资源简介

2025-2026学年广东省广州市荔湾区广雅中学高一（下）期末数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.若复数z满足z=i2023+1，则|z|=（　　）
A. B. C. 2 D. 1
2.如图所示的正方形O′A′C′B′的边长为2cm,它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积为（　　）
A.
B. 8cm2
C.
D. 16cm2
3.已知单位向量满足，则向量在向量上的投影向量为（　　）
A. B. C. D.
4.已知a,b,l为不同的直线，α，β，γ为不同的平面，则下列说法错误的是（　　）
A. 若a⊥α，b∈β，α∥β，则a⊥b
B. 若α⊥β，α⊥γ，β∩γ=l,则l⊥α
C. 若α∥β，a∈α，b∈β，则a∥b
D. 若α⊥β，α∩β=l,a α，b β，a⊥b,则a,b至少有一条与直线l垂直
5.某圆锥的轴截面（通过轴的平面所得到的截面）是面积为4的直角三角形，则该圆锥的侧面积为（　　）
A. B. C. D.
6.设一组样本数据x1，x2，…，xn的极差为1，方差为0.1，若数据ax1+b,ax2+b,…，axn+b的极差为2，则数据ax1+b,ax2+b,…，axn+b的方差为（　　）
A. 0.02 B. 0.04 C. 0.2 D. 0.4
7.在三棱柱ABC-A1B1C1中，E是棱CC1的中点，D是棱BC上一点，若A1B∥平面ADE，则三棱锥A-BDE与三棱柱ABC-A1B1C1的体积之比为（　　）
A.
B.
C.
D.
8.已知O为△ABC的外心，A为锐角且sinA=，若=α+β，则α+β的最大值为（　　）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.一个不透明的盒子中装有大小和质地都相同，编号分别为1，2，3，4的4个小球，从中依次不放回摸出两个球.设事件A为“第一次摸出球的编号为奇数”，事件B为“摸出的两个球的编号之和为5”，则（　　）
A. 事件A与事件B为互斥事件 B. 事件A与事件B为独立事件
C. D.
10.已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a,b,c,则下列说法正确的是（　　）
A. 若sinB＞sinC，则B＞C
B. 若△ABC面积为，则
C. 若tanA+tanB+tanC＜0，则△ABC为钝角三角形
D. 若a tanB=b,则△ABC为直角三角形
11.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，P为空间为一动点，则下列说法正确的是（　　）
A. 当P在线段AC上时，三棱锥P-A1BC1的体积为定值
B. 当P为CD中点时，过A，P，C1三点作正方体的截面Ω，则截面Ω的面积为5
C. 当P在底面ABCD内（包括边界），满足直线PC1与面A1B1C1D1所成角为60°的点P的轨迹长度为
D. 若，当三棱锥A-PBD体积最大时，该三棱锥外接球的表面积是8π
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.从小到大排列的5个数分别是1，x,4，7，11，它们的40%分位数是3，则它们的平均数是 .
13.在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=90°，AB=2CD=3，AD=2，若EF在线段AB上运动，且EF=1，则的最小值为______.
14.如图，在△ABC中，，D，E，F分别为三边中点，将△BDE，△ADF，△CEF分别沿DE，EF，DF向上折起，使A，B，C重合为点P，设三棱锥P-DEF的外接球为球O，Q为DF中点，则过点Q的平面被球O所截得的截面面积最小值为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
如图，平行四边形OADB中，AB与OD相交于点C，设向量，，且，.
（1）用表示，，.
（2）若||=4，，，求与的夹角的余弦值.
16.(本小题15分)
某中学举办了一场“数学文化素养知识大赛”，分为初赛和复赛两个环节，全校学生参加了初赛，现从参加初赛的全体学生中随机地抽取300人的成绩作为样本，得到如下频率分布直方图.
（1）求频率分布直方图中a的值，并估计该校学生数学文化素养知识初赛成绩的中位数（结果保留整数）.
（2）若甲、乙两位同学组队进入复赛闯关，复赛共两轮答题，每轮每人各答1题，甲每轮答对的概率为，乙每轮答对的概率为，甲、乙每轮是否答对互不影响，甲乙两轮共答对至少3题则组队闯关成功，求甲乙组队闯关成功的概率.
17.(本小题15分)
如图1所示，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，点M，N分别在线段AB，AC上，且AM=2MB，AN=2NC.如图2所示，将△AMN沿MN折起到△PMN的位置，使得二面角P-MN-B的大小为60°，连接PB，PC.
（1）求证：MN∥面PBC；
（2）求证：平面PBN⊥平面BCNM；
（3）求直线MP与平面PBN所成角的正弦值.
18.(本小题17分)
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b,c,已知acosC+（2b+c）cosA=0，D为边BC上一点.
（1）求A；
（2）若AD是∠BAC的平分线，a=7，△ABC的周长为15，求AD的长度；
（3）若，设，求k的取值范围.
19.(本小题17分)
离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标.设P为多面体Γ的一个顶点，定义多面体Γ在点P处的离散曲率为，其中Qi（i=1，2， ，k,k≥3）为多面体Γ的所有与点P相邻的点，且平面Q1PQ2，平面Q2PQ3， ，平面Qk-1PQk，平面QkPQ1为多面体Γ的所有以P为公共点的面.已知平面多边形ABCDE的外接圆圆心O为AD与BE的交点，如图①，且AB=AE=，将△EAD沿AD翻折到△PAD如图②，连接PB，PC.
（1）求四棱锥P-ABCD在各个顶点处的离散曲率的和；
（2）已知直线PB与直线CD所成角的余弦值为.
①求四棱锥P-ABCD在顶点A处的离散曲率；
②设Q为线段PD上的动点（不包括端点），QA与平面ABCD所成角为α，二面角Q-AC-D的平面角为β，其中，求tan（β-α）的最大值.
1.【答案】A
2.【答案】C
3.【答案】C
4.【答案】C
5.【答案】B
6.【答案】D
7.【答案】B
8.【答案】D
9.【答案】BC
10.【答案】ABC
11.【答案】ACD
12.【答案】5
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】=+，=（+），=-

16.【答案】a=0.03，中位数为73

17.【答案】∵AM=2MB，AN=2NC，
∴，
∴MN∥BC，又MN 平面PBC，BC 平面PBC，
∴MN∥平面PBC
由题意可知，在△ABC中，AB=BC，AB⊥BC．
∵MN∥BC，∴MN⊥AB．
翻折后垂直关系没变，仍有MN⊥PM，MN⊥BM，
又PM∩BM=M，PM，BM 平面PBM，∴MN⊥平面PBM．
又PB 平面PBM，∴PB⊥MN．
又∵MN⊥PM，MN⊥BM，
∴∠PMB是二面角P-MN-B的平面角，
∴，
令PM=2a，则BM=a，
在△PMB中，由余弦定理得，
∴PB2+BM2=PM2，即PB⊥BM．
又∵BM∩MN=M，∴PB⊥平面BCNM．
又∵PB 平面PBN，∴平面PBN⊥平面BCNM

18.【答案】
[，2）
19.【答案】2；
①；②
第1页，共1页

展开更多......

收起↑