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2025-2026学年江苏省苏州市姑苏区立达中学八年级（下）期末数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列事件中，是随机事件的为（　　）
A. 瓮中捉鳖 B. 守株待兔 C. 水中捞月 D. 刻舟求剑
2.观察下列各组中的两个图形，其中两个图形一定相似的一组是（　　）
A. B.
C. D.
3.如图1，舂臼（chōng jiù）是利用了杠杆原理给谷物种子进行脱壳的一种传统工具，图2是该舂臼的侧面简易示意图，点O是支点，点O到地面的距离OC=15cm,且AO：OB=4：1，则点A到地面的距离是（　　）
A. 30cm B. 45cm C. 60cm D. 75cm
4.如图，在 ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，若AB=8，ED=4，则BC的长为（　　）
A. 4
B. 8
C. 12
D. 16
5.为响应“劳动教育进校园”号召，某校计划在校园直角墙角处打造“共享种植角”，用总长为10米的防腐木围栏围出一块面积为21平方米的矩形区域（墙体足够长，无需额外围栏）.设矩形的一边长为x米，下列方程符合题意的（　　）
A. x（10-x）=21 B. x（10+x）=21 C. 2x（10-x）=21 D. x（10-2x）=21
6.若关于x的一元二次方程mx2+n=0的一个根为1，则方程m（x+3）2+n=0的根是（　　）
A. -1或1 B. -1或-2 C. -2或-4 D. 1或4
7.如图，在平行四边形ABCD中，∠B=60°，AB=6cm,BC=12cm.点P从点A出发，以1cm/s的速度沿A→D运动，同时点Q从点C出发，以3cm/s的速度沿C→B运动.在此运动过程中，当PQ=CD时，t的值为（　　）
A. 1.5 B. 3 C. 1.5或3 D. 3或4
8.如图，在矩形ABCD中，点H为边BC的中点，点G为线段DH上一点，且∠BGC=90°，延长BG交CD于点E，延长CG交AD于点F，当CD=4，DE=1时，则DF的长为（　　）
A. 2
B.
C.
D.
二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。
9.每年4月23日是“世界读书日”，为了解某校八年级1200名学生对“世界读书日”的知晓情况，从中随机抽取了400名学生进行调查，在这次调查中，样本容量是 .
10.当今大数据时代，“二维码”广泛应用于我们的日常生活中，某兴趣小组从某个二维码中开展数学实验活动.如图，在边长为10cm的正方形区域内，为了估计图中黑白部分的面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.35左右，据此可以估计黑色部分的总面积为 cm2.
11.已知，那么= .
12.如图，在△ABC中，D在AB上，添加一个条件使△ACD∽△ABC，则这个条件可以是： .（不添加辅助线，写出一种情况即可）
13.已知关于x的一元二次方程x2-（2m-1）x+m-2=0，方程有两个互为相反数的实数根，则m的值是 .
14.如图，P是面积为10的 ABCD内任意一点，若△PAD的面积记为S1，△PBC的面积记为S2，则S1+S2= .
15.如图，正方形ABCD中，AB=3，DE=2，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交BC于点G，则BG的长是 .
16.如图，已知等边△ABC，平面内有一点D，满足DC=2，DB=4，连接DA并延长至E，使AE=AD，则BE的最大值是 .
三、计算题：本大题共2小题，共12分。
17.解方程：
（1）2x2-1=7；
（2）2x（x-1）=3（x-1）.
18.某超市销售一款薯片，每袋进价5元.当每袋售价为15元时，平均每天能卖出20袋.超市计划降价促销以增加销量，调研发现：每袋价格每降低1元，每天销量会增加4袋.
（1）若超市想让利给消费者，且每天销售该薯片的利润达到200元时，每袋薯片应降价多少元？
（2）该超市每天能否通过降低价格实现250元的利润？若能，求出每袋的降价金额；若不能，请说明理由.
四、解答题：本题共9小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题5分)
为了提升学生身体素质，学校准备开设以下四个球类项目：A（羽毛球），B（足球），C（篮球），D（排球），要求每位学生必须参加，且只能选择其中一项，并将选择项目的抽样调查结果绘制成如下不完整的统计图，请你结合图中信息解答下列问题：
（1）本次抽样调查的样本容量是______；
（2）补全图①中的条形统计图；
（3）在扇形统计图中，“B”所对应的扇形圆心角的度数是______度；
（4）已知该学校共有1200名学生，请根据样本估计全校选择篮球的人数是多少？
20.(本小题5分)
一个不透明的袋子里装有黑、白两种颜色的球共50只，这些球除颜色外都相同.小明从袋子中随机摸一个球，记下颜色后放回，不断重复，并绘制了如图所示的统计图，根据统计图提供的信息解决下列问题：
（1）小明从袋子中随机摸一个红球是______（从“随机事件”、“必然事件”、“不可能事件”选一个填入）；
（2）如图，摸到黑球的频率会接近______（精确到0.1）；
（3）估计袋中黑球的个数为______只；
（4）若小明又将一些相同的黑球放进了这个不透明的袋子里，然后再次进行摸球试验，当重复大量试验后，发现黑球的频率稳定在0.75左右，则小明后来放进了______个黑球.
21.(本小题6分)
如图，在正方形网格中，A、B、C、D均为小正方形的顶点，三个顶点都在小正方形顶点上的三角形叫作格点三角形.
（1）图1中的值为______；
（2）请仅用无刻度的直尺作图.
①请在图2中以线段BD为一边，画一个格点△DBE，使它与△ABC相似；
②请在图3中画一个最大的格点△A1B1C1，使它与△ABC相似.
22.(本小题6分)
如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AB=10cm,AC=12cm,BD=16cm,过点A作AE⊥BC于E.
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）线段AE的长是______cm.（直接写出答案）
23.(本小题6分)
已知关于x的一元二次方程x2+kx-3x-k+1=0.
（1）求证：无论k取何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若该方程的一个根为-1，求k的值以及方程的另一个根.
24.(本小题6分)
如图，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，若∠A=40°，∠B=65°，∠AED=75°.
（1）求证：△ADE∽△ABC；
（2）已知AD：BD=2：3，AE=5，求AC的长.
25.(本小题6分)
如图，在平行四边形ABCD中，连接BD，E为线段AD的中点，延长BE与CD的延长线交于点F，连接AF，∠BDF=90°.

（1）求证：四边形ABDF是矩形；
（2）若AD=5，DF=3，求四边形ABCF的面积S.
26.(本小题8分)
定义：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a,b,c均为常数，a≠0）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大2，则称这样的方程为“美丽方程”.
（1）下列方程中，是“美丽方程”的是______（填序号）.
①x2+2x=0；
②x2-4x+4=0；
③x2+4x+3=0.
（2）若（x+2）（x+n）=0是“美丽方程”，求n的值.
（3）若一元二次方程ax2+4ax+c=0（a,c均为常数，a≠0）为“美丽方程”，请写出a、c满足的数量关系，并说明理由.
27.(本小题8分)
如图1，小丽为了在△ABC中作一个内接正方形DEFG（点D、E、F、G在三角形的边上），进行了如下操作.
第一步：如图2，在边AB上任取一点P，作PK⊥BC，K为垂足，以PK为边作正方形PKMN.
第二步：如图3，作射线BN交AC于点G.
第三步：如图3，过点G作GD∥BC，交AB于点D，作DE⊥BC，GF⊥BC，垂足为E，F.
（1）请证明小丽所作的四边形DEFG是正方形；
（2）如图1，边长为x的正方形DEFG内接于△ABC（点D、E、F、G三角形的边上），知BC=a,BC边上的高为h.
①求证：；
②连接BG，若BC边上的高h=2，△DBG的面积为S1，△ABC的面积为S2，设，则y与x的关系式______（直接写答案）.
1.【答案】B
2.【答案】D
3.【答案】D
4.【答案】C
5.【答案】A
6.【答案】C
7.【答案】C
8.【答案】A
9.【答案】400
10.【答案】35
11.【答案】
12.【答案】∠ACD=∠B
13.【答案】
14.【答案】5
15.【答案】
16.【答案】
17.【答案】x1=-2，x2=2

18.【答案】每袋薯片应降价5元
该超市每天不能通过降低价格实现250元的利润，理由如下：
假设该超市每天能通过降低价格实现250元的利润，设每袋薯片降价y元，则每袋薯片的销售利润为（15-5-y）元，平均每天能卖出（20+4y）袋，
根据题意得：（15-5-y）（20+4y）=250，
整理得：2y2-10y+25=0，
∵Δ=（-10）2-4×2×25=-100＜0，
∴原方程没有实数根，
∴假设不成立，即该超市每天不能通过降低价格实现250元的利润
19.【答案】100
条形统计图如下：
108
全校选择篮球的人数是312人
20.【答案】随机事件
0.5
25
50
21.【答案】3
①如图，△DBE即为所求；
②如图，△A1B1C1即为所求．

22.【答案】四边形ABCD是平行四边形，AC=12cm，BD=16cm，
∴OA=AC=6cm，OB=BD=8cm
∵AB=10cm，
∴OA2+OB2=AB2，
∴AC⊥BD，
∴四边形ABCD为菱形

23.【答案】因为关于x的一元二次方程为x2+kx-3x-k+1=0，
则Δ=（k-3）2-4×1×（-k+1）=k2-2k+5=（k-1）2+4．
因为（k-1）2≥0，
所以（k-1）2+4≥4＞0，
所以无论k取何值，方程总有两个不相等的实数根
k=，方程的另一个根为
24.【答案】∵∠A=40°，∠B=65°，
∴∠C=180°-40°-65°=75°，
∴∠C=∠AED，
又∵∠A=∠A，
∴△ADE∽△ABC

25.【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BA∥CD，
∴∠BAE=∠FDE，
∵点E是AD的中点，
∴AE=DE，
在△BEA和△FED中，
，
∴△BEA≌△FED（ASA），
∴EF=EB，
又∵AE=DE，
∴四边形ABDF是平行四边形，
∵∠BDF=90°．
∴四边形ABDF是矩形；
（2）解：由（1）得四边形ABDF是矩形，
∴∠AFD=90°，AB=DF=3，AF=BD，
∴AF===4，
∴S矩形ABDF=DF AF=3×4=12，BD=AF=4，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD=AB=3，
∴S△BCD=BD CD=×4×3=6，
∴四边形ABCF的面积S=S矩形ABDF+S△BCD=12+6=18，
答：四边形ABCF的面积S为18．
26.【答案】①③
n=0或4
c=3a，理由如下：
由ax2+4ax+c=0得，
Δ=（4a）2-4ac=16a2-4ac，
则x=，
所以，；因为该方程为“美丽方程”，
所以=2，
整理得，a（3a-c）=0．
因为a≠0，
所以3a-c=0，
即c=3a，
所以a、c满足的数量关系为c=3a
27.【答案】证明：∵DE⊥BC，GF⊥BC，
∴∠DEF=∠GFE=90°，
∵GD∥BC，
∴∠DEF+∠GDE=180°，
∴∠GDE=90°，
∴∠DEF=∠GFE=∠GDE=90°，
∴四边形DEFG为矩形，
∵正方形PKMN中，PN∥KM，
∴PN∥DG，
∴△BPN∽△BDG，
∴，
同理可得：，
∴，
又∵正方形PKMN中，PN=MN，
∴DG=GF．
∴四边形DEFG为正方形
y=-
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