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2025-2026学年重庆市涪陵区八年级（下）期末数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列式子中，属于最简二次根式的是（　　）
A. B. C. D.
2.点（-2，b）在函数y=|x|+1的图象上，则b的值为（　　）
A. 3 B. 2 C. -3 D. -1
3.下列条件不能判定△ABC是直角三角形的是（　　）
A. ∠A=90° B. AB=3，BC=4，AC=5
C. AB=2，BC=4，AC=5 D. ∠A+∠B=∠C
4.音乐中旋律的音高会随时间发生变化，我们可以用平面直角坐标系中的函数图象来刻画一段旋律的变化规律如图是某段乐曲的音高y随时间x变化的图象，下列说法正确的是（　　）
A. 该图象不能表示y是x的函数 B. 随着时间推移，音高一直在不断升高
C. 时间发生改变，音高就一定会发生改变 D. 存在一段时间，时间变化但音高保持不变
5.若A（-1，y1），B（2，y2）是一次函数y=3x+m图象上的两点，则y1和y2的大小关系是（　　）
A. y1＜y2 B. y1=y2 C. y1＞y2 D. 不能确定
6.用长度相同的木棍按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案用了9根木棍，第②个图案用了14根木棍，第③个图案用了19根木棍，第④个图案用了24根木棍，…，按此规律排列下去，则第⑦个图案用的木棍根数是（　　）
A. 34 B. 39 C. 44 D. 49
7.在一次物理实验中，A，B两个班学生需用弹簧测力计测量一个200g钩码的重力（理论重力为2.0N），个班测量数据的箱线图如图所示，则下列说法错误的是（　　）
A. A班和B班均有同学的测量值超过了理论值 B. A班的测量值比B班的测量值波动更大
C. B班的平均测量值比A班的平均测量值更高 D. A班的上四分位数与B班的中位数相同
8.在一次1000米长跑比赛中，甲、乙两人所跑的路程y（米）随所用时间x（秒）变化的图象如图所示.根据图象信息，下列说法正确的是（　　）
A. 乙比甲先到达终点 B. 甲的速度随着时间的增加而变快
C. 两人出发180秒时，两人相遇 D. 当x=120时，两人相距100米
9.如图，四边形ABCD是边长为4的正方形，E是边BC的中点，∠AEF=90°，且AE=EF，连接CF，则CF的长度为（　　）
A. 3 B. C. D.
10.已知整式M：，其中n为自然数，均为整数，且an+an-1+…+a0≤20，an＞an-1＞…＞a1＞a0，下列说法：
①n的最大值为3；
②满足条件的所有整式M中共有7个单项式；
③当n=1时，令，该函数图象经过第一、第二、第三象限，满足条件的整式M有5个；
④当n=2时，满足条件的所有整式M的和为12x2+6x+1.
其中正确的个数是（　　）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 .
12.校园综合素质风采大赛，采用30%的理论分数与70%的现场展示分数评比，小李同学本次比赛理论知识得分80分，现场实践展示得分90分，则小李的比赛总成绩为 分.
13.若m为正整数，且满足，则m= .
14.一个正多边形的一个内角为120°，则该正多边形的边数为 .
15.若实数x,y同时满足x-|y|=2，，则的值为 .
16.一个各个数位均不为零的四位自然数，若满足a+d=2（b+c）-1，则称这个四位数是“顶格”数.例如：四位数5312，因为5+2=2×（3+1）-1，所以5312是“顶格数”.按照这个规定，最小的“顶格数”是 ；一个“顶格数”，记P（M）=a+b+c+d,，若P（M）能被7整除，G（M）是整数，则满足条件的M的最大值是 .
三、计算题：本大题共2小题，共18分。
17.计算：
（1）；
（2）（）2-（）（）.
18.随着AI技术的成熟，智能机器人开始进入商圈服务.某商业广场计划引进“迎宾导览”和“互动表演”款AI机器人，用于吸引客流、提升顾客体验.“迎宾导览”机器人采购单价为7万元/台，投入使用后每台能为商场带来的预估营业额为15万元/台；“互动表演”机器人采购单价为10万元/台，投入使用后每年能为商场带来的预估营业额为25万元/台.
（1）商场计划引进这两款机器人共12台，求这批机器人预估年营业总额y（单位：万元）与迎宾导览机器人引入量x（单位：台）之间的函数解析式；
（2）在（1）的条件下，总采购预算不超过105万元.要使这批机器人每年能为商场带来的总营业额最大应如何安排采购数量？最大预估年营业总额是多少万元？
四、解答题：本题共7小题，共68分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题8分)
学行四边形的性质后，小虎对平行四边形进行了拓展性研究发现：作平行四边形一组对角的角平分线，与另一组对角顶点的连线相交于两点，这两点与两条角平分线所在的两个顶点所构成的四边形是平行四边形.如图，在平行四边形ABCD中，连接对角线AC，∠ABC 的角平分线交AC于点E.
（1）用尺规完成以下基本作图：作∠ADC的角平分线，交AC于点F，连接BF，DE（不写作法，保留作图痕迹）.
（2）求证：四边形BEDF是平行四边形.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，∠ABC=①______.
∴∠BAE=∠DCF.
∵BE，DF分别平分∠ABC，∠ADC，
∴，，
∴②______.
∴△BAE≌△DCF（ASA）.
∴③______，∠AEB=∠CFD.
∴180°-∠AEB=180°-∠CFD.
∴④______.
∴BE∥DF.
∵BE=DF，
∴四边形BEDF是平行四边形.
20.(本小题10分)
青少年的体质健康，既与其学习和生活息息相关，又与国家和民族的未来密不可分.立定跳远作为测试学生下肢爆发力与身体协调性的核心项目，满分15分.为掌握本校八年级学生的立定跳远体育训练成效，现从八年级男女生中各随机抽取了10名学生进行跳远测试，跳远成绩用x（单位：分）表示，对数据进行整理，将所得数据分为4组（A组：7＜x≤9；B组：9＜x≤11；C组：11＜x≤13；D组：13＜x≤15），学校对数据进行分析后，得到如下部分信息：
抽取的10名女生的测试成绩为：8，10，11，12，12，12，13，14，14，15.
抽取的男生测试成绩在C组的成绩为：12，13.
抽取的男生与女生的测试成绩统计表
性别 平均数 中位数 众数
女生 12.1 12 a
男生 12.1 b 14
请回答下列问题：
（1）填空：a=______，b=______，m=______；
（2）结合以上数据，你认为此次立定跳远测试成绩男生与女生谁更好？请说明理由；
（3）若八年级女生共有1000人，男生共有800人，规定13分以上为“优秀”，请估计该校八年级学生立定跳远成绩为优秀的总人数.
21.(本小题10分)
如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB∥CD，AB=CD，AC平分∠BAD.
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）BO=3，CO=4，过点D作DE⊥BC，求线段DE的长度.
22.(本小题10分)
如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=4，对角线AC，BD相交于点O，动点P以每秒1个单位长度沿A→B→C方向运动，同时动点Q以每秒个单位长度沿C→D方向运动，连接OQ.设运动时间为x秒（0＜x＜10），点P和点B的距离为y1，△COQ的面积为S1，△COB的面积为S2，.
（1）请直接写出y1，y2分别关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；
（2）在给定的平面直角坐标系中画出函数y1，y2的图象，并写出函数y1的一条性质；
（3）结合函数图象，请直接写出y1＜y2时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）.
23.(本小题10分)
某城市快递公司设有中转站A，以及三个配送点B，C，D.如图，A，B，C，D在同一平面内.已知配送点B位于中转站A的北偏西60°方向3km处，配送点C位于中转站A的正北方向，且位于配送点B北偏东30°方向，配送点D位于中转站A的正东方向，经测量，C、D两配送点间的距离为10km.
（1）求中转站A到配送点D的距离；
（2）快递员甲从中转站A出发到配送点C送快递，快递员乙从配送点D出发到中转站A取快递.已知快递员甲和快递员乙的速度之比是1：2，当两快递员的直线距离恰好等于快递员甲离中转站A的距离的倍时，求快递员甲离配送点A的距离.
24.(本小题10分)
如图，在平面直角坐标系中，直线y=kx+b（k≠0）过点A（2，2）与B（3，1），与x轴交于点C.
（1）求直线AB的解析式；
（2）点D为y轴上一动点，连接AD，CD，求AD+CD的最小值；
（3）将直线AB向下平移6个单位长度得到直线y′，点E为直线y′上的一动点，连接OB，CE.若∠ECO=∠BOC，请直接写出所有符合条件的点E的坐标，开写出求解点E的坐标的其中一种情况的过程.
25.(本小题10分)
在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O.
（1）如图1， ABCD的周长为16，点E在AD上，OE⊥AC，求△CDE的周长；
（2）如图2，∠BAC=90°，AB=AC，F为BC上一点，连接AF，以AF为直角边构造等腰Rt△AGF，斜边FG交BD于点H，连接AH.若AH⊥GF，求证：；
（3）如图3，∠BAC=60°，AB=AC=8，点M，N为直线AD上的动点（点M在点N的左侧），且MN=2，连接OM，NC，直接写出OM+MN+NC的最小值.
1.【答案】B
2.【答案】A
3.【答案】C
4.【答案】D
5.【答案】A
6.【答案】B
7.【答案】C
8.【答案】C
9.【答案】D
10.【答案】B
11.【答案】x≥1
12.【答案】87
13.【答案】4
14.【答案】6
15.【答案】2
16.【答案】1112
8321

17.【答案】

18.【答案】y=-10x+300（0≤x≤12，且x为非负整数）
采购迎宾导览机器人5台，互动表演机器人7台，最大预估年营业总额为250万元
19.【答案】
∠ADC;∠ABE=∠CDF;BE=DF;∠BEF=∠DFE
20.【答案】12;12.5;40
男生更好，理由如下：
男生和女生成绩的平均数相同，但是男生成绩的中位数和众数均高于女生，故男生更好
620人
21.【答案】证明：∵AB∥CD，AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，∠BAC=∠ACD，
∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC=∠DAC，
∴∠ACD=∠DAC，
∴AD=CD，
∴四边形ABCD是菱形

22.【答案】，y2=0.8x（0＜x＜10）
函数y1，y2的图象如图所示，当0＜x≤6时，y1随x的增大而减小（性质答案不唯一，合理即可）
结合函数图象，当y1＜y2时，x的取值范围为3.3＜x＜10
23.【答案】8km
2km
24.【答案】y=-x+4
点E的坐标为或E（-5，3）．理由如下：
∵直线AB的解析式为y=-x+4，
∴y′=-x+4-6=-x-2，
∵B（3，1），
∴同（1）法可得，直线OB的解析式为，
如图2，过点C作OB的平行线，交直线y′于点E，交y轴于点F，
则∠ECO=∠BOC，
设直线CF的解析式为，
由（2）知：C（4，0），
∴，
∴，
∴，
∴，
联立得：，
解得：，
∴；将直线CF沿着x轴翻折，交y轴于点K，则，∠KCO=∠OCF=∠BOC，
同法可得，直线CK的解析式为，
联立得：，
解得：，
∴E（-5，3）；综上所述，点E的坐标为或E（-5，3）
25.【答案】8
过A作AQ⊥BC于Q，连接FO，BG，
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴BQ=CQ，∠ACB=∠ABC=45°，
∴，
∵AH⊥GF，AG=AF，∠GAF=90°，
∴AH=GH=HF，
∵∠GAB=90°-∠BAF=∠CAF，
∴△AFC≌△AGB（SAS），
∴∠ACF=∠ABG=45°，
∴∠GBF=90°，
∴BH=GH=FH=AH，
∴∠HBA=∠HAB，
∵∠HAB+∠HAO=90°=∠HBA+∠HOA，
∴∠HAO=∠HOA，
∴AH=OH=BH=HF，
∴∠HBF=∠HFB，∠HFO=∠HOF，
∴，
∴∠OFC=90°，
∴，
∵在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，
∴，AB=CD=AC，
∴，
∴BQ=CQ=2OF=2CF，
∴
OM+MN+NC的最小值为
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