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2025-2026学年山东省淄博市沂源县八年级（下）期末数学试卷（五四学制）
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列各式计算正确的是（ ）
A. +＝ B. 2+＝2
C. 3 -＝2 D. ＝﹣
2.下列关于x的方程：①ax2+bx+c=0；②x2+=6；③x2=0；④x=3x2；⑤（x+1）（x-1）=x2+4x.其中一元二次方程的个数是（　　）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
3.已知四边形ABCD是平行四边形，AC，BD相交于点O，下列结论错误的是（　　）
A. OA=OC，OB=OD
B. 当AB=CD时，四边形ABCD是菱形
C. 当∠ABC=90°时，四边形ABCD是矩形
D. 当AC=BD且AC⊥BD时，四边形ABCD是正方形
4.如图，点D、E分别在△ABC的AB、AC边上，下列条件中：①∠ADE=∠C；②=；③=．使△ADE与△ACB一定相似的是（　　）
A. ①②
B. ②③
C. ①③
D. ①②③
5.已知实数a在数轴上的位置如图所示，则化简：的结果为（　　）
A. 2 B. -2 C. 2a-6 D. -2a+6
6.如图，在平面直角坐标系中，已知点A（-3，6）、B（-9，-3），以原点O为位似中心，相似比为，把ABO缩小，则点B的对应点B′的坐标是（　　）

A. （-3，-1） B. （-1，2）
C. （-9，1）或（9，-1） D. （-3，-1）或（3，1）
7.如图，直线l1∥l2∥l3，AC=6，DE=3，EF=2，则AB的长为（　　）
A. 3
B.
C.
D.
8.定义新运算：对于两个不相等的实数a，b，我们规定符号max{a，b}表示a，b中的较大值，如：max{2，4}=4．因此，max{-2，-4}=-2；按照这个规定，若，则x的值是（　　）
A. -1 B. -1或 C. D. 1或
9.如图，正方形ABCD的连长为4，点E在边AB上，AE=1，若点P为对角线BD上的一个动点，则△PAE周长的最小值是（　　）

A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
10.如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，连结AC，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点M和N，直线MN分别交AD、BC于点E、F，连结CE、AF.给出下列四个结论：①AB⊥BC；②四边形AECF是菱形；③AC EF=AE AB；④∠DEC=2∠DAC.其中正确的是（　　）
A. ①②④ B. ①②③ C. ②③④ D. ①③④
二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。
11.当x=1时，二次根式的值是 .
12.三角形的两边长分别为4和7，第三边的长是方程x2-8x+12=0的解，则这个三角形的周长是 ．
13.阅读材料：如果a,b是一元二次方程x2+x-1=0的两个实数根，则有a2+a-1=0，b2+b-1=0.
创新应用：如果m,n是两个不相等的实数，且满足m2-m=3，n2-n=3，那么代数式2n2-mn+2m+2015= .
14.如图，△OPQ在边长为1个单位的方格纸中，它们的顶点在小正方形顶点位置，点A，B，C，D，E也是小正方形的顶点，从点A，B，C，D，E中选取三个点所构成的三角形与△OPQ相似，那么这个三角形是______．
15.如图，正方形ABCD的边长是16，点E在边AB上，AE=3，点F是边BC上不与点B，C重合的一个动点，把△EBF沿EF折叠，点B落在B′处．若△CDB′恰为等腰三角形，则DB′的长为 ．
三、计算题：本大题共1小题，共10分。
16.（1）化简：；
（2）用公式法解方程：2x2+1=4x.
四、解答题：本题共7小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
阅读材料，解答下列问题：
如果一个代数式的分母含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫分母有理化.
如：；
.
（1）请用上面的方法化简：；
（2）若，求a2-2a+1的值.
18.(本小题10分)
已知关于x的一元二次方程x2-（m+2）x+m-1=0.
（1）求证：无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根；
（2）如果方程的两个实数根为x1，x2，且+-x1x2=9，求m的值.
19.(本小题10分)
综合与实践
【项目主题】
探究新款迷你无人机校园营销方案
【项目背景】
某校科技实践小组计划引入一批符合国家微型无人机标准、具备简易编程模块的新款迷你无人机，作为STEM教育实践器材，并希望通过校园营销活动筹集社团活动经费.为制定科学的销售方案，小组对某线上旗舰店的销售数据展开了调研，旨在通过数学建模方法优化无人机定价策略.
【项目准备】
数据调研：收集该线上旗舰店2025年11月至2026年1月的月销售数据，梳理该款迷你无人机进价、售价与销量之间的动态关系，记录不同定价下的日销售情况.
知识复习：复习一元二次方程及其应用，熟练掌握增长率计算模型与利润计算公式.
工具准备：数据记录表、图表绘制工具、决策分析表格.
【项目实施】
阶段一：销售增长趋势分析
任务1：从线上旗舰店调研数据可知，2025年11月该款迷你无人机的销量为1125架，2026年1月份该款迷你无人机的销量为1620架，若2025年12月与2026年1月这两个月该款迷你无人机的月平均增长率相同，求该款迷你无人机的月平均增长率.
阶段二：校园促销方案设计
任务2：调查发现该旗舰店迷你无人机的进价为每架60元且售价定为每架100元时，每天能销售20架，且售价每降低1元，每天可多销售2架.若需要尽量减少库存，且使每天销售获利1200元，则每架迷你无人机的售价应降低多少元？
【项目成果】
科技实践小组以线上旗舰店的数据为参考设计出最佳校园营销方案.
（1）解决任务1.
（2）解决任务2.
20.(本小题12分)
已知：如图，在菱形ABCD中，点E，O，F分别为AB，AC，AD的中点，连接CE，CF，OE，OF．
（1）求证：△BCE△DCF；
（2）当AB与BC满足什么关系时，四边形AEOF是正方形？请说明理由．
21.(本小题12分)
在《数书九章》（宋 秦九韶）中记载了一个测量塔高的问题：如图，AB表示塔的高度，CD表示竹竿顶端到地面的高度，EF表示人跟到地面的高度，AB、CD、EF在同一平面内，点A、C、E在一条水平直线上，已知AC=20米，CE=10米，CD=7米，EF=1.4米，人从点F远眺塔顶B，视线恰好经过竹竿的顶端D.根据以上信息，求塔AB的高度.
22.(本小题13分)
某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究：
[观察与猜想]
（1）如图①，在正方形ABCD中，点E、F分别是AB、AD上的两点，连接DE、CF、DE⊥CF，则的值为______.
（2）如图②，在矩形ABCD中，AD=7，CD=4，点E是AD上的一点，连接CE、BD，且CE⊥BD，则的值为______.
[类比探案]
（3）如图③，在四边形ABCD中，∠A=∠B=90°，点E为AB上一点，连接DE，过点C作DE的垂线交ED的延长线于点G，交AD的延长线于点F，求证：DE AB=CF AD.
23.(本小题13分)
如图1，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=4，BC=2，点D、E分别是边BC、AC的中点，连接DE．将△CDE绕点C逆时针方向旋转，记旋转角为α．
（1）问题发现
①当α=0°时，=______；②当α=180°时，=______．
（2）拓展探究
试判断：当0°≤α＜360°时，的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明．
（3）问题解决
△CDE绕点C逆时针旋转至A、B、E三点在同一条直线上时，求线段BD的长．
1.【答案】C
2.【答案】A
3.【答案】B
4.【答案】C
5.【答案】A
6.【答案】D
7.【答案】D
8.【答案】B
9.【答案】D
10.【答案】A
11.【答案】3
12.【答案】17
13.【答案】2026
14.【答案】△CDB
15.【答案】16或4
16.【答案】-7
，
17.【答案】-
2026
18.【答案】解：（1）x2-（m+2）x+m-1=0，
这里a=1，b=-（m+2），c=m-1，
Δ=b2-4ac
=[-（m+2）]2-4×1×（m-1）
=m2+4m+4-4m+4
=m2+8．
∵m2≥0，
∴△＞0．
∴无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根；
（2）设方程x2-（m+2）x+m-1=0的两个实数根为x1，x2，
则x1+x2=m+2，x1x2=m-1．
∵+-x1x2=9，即（x1+x2）2-3x1x2=9，
∴（m+2）2-3（m-1）=9．
整理，得m2+m-2=0．
∴（m+2）（m-1）=0．
解得m1=-2，m2=1．
∴m的值为-2或1．
19.【答案】该款迷你无人机的月平均增长率为20% 每架迷你无人机的售价应降低20元
20.【答案】(1)证明:四边形ABCD是菱形,
B=D,AB=BC=DC=AD,
点E,F分别为AB,AD的中点,
AE=BE=DF=AF,
在BCE和DCF中,
,

(2)解：当ABBC时,四边形AEOF是正方形.
理由如下:
由题意得EO=BC,FO=CD,AE=AB,AF=AD,
又AB=BC=AD=CD,
AE=OE=OF=AF,四边形AEOF是菱形,
ABBC,OEBC,
OEAB,
AEO=,
四边形AEOF是正方形.

21.【答案】解：过点F作FG⊥CD，垂足为G，延长FG交AB于点H，
由题意得：FH⊥AB，AH=CG=EF=1.4米，AC=GH=20米，CE=FG=10米，
∴∠DGF=∠BHF=90°，
∵CD=7米，
∴DG=CD-CG=7-1.4=5.6（米），
∵∠DFG=∠BFH，
∴△FDG∽△FBH，
∴，
∴，
∴BH=16.8，
∴AB=BH+AH=16.8+1.4=18.2（米），
∴塔的高度为18.2米．
22.【答案】1；
；
如图3，在四边形ABCD中，CG⊥EG，∠G=∠H=∠A=∠B=90°，过点C作CH⊥AF交AF的延长线于点H，
∴四边形ABCH为矩形，
∴AB=CH，∠FCH+∠CFH=∠DFG+∠FDG=90°，
∴∠FCH=∠FDG=∠ADE，∠A=∠H=90°，
∴△DEA∽△CFH，
∴，，
∴DE AB=CF AD
23.【答案】（1）① ；②
（2）如图2，
当0°≤α＜360°时，的大小没有变化，
∵∠ECD=∠ACB，
∴∠ECA=∠DCB，
又∵==，
∴△ECA∽△DCB，
∴==．．
（3）①如图3-1中，当点E在AB的延长线上时，
在Rt△BCE中，CE=，BC=2，
∴BE===1，
∴AE=AB+BE=5，
∵=，
∴BD==．
②如图3-2中，当点E在线段AB上时，
易知BE=1，AE=4-1=3，
∵=，
∴BD=，
综上所述，满足条件的BD的长为或．
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