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2025-2026学年陕西省西安市临潼区华清中学高二（下）期末数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.已知集合A={x|x2-3x+2＜0}，B={x|2x-4＜0}，则A∩B=（　　）
A. {x|1＜x＜2} B. {x|x＜2} C. {x|x＞2} D. {x|x＞1}
2.已知向量与垂直，则实数k的值为（　　）
A. -1 B. 1 C. -5 D. 5
3.已知一组样本数据x1，x2，…，x5的平均数为2，设yi=2xi-1（i=1，2，…，5），则y1+y2+…+y5=（　　）
A. 3 B. 4 C. 15 D. 20
4.从甲、乙、丙、丁4人中任选2人分别担任班长和副班长，则不同的选法数为（　　）
A. 8 B. 12 C. 16 D. 20
5.已知f（x）是偶函数，则函数f（x-1）的图象（　　）
A. 关于点（1，0）对称 B. 关于点（-1，0）对称
C. 关于直线x=1对称 D. 关于直线x=-1对称
6.设α，β是两个平面，m,l是两条直线，已知α⊥β，且α∩β=l,m∥α，m⊥β，则m与l的位置关系是（　　）
A. 平行 B. 相交且垂直 C. 异面但不垂直 D. 异面且垂直
7.已知椭圆的离心率为，且经过点A（b2，1），过原点O的直线l与E交于B，C两点，若AB⊥AC，则l的斜率为（　　）
A. B. -1 C. D. -2
8.已知函数f（x）=acos2x+bsinx（a＞0，b＞0），当x=x0时，f（x）取得最大值3，且x0满足cos2x0=sinx0，则b=（　　）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.已知函数，则对任意的x1，x2∈（0，+∞），且x1≠x2，有（　　）
A. f（x1x2）=f（x1）+f（x2） B.
C. D.
10.已知等差数列{an}与公比为2的等比数列{bn}满足a2=b2，a4=b4，且a4＞a2，则（　　）
A. a2=-2a1 B. a1＜b1 C. a3＜b3 D. a5＜b5
11.已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线上且位于第一象限，则下列说法正确的是（　　）
A. 点（3，4）在C的渐近线上
B. |PF1|-|PF2|=8
C. 若△F1F2P的内切圆圆心为（4，2），则PF2的斜率为
D. 若△F1F2P的外接圆圆心为（0，12），则点P的纵坐标为9
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.计算：= ______．
13.已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是面积为4的正方形，且△PAC与△PBD都是等腰直角三角形，则四棱锥P-ABCD的体积为 .
14.已知数列{an}满足a1=16，点（an+1，0）是曲线y=x2在点处的切线与x轴的交点，记|an|的前n项之积为Tn，则使得Tn=1的正整数n= .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a,b,c,已知.
（1）求角C的大小；
（2）若，△ABC的面积为，求△ABC的周长.
16.(本小题15分)
如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，△ABD是等边三角形，M是棱PA的中点.
（1）证明：BM⊥AD；
（2）若PD=AD，BC=DC，且∠BCD=120°，求平面PAB与平面PCD夹角的余弦值.
17.(本小题15分)
在一个不透明的袋子中装有6张卡片，卡片上分别标有数字1，2，3，4，5，6.现从袋中每次随机抽取一张卡片，抽取的卡片不放回.
（1）求前两次抽取的卡片上的数字奇偶性相同的概率；
（2）当抽出的卡片上的数字之和为偶数时，立即停止抽取，设停止时总共抽取的卡片数量为X，求X的分布列与数学期望E（X）.
18.(本小题17分)
已知函数f（x）=xlnx-ax+a.
（1）当a=2时，求f（x）的单调区间；
（2）若 x∈（0，+∞），都有f（x）≥0，求实数a的值；
（3）证明：ex+xlnx＞2x.
19.(本小题17分)
已知抛物线C：x2=2py（p＞0）经过点P（-2，1），A是C上的动点，且直线AP的倾斜角为锐角.
（1）求C的焦点坐标；
（2）O为坐标原点，当△POA的面积为12时，求点A的坐标；
（3）过点A作PA的垂线，与C的另一个交点为B，求点B的横坐标的最大值.
1.【答案】A
2.【答案】D
3.【答案】C
4.【答案】B
5.【答案】C
6.【答案】D
7.【答案】A
8.【答案】D
9.【答案】ACD
10.【答案】ABD
11.【答案】BCD
12.【答案】1-2i
13.【答案】
14.【答案】9
15.【答案】

16.【答案】设N是AD的中点，连接BN，MN，如图．
因为M，N分别是PA，AD的中点，所以MN∥PD，
因为PD⊥底面ABCD，所以PD⊥AD，
所以MN⊥AD．
因为△ABD是等边三角形，所以BN⊥AD，
又MN∩BN=N，MN，BN 平面 BMN，所以AD⊥平面 BMN，
又BM 平面BMN，所以BM⊥AD

17.【答案】
X的分布列为：
X 1 2 3 4 5
P
E（X）=2
18.【答案】单调递减区间为（0，e），单调递增区间为（e，+∞）
1
证明：要证ex+xlnx＞2x，即证ex-2x+xlnx＞0．
由（2）可知，当a=1时f（x）=xlnx-x+1≥0在（0，+∞）上恒成立，
所以xlnx≥x-1．
所以ex-2x+xlnx≥ex-2x+（x-1）=ex-x-1．
设h（x）=ex-x-1，则h′（x）=ex-1，
当x＞0时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，所以h（x）＞h（0）=0，即ex-x-1＞0，所以ex+xlnx＞2x
19.【答案】（0，1）
A（6，9）
-10
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