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2025-2026学年云南省昆明市东川区高二（下）期末数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.复数i（2-i）在复平面内对应的点位于（　　）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.样本数据6，17，21，23，26的上四分位数（第75百分位数）为（　　）
A. 17 B. 19 C. 22 D. 23
3.若集合A={-1，0，1，2}，B={x|2x=x+1}，则A∩B=（　　）
A. {0} B. {1} C. {0，1} D. {-1，0，1，2}
4.已知等差数列{an}的通项公式为，则a1+a5=（　　）
A. 6 B. 8 C. 10 D. 12
5.某班某天下午要安排3节课，现有语文、数学、英语、体育4个科目可以安排，要求每个科目至多安排一节课且第一节不安排数学，则不同的排法种数是（　　）
A. 12 B. 14 C. 18 D. 20
6.函数在区间[0，2π]上的极大值点为（　　）
A. B. C. D.
7.定义在R上的函数f（x），其图象关于点（1，0）对称，则下列结论一定正确的是（　　）
A. g（x）为奇函数 B. g（x）为偶函数
C. g（x）图象关于点（2，0）对称 D. g（x）图象关于直线x=2对称
8.在正三棱锥P-ABC中，AB=3，PA与底面ABC所成的角为，若点P，A，B，C都在同一球面上，则该球的表面积为（　　）
A. 12π B. 16π C. 20π D. 24π
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.已知等比数列{an}的公比为q,前n项和为Sn，若a1=q=2，则（　　）
A. a3=6 B. C. S3=14 D. Sn=an+1-1
10.如图，菱形ABCD边长为2，BD=2，点E为AB的中点，将△ADE沿DE翻折至△A1DE的位置，使得四棱锥A1-BCDE的体积为，则（　　）
A. BE∥平面A1CD
B. A1E⊥平面BDE
C. BC⊥A1B
D. 点C到直线A1E的距离是
11.已知点P（m,n）（m≥1，n≥0）在双曲线C：x2-y2=1上，点A（0，1），B（1，2），则（　　）
A. 双曲线C的两条渐近线相互垂直
B. △PAB面积的取值范围为
C. ∠APB可能为直角
D. 双曲线C在P处的切线与x轴交于点Q，则P，Q的横坐标的乘积为1
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.向量、在正方形网格中的位置如图所示，若网格纸上小正方形的边长为1，则= .
13.已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，点P在C上，P在C准线上的投影为Q，若|FQ|=|FP|=4，则p= .
14.已知奇函数f（x）=ωcos（ωx+φ）（ω∈N*，0≤φ＜2π）在上单调递增，若锐角α满足，则f（α）= .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
如图，△ABC为圆柱OO1底面圆O的内接三角形，BC为圆O的直径，PA是母线.
（1）求证：平面PAB⊥平面PAC；
（2）若AC=AB，，求二面角B-PC-A的余弦值.
16.(本小题15分)
某校际足球赛小组赛中，4支球队进行单循环赛（即每支球队都会和同组的另外3支球队比赛一场），每场比赛胜者积3分，负者积0分，平局各积1分，已知球队A在小组赛中每场比赛胜的概率为，平局的概率为，输的概率为.设所有球队的每场比赛结果相互独立.
（1）求球队A在小组赛中总积分X不低于7分的概率；
（2）若小组赛根据组内各球队总积分及其它相关信息确定组内唯一的一个第一名.据以往经验，若球队A总积分X≥7，则获得小组第一名的概率为，若总积分X=6，则获得小组第一名的概率为，求球队A在小组赛中总积分不低于6分且获得小组第一名的概率.
17.(本小题15分)
△ABC的内角A，B，C所对的边为a,b,c,面积为S，cos2A+cos2B-cos2C=1-S.
（1）求证：C为锐角；
（2）若，求c.
18.(本小题17分)
已知函数，a＞0.
（1）当a=1时，求f（x）的单调区间；
（2）若曲线y=f（x）在点处的切线l方程为y=kx-1.
（i）求a,k的值；
（ii）已知点，B（b,f（b））（b∈（m,m+1），m∈Z）在曲线y=f（x）上，若直线AB与l平行，求m.
19.(本小题17分)
已知椭圆Γ：=1（a＞b＞0）的左，右焦点分别为F1，F2，离心率为，点E在直线l：x=上，|EF1|的最小值为.
（1）求Γ的方程；
（2）当E不在x轴上时，过E作平行于x轴的直线交Γ于点M1，且M1在y轴的右侧，直线EF2与y轴相交于点N.
（i）证明：F1，F2，M1，N四点共圆；
（ii）O为原点，记过F1，F2，M1，N四点的圆为C，若C与Γ有四个交点，分别为M1，M2，M3，M4，求的取值范围.
1.【答案】A
2.【答案】D
3.【答案】C
4.【答案】D
5.【答案】C
6.【答案】A
7.【答案】B
8.【答案】B
9.【答案】BC
10.【答案】ABD
11.【答案】ABD
12.【答案】4
13.【答案】2
14.【答案】
15.【答案】因为BC为圆O的直径，
所以AC⊥AB，
因为PA是圆柱OO1的母线，
所以PA⊥平面ABC，
而AB 平面ABC，
所以PA⊥AB，
又PA∩AC=A，PA，AC 平面PAC，
所以AB⊥平面PAC，
因为AB 平面PAB，
所以平面PAB⊥平面PAC

16.【答案】

17.【答案】由cos2A+cos2B-cos2C=1-S可得：
，
化简得：，
在△ABC中，sinC＞0，ab＞0，
所以，由正弦定理知a2+b2-c2＞0，
故由余弦定理可得，又0＜C＜π，所以C为锐角

18.【答案】f（x）的单调递增区间为（0，e），单调递减区间为（e，+∞）
（i）a=k=1；（ii）m=2
19.【答案】
（i）证明：由（1）可知，F1（-2，0），F2（2，0），
设，则M1（x1，t）在椭圆上，且x1＞0，
代入椭圆方程得，
直线EF2的方程为y=2tx-4t，
所以N（0，-4t），
设过F1（-2，0），F2（2，0），N（0，-4t）的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，
则，解得，
所以△F1F2N的外接圆方程为，
将M1（x1，t）代入①得，，
整理得等式成立，
故点M在△F1F2N的外接圆上，
即F1，F2，M1，N四点共圆；（ⅱ）
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