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沪科版数学8年级上册精做课件授课教师：.班级：8年级（）班.时间：.15.4.3含30°角的直角三角形的性质第十五章轴对称图形与等腰三形沪科版数学八年级上册15.4.3含30°角的直角三角形的性质练习题本次练习题围绕15.4.3含30°角的直角三角形的性质核心知识点编写，重点考查含30°角直角三角形的专属性质、边长数量关系、定理适用条件、利用性质求直角三角形边长、结合三角形内角和进行角度计算、性质的简单几何证明与实际应用等重难点考点。题型延续固定分层结构，包含选择题、填空题、解答题，难度循序渐进，贴合八年级几何基础题型，帮助学生掌握特殊直角三角形的边角规律，区分普通直角三角形与特殊直角三角形的性质差异，完善特殊三角形知识体系。一、选择题（每题4分，共20分）1.在含30°角的直角三角形中，30°角所对的直角边等于（）A.另一条直角边的一半B.斜边的一半C.斜边长的两倍D.任意边长的一半2. Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，若斜边AB=10cm，则BC的长为（）A. 2cm B. 5cm C. 10cm D. 20cm3.下列关于含30°角直角三角形性质的说法正确的是（）A.任意直角三角形都满足该性质B. 30°对边是斜边一半，定理前提为直角三角形C. 60°角对边为斜边一半D.所有三角形均适用4. Rt△ABC中，∠C=90°，AB=16cm，BC=8cm，则∠A的度数为（）A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°5.含30°角的直角三角形，两锐角的度数分别为（）A. 30°、45°B. 30°、60°C. 45°、60°D. 30°、90°二、填空题（每题4分，共24分）6.在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于__________的一半。7.直角三角形中，30°角对的直角边最短，__________边最长。8. Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，斜边AB=12，则AC=__________。9.若直角三角形一条直角边等于斜边的一半，则这条直角边所对的锐角为__________°。10.含30°角的直角三角形，除直角外，两个锐角互余，度数分别是30°和__________°。11.该性质定理仅适用于__________三角形，普通三角形不适用。三、解答题（共56分）12.（18分）简述含30°角的直角三角形的性质定理，并写出定理的适用条件。13.（18分）已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=18cm，求BC的长度。14.（20分）已知：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，∠A=30°，求证：BC= AB。参考答案及解析一、选择题1. B解析：含30°角直角三角形核心性质，30°锐角所对直角边长度等于斜边的一半。2. B解析：∠A=30°，对边为BC，BC= AB= ×10=5cm。3. B解析：该定理专属直角三角形，必须同时满足直角、一个锐角为30°两个条件方可成立。4. A解析：BC= AB，说明BC所对的∠A=30°，符合定理逆用规律。5. B解析：直角三角形两锐角互余，90° 30°=60°，两锐角为30°、60°。二、填空题6.斜边7.斜8. 6 9. 30 10. 60 11.直角三、解答题12.解：性质定理：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。适用条件：图形必须为直角三角形，且存在一个锐角的度数为30°，两个条件缺一不可，普通三角形、等腰直角三角形均不适用。13.解：∵△ABC为直角三角形，∠C=90°，∠A=30°，根据含30°角直角三角形的性质，30°角对的直角边BC= AB。代入数据得BC= ×18=9cm。14.证明：∵△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，∠A=30°，根据含30°角直角三角形的性质定理，在直角三角形中30°锐角所对的直角边等于斜边的一半，∠A对应的直角边为BC，斜边为AB，∴BC= AB，命题得证。本套习题聚焦含30°角直角三角形的专属性质，重点训练学生掌握特殊三角形边角关系、定理正用与逆用、规范几何计算与简单证明的能力。习题难度平缓，精准规避定理乱用、边角对应错误等易错点，以基础计算和概念应用为主，帮助学生熟记特殊直角三角形的核心规律，区分各类特殊三角形的性质差异，丰富三角形几何知识体系，为后续几何综合计算、证明题型夯实基础。（字数900）A
B
C
D
问题 1 将一张等边三角形纸片，沿一边上的高对折，如图所示， 你有什么发现？
探究新知
等边三角形变成一个含30°角的直角三角形
30°
问题 2 如图，将两个含 30° 角的三角尺摆放在一起，你能借助这个图形，找到 Rt△ABC 的直角边 BC 与斜边 AB 之间的数量关系吗？
C
A
B
探究新知
30°
BC=
1
2
AB
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半.
你能证明吗？
已知：如图，在Rt△ABC 中，∠C =90°，∠A =30°.
A
B
C
D
1
2
求证：BC
= AB．
验证猜想
证明：
延长 BC 到 D，
使 BD=AB，
连接AD
∵ ∠ACB=90°，∠BAC=30°
∴ ∠B =60°
∴ △ABD 是等边三角形
∴ BC = BD，　　
且 BD=AB
∴ BC = AB　
补短法
A
B
C
D
已知：如图，在Rt△ABC 中，∠C =90°，∠A =30°.
1
2
求证：BC
= AB．
验证猜想
证明：
在 BA上截取 BD=BC，
∴ ∠B= 60°
且 BD=BC
∵ ∠C =90°，∠A =30°
∴ △BCD是等边三角形
∴ ∠BDC=60°，
∴ ∠DCA=
∴ AD=DC
∴ AD=BC
∠BDC-∠A
=30°
BC=DC
连接DC
=2BC
又∵ AB=AD+BD
∴ BC=
1
2
AB
截长法
归纳总结
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半.
含30°角的直角三角形的性质
定理：
∵ ∠C =90°，∠A =30°
A
B
C
几何语言：
∴ BC=
1
2
AB
30°
（在直角三角形中，如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半.）
或 AB=2BC
知识拓展：
① 适用条件:
①必须在直角三角形中
② 有一个锐角为30°
二者缺一不可
② 作用：
这个性质主要用于计算线段的长度或证明线段的倍数关系.
归纳总结
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半.
含30°角的直角三角形的性质
定理：
∵ ∠C =90°，∠A =30°
A
B
C
几何语言：
∴ BC=
1
2
AB
30°
（在直角三角形中，如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半.）
或 AB=2BC
使用要点
找准30°的角所对的直角边和斜边
知识点1 等腰三角形的判定
（第1题）
1. 如图， ，
，则图中的等
腰三角形有( )
D
A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个
返回
（第2题）
2.如图，一艘海轮位于灯塔的南偏东
方向的 处，它以每小时40海里的速度向
正北方向航行，2小时后到达位于灯塔
的北偏东 方向的处，则 处与灯塔
的距离为____海里.
80
返回
3.［2024自贡］如图，在 中，
， .
（1）求证： ；
【证明】， .
又， .
.
（2）若 ，平分，请直接写出 的形状.
【解】 是等腰直角三角形.
【点拨】 ， ，
.
又平分 ，
.
， .
.
是等腰直角三角形.
返回
知识点2 等边三角形的判定
4. 下列条件不能判定 是等边三角形的是( )
D
A. B.
C. ， D.
返回
5.将含 角的直角三角尺和直尺按如图所
示的方式放置，已知 ，点， 表
示的刻度分别为1，3，则线段 的长为___
.
2
【点拨】 直尺的两对边相互平行， .
又 ，
.
.
是等边三角形. .
返回
6.［2024长沙］如图，点在线段 上，
，， .
（1）求证： ；
【证明】在与中，
.
（2）若 ，求 的度数.
【解】， ，
， .
是等边三角形. .
返回
知识点3 含30°角的直角三角形的性质
（第7题）
7. ［2025安庆校级期末］如图，在
中， ，
，是 上一点，连接
，若 ， ，
则 的长为( )
A
A. 8 B. 7 C. 6 D. 5
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（第8题）
8. 如图，等边三角形
的边长为，动点从点出发以
的速度沿向点匀速运动，过点 作
，交边于点，以 为边作等
边三角形，使点，在 异侧，当点
落在边上时，点需移动___ .
1
【点拨】设点移动时，点落在 边上，
如图所示，则, .
是等边三角形， ，
.
, ，
.
是等边三角形，
. ，
. .又
, ，
，即， .
返回
9. 已知点是等边三角形的边 上的一
点，若 ，则在以线段，， 为边的三角
形中，最小内角的大小为( )
B
A. B. C. D.
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半.
含30°角的直角三角形的性质
定理：
∵ ∠C =90°，∠A =30°
A
B
C
几何语言：
∴ BC=
1
2
AB
30°
（在直角三角形中，如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半.）
或 AB=2BC
知识拓展：
① 适用条件:
①必须在直角三角形中
② 有一个锐角为30°
二者缺一不可
② 作用：
这个性质主要用于计算线段的长度或证明线段的倍数关系.

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