 的长，
周长的最小值为
.
返回
6.［2025合肥期末］在中， ，
，是的中点，点是线段上一点．
于点，交于点 ．
（1）如图①，求证：
① ；
是的中点，， ，
， ， .
.
， .
又 ，
.
② ．
【证明】由①知， ，
在和中，
， .
（2）如图②，过点作交的延长线于点， 的
延长线交的延长线于点，请在图中找出与 相等的线
段，并证明．
【解】 .证明如下：
， ，
， ，
.
由（1）知 .
在和中，
， .
返回
等腰三角形的判定：
① 有两条边相等的三角形是等腰三角形
② 有两个角相等的三角形是等腰三角形，即“等角对等边”
(等腰三角形的定义)
(等腰三角形的判定定理)
① 三条边都相等的三角形是等边三角形.
等边三角形的判定：
② 三个角都相等的三角形是等边三角形.
③ 有一个角是 60° 的等腰三角形是等边三角形.
(等边三角形的定义)
(等边三角形的判定 1 )
(等边三角形的判定 2 )
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