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山东淄博市张店区2025-2026学年度第二学期期末学业水平检测初二数学试题（五四制）
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列方程是二元一次方程的是（）
A. x+2y＝3 B. 2x2+y＝1 C. +5y=5 D. 2x﹣1＝0
2.“明天下雨”这个事件是（）
A. 不可能事件 B. 确定事件 C. 不确定事件 D. 必然事件
3.在数轴上表示不等式，下列正确的是（ ）
A. B.
C. D.
4.若要证明命题“若，则”为假命题，可以举的反例为（ ）．
A. ， B. ， C. ， D. ，
5.下列各个不透明的袋子中，分别装有不同数量的白色乒乓球和黄色乒乓球，每个乒乓球除颜色外完全相同．若从中任意摸出一个球，则摸到黄色乒乓球的可能性最大的是（）
A. B. C. D.
6.下列不等式变形正确的是（）
A. 由，得 B. 由，得
C. 由，得 D. 由，得
7.如图，在和中，点在同一条直线上，，，只添加一个条件不能判定的是（ ）．
A. B. C. D.
8.本学期学校打算以知识竞赛的方式评选“博雅之星”.本次竞赛共有50道题，规定每答对一题得3分，答错或不答均扣2分.若得分不低于120分的均可获奖，问至少要答对多少道题才能获奖？设答对x道题，则有（　　）
A. 3x-2（50-x）≥120 B. 3x-2（50-x）≤120
C. 3x-2（50-x）＞120 D. 3x-2（50-x）＜120
9.如图，在中，分别以点B和点C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点E，F，作直线交于点D，连接，以A为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于M，N，再分别以点M和点N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点P，连接并延长，交于点G．若，则的大小是（ ）
A. B. C. D.
10.爱思考的小明同学发现：当题目条件出现三角形的角平分线时，往往可以构造等腰三角形解决问题．如图1，在中，是的角平分线，，，，求的长．小明同学的解决方法为：如图2，在边上截取，连接，可得，且是等腰三角形，由此即可得的长为10．试通过小明同学的方法解决问题：如图3，在中，是的角平分线，且，．若，，，则的周长为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.请写出满足不等式组的一个解 ．
12.如图，直线，等边的顶点在直线上，直线交边于点．若，则的度数为 ．
13.如果是方程x-3y=-2的一组解，那么代数式4-2a+6b的值是 .
14.汉末三国初数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝．如图所示的弦图中，四个直角三角形均全等，且每个直角三角形的两条直角边的比都为．若向该图形内随机投掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为 ．
15.如图，在中，，，P是直角边上一动点，连接，在的右侧作等边，连接．若，则周长的最小值为 ．
三、计算题：本大题共2小题，共18分。
16.解不等式（组）：
(1) ；
(2) ．
17.解方程组：
(1) ；
(2) ．
四、解答题：本题共6小题，共57分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题9分)
如图1，在四边形中，，取边的中点，连接并延长交的延长线于点．
(1) 求证：；
(2) 如图2，连接，当，，时，求四边形的面积．
19.(本小题9分)
在一个不透明的盒子里装有红、黑两种颜色的球共20个，这些球除颜色外其余完全相同．为了估计红球和黑球的个数，我们将球搅匀后，从盒子里随机摸出一个球记下颜色，再把球放回盒子中，多次重复上述过程，得到如下表中的一组统计数据：
摸球的次数n 50 100 300 500 800 1000 2000
摸到红球的次数m 14 33 95 155 241 298 602
摸到红球的频率 0.28 0.33 0.317 0.31 0.301 0.298 0.301
(1) 通过以上实验，估计盒子里红球的数量为 个；
(2) 若先从盒子中取出个红球，再从盒子中随机摸出1个球，若“摸出的这1个球是黑球”为必然事件，则a的值为 ；
(3) 若先从盒子中取出b个红球，再放入b个相同的黑球并摇匀，随机摸出1个红球的概率为，求b的值．
20.(本小题9分)
在《二元一次方程组》这一章的复习课上，刘老师给出了下面的题目：
在某市“精准扶贫”工作中，甲、乙两个工程队先后接力为扶贫村庄修建一条米长的公路，甲队每天修建米，乙队每天修建米，一共用天完成．
(1) 李东同学根据题意，列出了一个尚不完整的方程组，请写出李东所列方程组中未知数x，y表示的意义：x表示 ，y表示 ；并写出该方程组中△处的数应是 ，□处的数应是 ；
(2) 陈彬同学的思路是想设甲工程队一共修建了x米公路，乙工程队一共修建了y米公路．下面请你按照陈彬的设想列出方程组，并求出乙队修建了多少天？
21.(本小题9分)
阅读理解：我们把关于x的一个一元一次方程和一个一元一次不等式组合成一种特殊组合，且当一元一次方程的解正好也是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫作“有缘组合”；当一元一次方程的解不是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫作“无缘组合”．
初步感知：
(1) 组合是“ ”（填“有缘组合”或“无缘组合”）；
(2) 问题解决：
若关于x的组合是“有缘组合”，求m的取值范围；
(3) 若关于x的组合是“无缘组合”，求n的取值范围．
22.(本小题9分)
如图1，在中，，D是边的中点，P是内部的一个动点，连接．
(1) 当，时，直接写出的度数；
(2) 如图2，在（1）的条件下，且当时，请判断线段与线段之间的数量关系，并说明理由；
(3) 如图3，当，且时，请判断线段与线段之间的数量关系，并给予证明．
23.(本小题12分)
【阅读理解】我们知道二元一次方程有无数组解，如：，，，…，如果我们将二元一次方程的每一组解看成一组有序数对，如：，，，…，那么这些有序数对可以用平面直角坐标系中的点表示．探究发现：以方程的解为坐标的点都落在同一条直线上（如图1所示），同时这条直线上的所有点的坐标全都是方程的解，我们把这条直线称为方程的图象．
【问题探究】
(1) 请在如图2的平面直角坐标系xOy中，画出二元一次方程组中这两个二元一次方程的图象，并根据图象直接写出该方程组的解为__________；
(2) 已知关于，的二元一次方程组无解，请在如图3的平面直角坐标系中，画出符合题意的两条直线．设方程①的图象与，轴的交点分别是A，B，方程②图象与x，y轴的交点分别是C，D，求与的和；
(3) 【拓展应用】如图4，在平面直角坐标系xOy中，直线，相交于点，直线，相交于点，直线，相交于点，且已知在直线，，中，有两条是关于x，y的二元一次方程组的两个二元一次方程的图象，请直接写出该方程组的解 ．
(4) 在（3）的条件下，若直线，，的表达式分别是，，，则请直接写出关于x的不等式组的解集．
1.【答案】A
2.【答案】C
3.【答案】A
4.【答案】A
5.【答案】D
6.【答案】B
7.【答案】C
8.【答案】A
9.【答案】B
10.【答案】C
11.【答案】/（答案不唯一，只要即可）
12.【答案】 /82度
13.【答案】8
14.【答案】 /
15.【答案】 /
16.【答案】【小题1】
解：移项，得，
合并同类项，得，
两边都除以3，得，
所以，原不等式的解集为：；
【小题2】
解：
解不等式①得，解不等式②得，
在同一条数轴上表示不等式①②的解集，如图所示
因此，原不等式组的解集为：．

17.【答案】【小题1】
解：，
，得，，
将代入①，得，
所以，原方程组的解为．
【小题2】
解：，
，得，即③，
，得，，
将代入②，得，，
所以，原方程组的解为．

18.【答案】【小题1】
证明：∵，
∴，，
∵是边的中点，
∴，
在和中，，
∴．
【小题2】
解：∵，
∴，，
∴，
∴，
∵，，，，
∴，
∴是直角三角形，，
∵，
∴，
∴．

19.【答案】【小题1】
6
【小题2】
6
【小题3】
解：由（1）知红球6个，黑球14个，
根据题意得：，
解得：，
经检验，符合题意，
故．

20.【答案】【小题1】
甲队修路的天数
乙队修路的天数
【小题2】
乙队修建了8天

21.【答案】【小题1】
无缘组合
【小题2】
解：解方程，得，
解关于x的不等式，得，
因为，关于x的组合是“有缘组合”，
所以，方程的解，也是关于x的不等式的解，
所以，，所以，解得，
所以，m的取值范围是．
【小题3】
解：解关于x的方程，得，
解关于x的不等式，得，
因为，关于x的组合是“无缘组合”，
所以，关于x的方程的解，不是关于x的不等式的解，
所以，，解得，
所以，n的取值范围是．

22.【答案】【小题1】
解：，
，
又，，
，
；
【小题2】
，
理由如下：因为，，
所以．
因为，所以．
因为，，所以是等边三角形，
所以，
所以，
，
所以，，
所以，．
因为D是边的中点，所以，
所以，在中，由知，
所以，．
【小题3】
，
证明：如图，以为边在的右侧作等边三角形，连接，
延长至点F，使，连接．
∴，．
∵，，
∴是等边三角形．
∵是等边三角形，是等边三角形，
∴，，．
∵，，
∴．
在和中，，
∴，
∴，．
∵，
∵D是边的中点，
∴．
在和中，，
∴，
∴，（即），
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
在和中，，
∴，
∴．
∵，
∴．

23.【答案】【小题1】
，
【小题2】
，
【小题3】

【小题4】
解：∵，
∴
∴无论取何值，当时，恒成立，
∴，
把点纵坐标代入，得，
解得，即，
∴
∵是和交点，是和交点，
∴过点和，
设的解析式为，
∴解得
∴的解析式为，
同理求得，
解不等式组：解得：．

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