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山东省济南市历城区2025-2026学年度第二学期期末质量检测七年级数学试题
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在实数，0，，中，最大的数是（　　）
A. B. 0 C. D.
2.中国航天取得了举世瞩目的成就，为人类和平贡献了中国智慧和中国力量．下面有关我国航天领域的图标，其图标是轴对称图形的是（）
A. B. C. D.
3.在中国科研团队的努力下，氮化镓量子光源芯片问世，将芯片输出波长最大值从0.0000000256m扩展至原来的4倍左右．将0.0000000256用科学记数法表示应为（）
A. B. C. D.
4.下列各式运算结果为的是（ ）
A. B. C. D.
5.如图，点E在延长线上，下列条件中不能判定的是（　　）
A. B.
C. D.
6.下列说法正确的是（　　）
①三角形的角平分线是射线；
②三角形的三条角平分线都在三角形内部，且交于同一点；
③三角形的三条高都在三角形内部；
④三角形的一条中线把该三角形分成面积相等的两部分．
A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ②④
7.端午假期的第一天，小颖全家上午8时自驾小汽车从家里出发，到某旅游景点游玩一段时间后返程回家．该小汽车离家的距离s（千米）与时间（时）之间的关系如图所示，根据图象提供的有关信息，下列说法中错误的是（ ）
A. 小汽车往返速度相同 B. 小颖到家的时间为17时
C. 景点离小颖的家180千米 D. 10时至14时小汽车没有行驶
8.如图，在中，，分别以其三边为边向外作正方形。连接，。与关系描述正确的是（）
A. AMG BND B.
C. D.
9.如图，在中，，，．以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点，画射线与交于点，，垂足为．则下列结论不成立的是（ ）
A. B.
C. D.
10.将一个等腰三角形纸板沿垂线段，进行剪切，得到三角形①②③，再按如图2方式拼放，其中与共线．若，则的长为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.的算术平方根是 ．
12.如图，一个圆形转盘被分成红、黄、蓝三个扇形，其中红、蓝扇形的圆心角度数分别为，，转动转盘，停止后指针落在黄色区域的概率是 ．
13.如图是的角平分线，于点，若，，则的度数是 ．
14.定义：等腰三角形的底边长与其腰长的比值k称为这个等腰三角形的“优美比”．若等腰三角形的周长为，，则它的“优美比”k为 ．
15.如图，在中，，，是的平分线．若，分别是和上的动点，则的最小值是 ．
三、计算题：本大题共1小题，共8分。
16.计算：
(1)
(2)
(3)
(4) （用乘法公式计算）
四、解答题：本题共9小题，共67分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题7分)
先化简，再求值：，其中x，y满足．
18.(本小题7分)
如图，与相交于点，已知点为的中点，．
(1) 求证：；
(2) 若，，求的度数．
19.(本小题7分)
如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，在网格中的位置如图所示（三角形的顶点都在格点上）．
(1) 的面积为 ；
(2) 如图，直线上有三个点分别为，，，与点连接后能平分面积的是点 ；
(3) 利用网格线作出关于直线的对称图形．
20.(本小题7分)
商场内购进了一个如图所示的扭蛋机，扭蛋机中装有甲、乙两种球形盲盒，其中甲种球形盲盒有6个．每次扭动扭蛋机开关，会随机掉出一个球形盲盒，掉出后工作人员将球形盲盒再放入扭蛋机中，重复试验．
(1) 若乙种球形盲盒有8个，则扭动一次开关掉出 种球形盲盒的可能性大；（填“甲”或“乙”）
(2) 工作人员多次试验后发现，扭动开关随机掉出的球形盲盒为乙种球形盲盒的频率稳定在，求乙种球形盲盒的数量；
(3) 在（2）的条件下，若再放入2个甲种球形盲盒，求扭动一次开关掉出的球形盲盒为甲种球形盲盒的概率．
21.(本小题7分)
如图，地面上放着一个小凳子（凳宽 与地面平行，墙面 与地面 垂直），点 到地面的距离为 ．在图①中，一根长 的木杆一端与墙角 重合，另一端靠在点 处．
(1) 求小凳子顶点 与墙面 的距离；
(2) 在图②中另一木杆的一端与点 重合，另一端靠在墙上的点 处，若 ，木杆 比凳宽B长 ，求小凳子宽 和木杆 的长度．
22.(本小题7分)
如图1，已知中，为边上的高，是上一动点，沿由向运动，连接，在这个变化过程中，设，且把看成自变量．
(1) 图1中下列三角形的面积可以看成因变量的是 ．（填序号）
① ② ③ ④ ⑤
(2) 设的面积为S，图2刻画的是S随变化而变化的图象，根据图象回答以下问题：
①图2中点代表的意义是 ；
②的高的长为 ；
③写出S与之间的关系式： ；
④的值为 ．
(3) 在（2）的条件下，设的面积为，写出与之间的关系式，并求当为何值时，的面积与的面积相等．
23.(本小题7分)
2025年央视春节联欢晚会上，一群穿着花棉袄的人形机器人科技感爆棚．节目中的机器人名为，将传统文化与尖端技术融为一体，不仅展现了极高的艺术表现力，更体现了中国在机器人技术领域的重大突破．
【提出问题】
图1是练习时的侧面示意图，上身与地面呈垂直状态，脚面呈水平状态，此时，，则的度数是多少？
【思考过程】
依靠图中现有的线无法解决该问题，因此，需要添加辅助线构造新的图形．
【问题解决】
(1) 解：如图2，过点作，过点作，则
因为，
所以
因为，
根据 ①
所以，
根据 ②
所以
因为
所以 ③
所以
请补全解题过程中横线的内容．
(2) 【迁移应用】
如图③是一款手推车的平面示意图，已知．
若，，则 ；
(3) 写出，，之间的数量关系，并说明理由．
24.(本小题9分)
阅读材料并回答下列问题：
材料一：我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．如图1可以得到，，之间的等量关系是_______①；
材料二：换元法：是指引入一个或者几个新的变量代替原来的某些变量，通过引入新的变量将分散的条件联系起来，变为熟悉的问题，其理论依据是等量代换．对于结构比较复杂的式子，可以把其中某些部分看作整体，用新的字母代替（即整体换元），可以化繁为简从而找到解题的捷径，请看以下例子：
若满足，求的值．
解：设，，则，_______②，
所以_______③．
问题：
(1) 补全材料一、材料二中横线处；① ，② ，③ ．
(2) 若满足，求的值；
(3) 如图2，在长方形中，，，点，分别是边，上的点，且，分别以，为边在长方形外侧作正方形和正方形，若长方形的面积为60，求图中两个正方形的面积之和．
25.(本小题9分)
在学习全等三角形知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型，它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成，在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形，通过资料查询，他们得知这种模型称为“手拉手模型”．兴趣小组进行了如下探究：
(1) 【模型探究】
如图1，若和均为等边三角形，点，，在同一条直线上，连接，易证全等于 ，进而可求出的度数为 ；
(2) 【类比探究】
在中，，过点引一条射线，是射线上一点．若，
①如图2，当射线在内部时，的度数为_________；
②如图3，当射线在下方时，的度数会发生变化吗？若不变，请说明理由，若改变，请求出的度数；
(3) 【拓展应用】
如图4，在四边形中，，，，则 ．
1.【答案】C
2.【答案】B
3.【答案】B
4.【答案】C
5.【答案】B
6.【答案】D
7.【答案】A
8.【答案】C
9.【答案】B
10.【答案】B
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】10°
14.【答案】
15.【答案】14.4
16.【答案】【小题1】
解：
；
【小题2】
解：
；
【小题3】
解：
；
【小题4】
解：
．

17.【答案】解：
，
∵，，，
∴，，
∴，，
∴原式．

18.【答案】【小题1】
证明：∵点为的中点，
∴，
∵，
∴，，
，
∴．
【小题2】
解：∵，，
∴，
根据（1）可得：．

19.【答案】【小题1】
3
【小题2】
D
【小题3】
如图，即为所求；

20.【答案】【小题1】
乙
【小题2】
解：∵多次试验后，扭动开关随机掉出的球形盲盒为乙种球形盲盒的频率稳定在，
∴扭动开关随机掉出的球形盲盒为乙种球形盲盒的概率为，
∴扭动开关随机掉出的球形盲盒为甲种球形盲盒的概率为，
∴球形盲盒的总个数为：，
∴乙种球形盲盒的数量为（个）．
【小题3】
解：再放入2个甲种球形盲盒，则扭动一次开关掉出的球形盲盒为甲种球形盲盒的概率为：
．

21.【答案】【小题1】
解：如图①，过 作 垂直于墙面，垂足为点 ，则 ，
由题意可知， ，
由勾股定理得： ，
答：小凳子顶点 与墙面 的距离为 ；
【小题2】
如图②，延长 交墙面于点 ，则 ，
设 ，则 ，
在 中，由勾股定理得： ，
即 ，
解得： ，
，
答：小凳子宽 的长度为 ，木杆 的长度为 ．

22.【答案】【小题1】
①③④
【小题2】
时，的面积为10
4

6
【小题3】
解：根据题意得：；
当时，的面积与的面积相等，
即：，
解得：，
故时，的面积与的面积相等．

23.【答案】【小题1】
平行于同一条直线的两条直线平行
两直线平行，内错角相等

【小题2】
125
【小题3】
，理由如下：
如图，过点作，
∴，
∵，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴．

24.【答案】【小题1】

20
340
【小题2】
解：设，，
∴，，
∴
；
【小题3】
解：由题意可得：，，，
∴，，
∴，
∵长方形的面积为60，
∴，
∴
；

25.【答案】【小题1】

60
【小题2】
解：①在上取点N，使，连接，如图所示：
∵在中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
②改变；
延长，在的延长线上取点N，使，连接，如图所示：
∵在中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
【小题3】
66

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