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北京市延庆区2025-2026学年下学期八年级期末数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.纹样作为中国传统文化的重要组成部分，是古人艺术与智慧的结晶，下面纹样的示意图中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）
A. B. C. D.
2.如图，A，B两点被池塘隔开，小张通过下面的方法估测出A，B间的距离，他先在外取一点C，然后分别确定，的中点D，E，并测出的长为，则A，B之间的距离为（ ）
A. B. C. D.
3.下列方程中，有两个不相等的实数根的是（）
A. B. C. D.
4.若正多边形的一个外角是，则该正多边形的内角和为（ ）
A. B. C. D.
5.的对角线，交于点O，下列说法正确的是（ ）
A. 若，则是矩形 B. 若，则是矩形
C. 若，则是菱形 D. 若，则是菱形
6.近年来，延庆区大力发展低空旅游产业．延庆文旅将分散的长城资源串联成线，打造世界级长城大景区，让更多人领略“空中瞰长城”的震撼，八达岭机场是“空中瞰长城”的起飞地，从2026年3月起客流逐月递增．3月份直升机的总飞行时长约为119.2小时，5月份直升机的总飞行时长约为176.8小时．设直升机每月飞行时长的平均增长率为x，则下列所列的方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
7.根据A，B两地同一天（24小时）气温的数据，在同一幅图中画出箱线图，如图所示．给出下列结论：
①A，B两地气温数据的中位数都是15
②A地气温数据的第一四分位数是10
③A地气温的温差比B地大
④A地最高气温比B地的最高气温低
则正确的个数是（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
8.如图，在中，，点E是的中点，过点A作于点F，连接并延长与线段的延长线交于点G，连接．给出下列结论：
①点E是的中点；
②；
③平分；
④．
则上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A. ①④ B. ②③ C. ①②③ D. ①③④
二、填空题：本题共8小题，共18分。
9.函数y=-1中，自变量x的取值范围是 ．
10.方程x2-2x＝0的解为 ．
11.在平面直角坐标系中，函数和的图象如图所示，那么关于x，y的二元一次方程组的解是 ．
12.某校的射击社团经过筛选，决定从甲、乙、丙、丁四名同学中选择一名同学，代表社团参加延庆区“青少年射击比赛”．该社团组织四人进行比赛，这四名同学10次射击成绩（单位：环）的平均数及方差，如表所示：
甲 乙 丙 丁
平均数 92 92 96 96
方差 1.2 0.6 0.2 0.7
如果要选一名成绩好且状态稳定的同学参赛，则应该选择 ．
13.设，是方程的两个实数根，则代数式的值是 ．
14.若点，都在正比例函数的图象上，则 （填“”“”或“”）．
15.如图，将矩形纸片沿直线翻折，使点A落在点E处，与交于点F．若，，则的长是 ．
16.某智能芯片制造厂接到零件加工任务，需要甲、乙两个车间相互配合，要求它们同时开工，11天完成．乙车间在加工3天后停止加工，在引入新设备后继续加工，直到与甲车间同时完成任务为止．设甲、乙两个车间加工零件的总数分别为（件），（件），加工时间为x（天），甲车间与乙车间加工零件总数之差为z（件）．，与加工时间x之间存在函数关系，如图1所示；z与x之间存在函数关系，如图2所示．
请根据图象提供的信息回答：
(1) 图1中，a的值是 ；
(2) 在第 天，甲乙两个车间加工的零件总数相同．
三、计算题：本大题共1小题，共5分。
17.解方程：
(1) ；
(2) ．
四、解答题：本题共11小题，共61分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题7分)
一次函数的图象经过点，与y轴交于点B．
(1) 求这个一次函数的表达式，并画出该函数图象；
(2) 当时，x的取值范围是 ；
(3) 的面积是 ．
19.(本小题3分)
如图，在中，点，在对角线上，且，连接，，，．求证：四边形是平行四边形．
20.(本小题7分)
已知：如图1，点C是直线外一点．求作：直线，使得．下面是某位同学的作图方案：
①在上任取一点M，连接（不与垂直）；
②以点M为圆心，以为半径画弧，与交于点N；
③分别以点C，N为圆心，以为半径画弧，两弧交于点D；
④作直线．
则直线即为所求．
(1) 根据上面的作图方案在图1中完成作图；（保留作图痕迹，不写作法）
(2) 完成下面的证明：
证明：连接．
，，
．
四边形是菱形（① ）（填推理依据）．
（② ）（填推理依据）．
．
(3) 请你再另外设计一种作法，利用直尺和圆规在图2中完成（保留作图痕迹，不写作法和证明）．
21.(本小题3分)
关于x的方程有实数根，且k为正整数，求k的值并求此时方程的解．
22.(本小题10分)
某校为了解学生的体育健康知识掌握情况，进行相关测试．测试结束后，分别从七年级和八年级参加测试学生的成绩中随机抽取了20名学生的成绩（满分100分），并进行了整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
a．抽取的七年级学生测试成绩（单位：分）：72，75，78，80，81，82，82，82，83，84，84，85，86，87，88，90，91，93，98，99；
b．抽取的八年级学生测试成绩（单位：分）的频数分布直方图，如图所示（数据分为5组：，，，，）：
c．抽取的八年级学生测试成绩在这一组的是：85，86，87，85，87，88；
d．抽取的七、八年级学生成绩的平均数、中位数、第三四分位数、众数如下：
平均数 中位数 第三四分位数 众数
七年级 85 84 n p
八年级 85 m 91 85
根据以上的信息，回答下列问题：
(1) 补全频数分布直方图；
(2) 表中 ， ， ；
(3) 若七年级学生甲，八年级学生乙的成绩均为85分，则甲，乙两人在本年级中成绩更靠前的是 ；
(4) 此次测试成绩在85分及以上为优秀，若该校七年级参加测试的有180人，八年级参加测试的有200人，估计七、八年级成绩优秀的共有多少人？
23.(本小题3分)
某景区“农家乐”一日游活动的票价为200元．春节期间该景区推出两种购票优惠方案．方案一：所有购票人员统一享受票价七折优惠；方案二：团队中1人购买全价票，其余成员可享受票价六折优惠．春节假期小明想和朋友们一起参加该景区“农家乐”一日游活动，选择哪种方案更合算？说明理由．
24.(本小题5分)
一位旅客乘坐某航空公司飞机时，购买了经济舱机票．托运行李的费用y（单位：元）与行李的质量x（单位：）的关系如图所示．
(1) 可免费托运的行李最大质量是多少千克？
(2) 如果托运的行李超过免费托运的质量后，那么每千克需支付的费用是 元．
25.(本小题5分)
如图，菱形中，连接并延长到点E，使得，延长到点，使得，连接．
(1) 求证：为等腰三角形；
(2) 连接，与交于点，连接，若，，求的长．
26.(本小题6分)
在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点．
(1) 求这个一次函数的表达式；
(2) 当时，对于x的每一个值，一次函数的值小于一次函数的值且大于1，直接写出m的取值范围．
27.(本小题6分)
如图，是正方形的对角线，点O是的中点，将线段绕着点O逆时针旋转得到线段，连接，．
(1) 求的度数（用含的式子表示）；
(2) 连接，过点O作于点F，与交于点G．
①依题意补全图形；
②用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．
28.(本小题6分)
在平面直角坐标系中，给出如下规定：对于平面内任意一点，将点P的横、纵坐标先乘以，再分别加上1，得到点，则称点Q是点P的变换点．如图，在正方形中，，；已知线段，，，其中．
(1) 当时，点E的变换点的坐标为 ；
(2) 若点E的变换点的坐标是，则a的值为 ；
(3) 若线段上所有点的变换点，都落在正方形的边上或内部，则h的最大值为 ，a的取值范围是 ．
1.【答案】B
2.【答案】C
3.【答案】C
4.【答案】A
5.【答案】B
6.【答案】C
7.【答案】C
8.【答案】D
9.【答案】x≥0
10.【答案】0或2
11.【答案】
12.【答案】丙
13.【答案】
14.【答案】<
15.【答案】
16.【答案】【小题1】
630
【小题2】
9

17.【答案】【小题1】
解：，
，
或，
解得：，．
【小题2】
解：，
∵，
∴，
∴，
解得：，．

18.【答案】【小题1】
解：∵一次函数经过点，
将，代入解析式得：，
解得：，
∴一次函数的表达式为，

【小题2】
【小题3】
6

19.【答案】证明：连接，交于点O．
∵四边形是平行四边形，
∴，．
又∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形．

20.【答案】【小题1】
如图：
【小题2】
四条边都相等的四边形是菱形
菱形的对边互相平行
【小题3】
如图，直线即为所求

21.【答案】解：∵关于x的方程有实数根，
∴根的判别式，
解得：，
又∵k为正整数，
∴，
将代入原方程，得，
整理得：，
解得：．

22.【答案】【小题1】
补全频数分布直方图如图
【小题2】
86.5
89
82
【小题3】
甲
【小题4】
解：抽取的20名七年级学生中，85分及以上有9人，
因此七年级优秀人数估计为：人；
抽取的20名八年级学生中，85分及以上有人，
因此八年级优秀人数估计为：人；
总优秀人数：人，
答：估计七、八年级成绩优秀的共有211人．

23.【答案】当购票人数少于4人时，选择方案一更合算；当购票人数等于4人时，两种方案一样合算；当购票人数多于4人时，选择方案二更合算．
理由：设一共有x人参加，方案一的总费用为元，方案二的总费用为元，x为正整数，
根据题意，得，，
当时，，解得，
此时两种方案花费相同，
当时，，解得，
此时方案一更合算，
当时，，解得，
此时方案二更合算，
综上所述，当购票人数少于4人时，选择方案一更合算；当购票人数等于4人时，两种方案一样合算；当购票人数多于4人时，选择方案二更合算．

24.【答案】【小题1】
解：由图可知，收费段的直线经过点和，
设直线解析式为，
代入坐标得：，
解得：，
∴解析式为，
令，解得，
∴可免费托运的行李最大质量是．
【小题2】
18

25.【答案】【小题1】
证明：∵，，
∴是中点，是中点，
∴是的中位线，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴为等腰三角形．
【小题2】
解：如图，
∵四边形是菱形，与交于，，
∴，，，
由（1）得，，
在中，由勾股定理得，，
∴，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，．

26.【答案】【小题1】
解：由题意得，，
∴，
将点代入中，得，
∴一次函数的表达式为．
【小题2】
解：如图，分析临界图象，
当时，得到点是临界点，
由题意知，，解得，
当时，两直线平行，
∴．

27.【答案】【小题1】
解：∵四边形是正方形，是对角线，是中点，
∴，，，
由旋转性质得：，，
∴，，
在等腰中：，
∴；
【小题2】
①如图：
②，
证明：如图，过点B作交于点，连接，
∵四边形是正方形，
∴，，，，
∴，
∴，
∴，
根据（1）可得
，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
又，
∴，
∵，，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∴，即，
又∵，
∴，
∴（或答案不唯一）．

28.【答案】【小题1】
【小题2】
【小题3】
4


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