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专题09 复数
考点分类 五年考情（2022-2026） 命题规律
考点01 数系的扩充与复数的引入 2026北京卷、2026上海卷 2025年全国一卷、2025北京卷、2025天津卷、2025上海卷 2024年新课标Ⅱ卷、2024上海卷、2023年新课标Ⅱ卷、2023年全国甲卷、2023年全国乙卷、2023北京卷、2023上海卷 2022年全国甲卷、2022年全国乙卷、2022北京卷、2022上海卷、2022浙江卷 考查复数的概念、复数相等、复数的模及几何意义
考点02 复数代数形式的四则运算 2026全国二卷、2026天津卷 2025年全国二卷 2024年新课标Ⅰ卷、2024年全国甲卷、2024北京卷、2024天津卷、2024上海卷 2023年新课标Ⅰ卷、2023年全国乙卷、2023天津卷 2022年新高考全国Ⅰ卷、2022年新高考全国Ⅱ卷、2022年全国甲卷、 2022天津卷 复数的四则运算作为复数部分的核心内容，是考查的重点之一。主要考查学生对复数加、减、乘、除、乘方运算法则的掌握程度
考点01 数系的扩充与复数的引入
1．（2026·上海·高考真题）对于任意两个复数 ， ，如果满足“ ”或“ ”，那么就称 和 伴随.则当 和 伴随，则 和 伴随的充要条件是（ ）.
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】设，，，，由条件结合伴随的定义可判断结论.
【详解】设，，，，
则，，
当和伴随，有或，又，，
若和伴随，则或，
所以和伴随的充要条件是，即.
2．（2026·北京·高考真题）已知，，则（ ）
A． B． C．2 D．8
【答案】A
【详解】由题意，则.
3．（2025·北京·高考真题）已知复数z满足，则（ ）
A． B． C．4 D．8
【答案】B
【分析】先求出复数，再根据复数模的公式即可求出．
【详解】由可得，，所以，故选：B.
4．（2025·全国一卷·高考真题）的虚部为（ ）
A． B．0 C．1 D．6
【答案】C
【分析】根据复数代数形式的运算法则以及虚部的定义即可求出.
【详解】因为，所以其虚部为1，故选：C.
5．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知，则（ ）
A．0 B．1 C． D．2
【答案】C
【分析】由复数模的计算公式直接计算即可.
【详解】若，则.故选：C.
6．（2023·北京·高考真题）在复平面内，复数对应的点的坐标是，则的共轭复数（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据复数的几何意义先求出复数，然后利用共轭复数的定义计算.
【详解】在复平面对应的点是，根据复数的几何意义，，由共轭复数的定义可知，.
故选：D
7．（2023·全国乙卷·高考真题）（ ）
A．1 B．2 C． D．5
【答案】C
【分析】由题意首先化简，然后计算其模即可.
【详解】由题意可得，则.故选：C.
8．（2023·全国甲卷·高考真题）设，则（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．2
【答案】C
【分析】根据复数的代数运算以及复数相等即可解出．
【详解】因为，
所以，解得：．
故选：C.
9．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）在复平面内，对应的点位于（ ）．
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【分析】根据复数的乘法结合复数的几何意义分析判断.
【详解】因为，则所求复数对应的点为，位于第一象限.故选：A.
10．（2022·浙江·高考真题）已知（为虚数单位），则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用复数相等的条件可求.
【详解】，而为实数，故，故选：B.
11．（2022·北京·高考真题）若复数z满足，则（ ）
A．1 B．5 C．7 D．25
【答案】B
【分析】利用复数四则运算，先求出，再计算复数的模．
【详解】由题意有，故．故选：B．
12．（2022·全国甲卷·高考真题）若．则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据复数代数形式的运算法则，共轭复数的概念以及复数模的计算公式即可求出．
【详解】因为，所以，所以．故选：D.
13．（2022·全国乙卷·高考真题）已知，且，其中a，b为实数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先算出,再代入计算,实部与虚部都为零解方程组即可
【详解】，
由,结合复数相等的充要条件为实部、虚部对应相等，得,即 故选:
14．（2022·全国乙卷·高考真题）设，其中为实数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据复数代数形式的运算法则以及复数相等的概念即可解出．
【详解】因为R，，所以，解得：．故选：A.
15．（2026·上海·高考真题）已知，对于所有满足的复数，都有的最小值与的最小值相同，则____________.
【答案】3
【分析】根据复数的几何意义分析求解即可.
【详解】由得复数对应的点的集合为以原点为圆心，2为半径的圆，
因为表示点到圆上一点的距离，且点到圆心的距离为1，则的最小值为，
而表示点到圆上一点的距离，且点到圆心的距离为，则的最小值为，
又因为的最小值与的最小值相同，所以，，解得. 故答案为：3.
16．（2025·天津·高考真题）已知i是虚数单位，则 ________．
【答案】
【分析】先由复数除法运算化简，再由复数模长公式即可计算求解.
【详解】先由题得，所以. 故答案为：
17．（2025·上海·高考真题）已知复数z满足，则的最小值是_________．
【答案】
【分析】先设，利用复数的乘方运算及概念确定，再根据复数的几何意义数形结合计算即可.
【详解】设，由题意可知，则，
又，由复数的几何意义知在复平面内对应的点在单位圆内部（含边界）的坐标轴上运动，如图所示即线段上运动，
设，则，由图象可知，所以.
故答案为：
18．（2025·上海·高考真题）已知复数，其中i为虚数单位，则__________．
【答案】
【分析】根据复数的除法运算和复数模的计算公式即可.
【详解】，故．故答案为：.
19．（2024·上海·高考真题）已知虚数，其实部为1，且，则实数为______．
【答案】2
【分析】设且，直接根据复数的除法运算，再根据复数分类即可得到答案.
【详解】设，且.则，
，，解得，故答案为：2.
20．（2023·上海·高考真题）已知当，则______；
【答案】
【分析】直接根据复数的乘法运算以及复数模的定义即可得到答案.
【详解】，.故答案为：.
21．（2023·上海·高考真题）设且，满足，则的取值范围为________________．
【答案】
【分析】判断出对应点的轨迹，从而求得的取值范围.
【详解】设，，则，所以，
，所以，
即对应点在以为圆心，半径为的圆上.，对应点为，
与关于对称，所以点在以为圆心，半径为的圆上，
表示与两点间的距离，圆与圆相交，圆心距为，如图所示，
所以的最小值为，最大值为，所以的取值范围为.
故答案为：
22．（2022·上海·高考真题）已知（其中i为虚数单位），则___________；
【答案】
【分析】先由求出，从而可求出
【详解】因为，所以，
所以，
故答案为：
考点02 复数代数形式的四则运算
1．（2026·全国二卷·高考真题）（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
2．（2025·全国二卷·高考真题）已知，则（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【分析】由复数除法即可求解.
【详解】因为，所以.故选：A.
3．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由复数四则运算法则直接运算即可求解.
【详解】因为，所以.故选：C.
4．（2024·北京·高考真题）已知，则（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】直接根据复数乘法即可得到答案.
【详解】由题意得.故选：C.
5．（2024·全国甲卷·高考真题）设，则（ ）
A． B． C． D．2
【答案】D
【分析】先根据共轭复数的定义写出，然后根据复数的乘法计算.
【详解】依题意得，，故.故选：D
6．（2024·全国甲卷·高考真题）若，则（ ）
A． B． C．10 D．
【答案】A
【分析】结合共轭复数与复数的基本运算直接求解.
【详解】由，则.故选：A
7．（2023·全国甲卷·高考真题）（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】C
【分析】利用复数的四则运算求解即可.
【详解】故选：C.
8．（2023·全国乙卷·高考真题）设，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题意首先计算复数的值，然后利用共轭复数的定义确定其共轭复数即可.
【详解】由题意可得，则.故选：B.
9．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知，则（ ）
A． B． C．0 D．1
【答案】A
【分析】根据复数的除法运算求出，再由共轭复数的概念得到，从而解出．
【详解】因为，所以，即．故选：A．
10．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用复数的乘法可求.
【详解】，故选：D.
11．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）若，则（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】D
【分析】利用复数的除法可求，从而可求.
【详解】由题设有，故，故，故选：D
12．（2022·全国甲卷·高考真题）若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由共轭复数的概念及复数的运算即可得解.
【详解】故选 ：C
13．（多选题）（2026·全国一卷·高考真题）设，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【详解】对于A选项，复数的共轭复数，因此，A选项正确.
对于B选项，复数的模，因此，B选项错误.
对于C选项，∵ ，∴ ，该选项正确.
对于D选项，∵ 分子，分母，
∴ ，是实数，故，该选项正确.
14．（2026·天津·高考真题）化简__________．
【答案】
【详解】.
15．（2024·上海·高考真题）已知，则_______.
【答案】/
【分析】借助复数的乘法运算与共轭复数定义计算即可得.
【详解】由题意可得，故.故答案为：.
16．（2024·天津·高考真题）是虚数单位，复数______．
【答案】
【分析】借助复数的乘法运算法则计算即可得.
【详解】.故答案为：.
17．（2023·天津·高考真题）已知是虚数单位，化简的结果为_________．
【答案】/
【分析】由题意利用复数的运算法则，分子分母同时乘以，然后计算其运算结果即可.
【详解】由题意可得.故答案为：.
18．（2022·天津·高考真题）已知是虚数单位，化简的结果为_______．
【答案】/
【分析】根据复数代数形式的运算法则即可解出．
【详解】．故答案为：．
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专题09 复数
考点分类 五年考情（2022-2026） 命题规律
考点01 数系的扩充与复数的引入 2026北京卷、2026上海卷 2025年全国一卷、2025北京卷、2025天津卷、2025上海卷 2024年新课标Ⅱ卷、2024上海卷、2023年新课标Ⅱ卷、2023年全国甲卷、2023年全国乙卷、2023北京卷、2023上海卷 2022年全国甲卷、2022年全国乙卷、2022北京卷、2022上海卷、2022浙江卷 考查复数的概念、复数相等、复数的模及几何意义
考点02 复数代数形式的四则运算 2026全国二卷、2026天津卷 2025年全国二卷 2024年新课标Ⅰ卷、2024年全国甲卷、2024北京卷、2024天津卷、2024上海卷 2023年新课标Ⅰ卷、2023年全国乙卷、2023天津卷 2022年新高考全国Ⅰ卷、2022年新高考全国Ⅱ卷、2022年全国甲卷、 2022天津卷 复数的四则运算作为复数部分的核心内容，是考查的重点之一。主要考查学生对复数加、减、乘、除、乘方运算法则的掌握程度
考点01 数系的扩充与复数的引入
1．（2026·上海·高考真题）对于任意两个复数 ， ，如果满足“ ”或“ ”，那么就称 和 伴随.则当 和 伴随，则 和 伴随的充要条件是（ ）.
A． B．
C． D．
2．（2026·北京·高考真题）已知，，则（ ）
A． B． C．2 D．8
3．（2025·北京·高考真题）已知复数z满足，则（ ）
A． B． C．4 D．8
4．（2025·全国一卷·高考真题）的虚部为（ ）
A． B．0 C．1 D．6
5．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知，则（ ）
A．0 B．1 C． D．2
6．（2023·北京·高考真题）在复平面内，复数对应的点的坐标是，则的共轭复数（ ）
A． B．
C． D．
7．（2023·全国乙卷·高考真题）（ ）
A．1 B．2 C． D．5
8．（2023·全国甲卷·高考真题）设，则（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．2
9．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）在复平面内，对应的点位于（ ）．
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
10．（2022·浙江·高考真题）已知（为虚数单位），则（ ）
A． B． C． D．
11．（2022·北京·高考真题）若复数z满足，则（ ）
A．1 B．5 C．7 D．25
12．（2022·全国甲卷·高考真题）若．则（ ）
A． B． C． D．
13．（2022·全国乙卷·高考真题）已知，且，其中a，b为实数，则（ ）
A． B． C． D．
14．（2022·全国乙卷·高考真题）设，其中为实数，则（ ）
A． B． C． D．
15．（2026·上海·高考真题）已知，对于所有满足的复数，都有的最小值与的最小值相同，则____________.
16．（2025·天津·高考真题）已知i是虚数单位，则 ________．
17．（2025·上海·高考真题）已知复数z满足，则的最小值是_________．
18．（2025·上海·高考真题）已知复数，其中i为虚数单位，则__________．
19．（2024·上海·高考真题）已知虚数，其实部为1，且，则实数为______．
20．（2023·上海·高考真题）已知当，则______；
21．（2023·上海·高考真题）设且，满足，则的取值范围为________________．
22．（2022·上海·高考真题）已知（其中i为虚数单位），则___________；
考点02 复数代数形式的四则运算
1．（2026·全国二卷·高考真题）（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·全国二卷·高考真题）已知，则（ ）
A． B． C． D．1
3．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）若，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·北京·高考真题）已知，则（ ）．
A． B． C． D．
5．（2024·全国甲卷·高考真题）设，则（ ）
A． B． C． D．2
6．（2024·全国甲卷·高考真题）若，则（ ）
A． B． C．10 D．
7．（2023·全国甲卷·高考真题）（ ）
A． B．1 C． D．
8．（2023·全国乙卷·高考真题）设，则（ ）
A． B． C． D．
9．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知，则（ ）
A． B． C．0 D．1
10．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）（ ）
A． B． C． D．
11．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）若，则（ ）
A． B． C．1 D．2
12．（2022·全国甲卷·高考真题）若，则（ ）
A． B． C． D．
13．（多选题）（2026·全国一卷·高考真题）设，则（ ）
A． B． C． D．
14．（2026·天津·高考真题）化简__________．
15．（2024·上海·高考真题）已知，则_______.
16．（2024·天津·高考真题）是虚数单位，复数______．
17．（2023·天津·高考真题）已知是虚数单位，化简的结果为_________．
18．（2022·天津·高考真题）已知是虚数单位，化简的结果为_______．
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