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山东省青岛市莱西市（五四制）2025-2026学年八年级下学期期末数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.将化简，结果正确的是（ ）．
A. B. C. D.
2.一元二次方程根的情况为（ ）．
A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 有两个不相等的实数根 D. 只有一个实数根
3.下列各式中，化简正确的是（　　）
A. B. C. D.
4.已知，则下列各式成立的是（ ）
A. B. C. D.
5.若，是一元二次方程的两个根，则的值为（ ）．
A. B. C. D.
6.如图，下列三个矩形相似的是（）
A. 甲和乙 B. 甲和丙 C. 乙和丙 D. 甲、乙、丙
7.如图，已知，当（ ）时，．
A. B. C. D. 1
8.关于反比例函数，下列说法错误的是（ ）．
A. 点，均在其图象上
B. 函数图象在第二、四象限
C. 若，则x的取值范围是
D. 该函数图象上有两点，，若，则
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
9.二次根式在实数范围内有意义，x的取值范围是 ．
10.计算的结果是 .
11.已知，则的值为 ．
12.已知近视眼镜的度数（度）是镜片焦距（）的反比例函数，当近视眼镜的度数是度时，镜片的焦距为，那么近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（）之间的函数关系式为 ．
13.如图，平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为坐标原点．已知点，，的坐标分别为，，，则点的坐标为 ．
14.如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点，，与反比例函数的图象在第一象限交于点，若，则的值为 ．
三、计算题：本大题共2小题，共14分。
15.计算：
(1) ；
(2) ．
16.解方程：
(1) ；
(2) ．
四、解答题：本题共9小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题7分)
如图，已知，，，，，．求线段和的长．
18.(本小题7分)
如图1，大约在两千五百年前，墨子和他的学生做了世界上第一个小孔成像的实验，并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端．”如图2，根据小孔成像原理，蜡烛（竖直放置）的火焰经小孔，会在光屏（竖直放置）上形成倒立的像．已知火焰高度，小孔到光屏的距离10 cm，设小孔到蜡烛的距离为x（cm），像CD的高度为y（cm），解答下列问题：
(1) 求y与x之间的函数关系式，并判断其属于什么函数？（不考虑x的取值范围）
(2) 要使像的高度y不小于5cm，则x的取值范围是 ．
19.(本小题7分)
如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，点A的坐标为，点B的坐标为．
(1) 求n的值；
(2) 当时，直接写出x的取值范围．
20.(本小题7分)
已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，．
(1) 求m的取值范围；
(2) 若，求m的值．
21.(本小题7分)
每年5月份的第三个星期日为全国助残日，今年的主题是“科技助残，共享美好生活”．康宁公司新研发了一批便携式轮椅计划在该月销售．根据市场调查，每辆轮椅盈利200元时，每天可售出60辆；单价每降低10元，每天可多售出4辆．公司决定降价销售，但每辆轮椅利润不低于180元．全国助残日当天，公司共获得销售利润12160元，请问这天售出了多少辆轮椅？
22.(本小题7分)
一块梯形木板，，，米，米，按如图方式设计一个矩形桌面（点在边上），若桌面的面积为平方米，且，求桌面的长和宽．
23.(本小题7分)
如图，四边形中，为边上一点，，，交于点．
(1) 求证：；
(2) 若，，求的长．
24.(本小题7分)
【问题背景】如图，以矩形的宽为边，在其内部作正方形，若，则称矩形为“黄金矩形”，其长与宽的比（）称为“黄金比率”．
【问题探究】求“黄金比率”：
设，，则，
∵，∴，即．
∴．
∴，（负数不合题意，舍去）．
∴黄金比率为：．
(1) 【问题提出】如图，以矩形的宽为边在其内部作两个正方形，，若，则称矩形为“白银矩形”，其长与宽的比（）称为“白银比率”，求“白银比率”．
(2) 【问题拓展】如图，从正方形上剪下宽的矩形后，剩余部分（矩形）是“白银矩形”，求正方形的边长．
25.(本小题8分)
如图，在矩形中，，，点从点出发，沿方向匀速运动，点从点出发，沿方向匀速运动，两点同时出发，速度均为，设运动时间为（）．
(1) 当以，，为顶点的三角形与相似时，求的值；
(2) 当取何值时，四边形的面积等于？
(3) 是否存在某一时刻，使？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
1.【答案】C
2.【答案】A
3.【答案】B
4.【答案】D
5.【答案】B
6.【答案】B
7.【答案】B
8.【答案】D
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】或
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】【小题1】
解：
=
=．
【小题2】
解：
=
．

16.【答案】【小题1】
解：，
，
，
∴，；
【小题2】
解：；
，
，
即，
或，
∴，．

17.【答案】解：∵，，
∴，
∵，
∴，．
∴．
∴，即．
∴．
∵，
∴，即．
∴．

18.【答案】【小题1】
解：由题意得，
，
根据相似三角形对应高的比等于相似比，可得
，
将代入上式得：
，
整理得，
即，属于反比例函数．
【小题2】


19.【答案】【小题1】
解：将代入得：，
解得：；
∴，
将代入得：，
解得：；
【小题2】
解：∵，
∴，
∵，，
∴由图可知，当或时．

20.【答案】【小题1】
解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
∴．
【小题2】
解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，，
∴，，
将，，代入，
∴，即，
∴，
解得，
由（1）知，
∴．

21.【答案】解：设每辆轮椅降价元，由题意，
得．
解得，．
，
．
（不合题意，舍去）．
（辆）．
所以，这天售出了64辆轮椅．

22.【答案】【详解】解：如图，过点作，分别交，于，，
设桌面的宽米，则米，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∵桌面的面积为平方米，
∴，即，
解得，，
又∵，即，
∴，
∴，则，
∴桌面的长和宽分别为米，米．

23.【答案】【小题1】
证明：∵，
∴，即，
又∵，
∴；
【小题2】
解：由（1）知，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴．

24.【答案】【小题1】
设，，则，
∵，
∴，即，
∴，
∴，（负数不合题意，舍去），
∴白银比率为：；
【小题2】
设正方形的边长为，则，
∵矩形是“白银矩形”，由（1）得白银比率为，
∴，则，解得，
∴正方形的边长为．

25.【答案】【小题1】
解：∵矩形，
∴，，，
∴，
∵在中，，，，
∴根据勾股定理得，，
∵由题意可得，，
∴，
∵以，，为顶点的三角形与相似，
又∵，
∴或，
∴或
∴或，
解方程，得，
解方程，得，（舍去），
综合上述，当以，，为顶点的三角形与相似时，的值为或；
【小题2】
解：如图，过点作，，垂足分别为，，
由（1）得，，
∵矩形，
∴，，
∵，，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∵，
∴，则，
整理得，
解得，（舍去），
∴时，四边形的面积等于；
【小题3】
解：如图，过点作，，垂足分别为，，
由（1）得，，
由（2）得，，
∵矩形，
∴，，，
∵，，
∴四边形为矩形，
∴，，，
∴，，
∵，则，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，解得．

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