资源简介

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专题10 数列
考点分类 五年考情（2022-2026） 命题规律
考点01 等差数列 2026全国一卷、2026全国二卷、 2026北京卷、2026上海卷 2025年全国二卷、2025上海卷 2024年新课标Ⅱ卷、2024年全国甲卷、2024上海卷、 2023年新课标Ⅰ卷、2023年全国甲卷、2022年新高考全国Ⅱ卷、2022年全国乙卷、2022上海卷 考查等差数列中的基本量计算、等差数列通项公式及前n项和公式的性质，能够运用方程思想，通过已知条件建立关于首项、公差等基本量的方程或方程组并求解
考点02 等比数列 2026全国一卷、2026上海卷 2025年全国一卷、2025年全国二卷、2025北京卷、2025上海卷 2024北京卷、2024上海卷 2023年新课标Ⅱ卷、2023年全国甲卷、2023年全国乙卷、2023北京卷、2023天津卷、2023上海卷 2022年全国乙卷 考查等比数列中的基本量计算、等比数列通项公式及前n项和公式的性质，能够运用方程思想，通过已知条件建立关于首项、公比等基本量的方程或方程组并求解
考点03 数列求和 2026全国二卷、2026天津卷 2025年全国一卷、2025天津卷 2024年全国甲卷、2024天津卷 2023年新课标Ⅱ卷、2023年全国甲卷、2023上海卷 2022年新高考全国Ⅰ卷、2022天津卷 数列求和是解答题的重点，分组求和法、裂项相消法、错位相减法等求和方法频繁考查，要求学生能够根据数列的通项公式特征，选择合适的求和方法
考点04 数列的概念、通项公式及综合应用 2026北京卷2025上海卷 2024年新课标Ⅰ卷、2024北京卷、2024上海卷 2023北京卷、2023天津卷 2022年新高考全国Ⅱ卷、2022年全国乙卷、2022北京卷、2022上海卷、2022浙江卷 考查与的关系求通项公式、累加法、累乘法，能灵活应用构造法。数列与其他知识的综合考查愈发常见，这不仅要求学生掌握数列本身的知识，还需具备良好的知识迁移能力和综合运用能力，能够从整体上把握数学知识体系。
考点01 等差数列
1．（2026·全国一卷·高考真题）一百零八塔位于宁夏回族自治区青铜峡市，以其独特的建筑格局和深远的历史文化闻名遐迩．该塔群共有108座塔，依山势自上而下排成12行，将第行中塔的座数记为，其中，，，且，，…，是一个首项为7，公差为2的等差数列．将，，…，分为6组，每组2个数，使得每组的2个数之和可构成一个项数为6且公差为的等差数列，则（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【分析】由条件求出数列的前项的和，设新数列为，设其公差为，由条件可得，结合选项判断即可.
【详解】由已知，，，，，
设新数列为，，由已知数列为等差数列，设其公差为，，
又的前项都为奇数，所有项都为偶数，由已知为正偶数，为正偶数，
则，故，
若，则，矛盾，若，则，矛盾，若，则，矛盾，
若，则，此时可取，，，
，，，满足要求.
2．（2025·全国二卷·高考真题）记为等差数列的前n项和.若则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由等差数列前n项和公式结合题意列出关于首项和公差d的方程求出首项和公差d，再由等差数列前n项和公式即可计算求解.
【详解】设等差数列的公差为d，则由题可得 ，
所以.故选：B.
3．（2024·全国甲卷·高考真题）已知等差数列的前项和为，若，则（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】D
【分析】可以根据等差数列的基本量，即将题目条件全转化成和来处理，亦可用等差数列的性质进行处理，或者特殊值法处理.
【详解】方法一：利用等差数列的基本量，
由，根据等差数列的求和公式，，
又. 故选：D
方法二：利用等差数列的性质
根据等差数列的性质，，由，根据等差数列的求和公式，
，故. 故选：D
方法三：特殊值法
不妨取等差数列公差，则，则. 故选：D
4．（2024·全国甲卷·高考真题）记为等差数列的前项和，已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由结合等差中项的性质可得，即可计算出公差，即可得的值.
【详解】由，则，
则等差数列的公差，故. 故选：B.
5．（2023·全国甲卷·高考真题）记为等差数列的前项和．若，则（ ）
A．25 B．22 C．20 D．15
【答案】C
【分析】方法一：根据题意直接求出等差数列的公差和首项，再根据前项和公式即可解出；
方法二：根据等差数列的性质求出等差数列的公差，再根据前项和公式的性质即可解出．
【详解】方法一：设等差数列的公差为，首项为，依题意可得，，即,
又，解得：，所以．故选：C.
方法二：，，所以，，
从而，于是，所以．故选：C.
6．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）记为数列的前项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】C
【分析】利用充分条件、必要条件的定义及等差数列的定义，再结合数列前n项和与第n项的关系推理判断作答.，
【详解】方法1，甲：为等差数列，设其首项为，公差为，
则，
因此为等差数列，则甲是乙的充分条件；
反之，乙：为等差数列，即为常数，设为，
即，则，有，
两式相减得：，即，对也成立，
因此为等差数列，则甲是乙的必要条件，所以甲是乙的充要条件，C正确.
方法2，甲：为等差数列，设数列的首项，公差为，即，
则，因此为等差数列，即甲是乙的充分条件；
反之，乙：为等差数列，即，
即，，
当时，上两式相减得：，当时，上式成立，
于是，又为常数，
因此为等差数列，则甲是乙的必要条件，所以甲是乙的充要条件. 故选：C
7．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）图1是中国古代建筑中的举架结构，是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中是举，是相等的步，相邻桁的举步之比分别为．已知成公差为0.1的等差数列，且直线的斜率为0.725，则（ ）
A．0.75 B．0.8 C．0.85 D．0.9
【答案】D
【分析】设，则可得关于的方程，求出其解后可得正确的选项.
【详解】设，则，
依题意，有，且，所以，故，
故选：D
8．（2026·全国二卷·高考真题）记为等差数列的前项和，若，，则__________．
【答案】24
【分析】根据等差数列通项公式求出公差，再结合求和公式求解即可.
【详解】由等差数列通项公式，代入可得，解得.
因为，所以，故.
9．（2026·北京·高考真题）已知等差数列的前项和为，且，则公差________，若恒成立，则符合条件的的一个取值为________．
【答案】 （答案不唯一，满足即可）
【分析】利用等差数列前项和公式与通项公式，代入已知等式建立关于公差的方程求解；由恒成立可知为前项和的最大值，结合数列的单调性得到且，代入公差解不等式即可得到的取值范围，选取范围内任意值即可.
【详解】等差数列的前项和公式为，通项公式为.
∵ ，，∴ .
由，得，消去等式两侧的，整理得，解得.
∵ ，等差数列为递减数列，且恒成立，
∴ 为前项和的最大值，即数列前项非负，第项及以后非正，即 ，
代入通项公式得，解得，取即为符合条件的一个取值.
10．（2026·上海·高考真题）已知等差数列中，，公差为，其前项和在区间内至少有两项，则公差的取值范围是__________．
【答案】
【分析】根据等差数列求和公式列式计算求解.
【详解】根据已知前项和在区间内至少有两项，则得出，
且，是单调递增的，所以必须满足，所以，所以.
11．（2025·上海·高考真题）已知等差数列的首项，公差，则该数列的前6项和为_________．
【答案】
【分析】直接根据等差数列求和公式求解.
【详解】根据等差数列的求和公式，. 故答案为：
12．（2025·上海·高考真题）已知是首项为1、公差为1的等差数列，是首项为1、公比为的等比数列．若数列的前三项和为2，则__________．
【答案】
【分析】写出通项公式，得到，从而根据前三项和得到方程，求出公比.
【详解】由题意得，，则，所以前三项和为，
解得或-1（舍去），故答案为：
13．（2024·上海·高考真题）数列，，c的取值范围为___________．
【答案】
【分析】先利用等差数列的定义判定为等差数列，再利用等差数列性质即可求解.
【详解】因为，则，可知数列为等差数列，
则，解得，所以c的取值范围为. 故答案为：.
14．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）记为等差数列的前n项和，若，，则________.
【答案】95
【分析】利用等差数列通项公式得到方程组，解出，再利用等差数列的求和公式即可得到答案.
【详解】因为数列为等差数列，则由题意得，解得，
则. 故答案为：.
15．（2022·全国乙卷·高考真题）记为等差数列的前n项和．若，则公差_______．
【答案】2
【分析】转化条件为，即可得解.
【详解】由可得，化简得，
即，解得. 故答案为：2.
16．（2022·上海·高考真题）已知等差数列的公差不为零，为其前n项和，若，则中不同的数值有___________个.
【答案】98
【分析】由等差数前项和公式求出，从而，由此能求出结果．
【详解】解：等差数列的公差不为零，为其前项和，，，解得，
，，1，，中，，，
其余各项均不相等，1，，中不同的数值有：． 故答案为：98．
17．（2024·上海·高考真题）已知函数．
(1)若函数的图象经过点，求解不等式；
(2)若存在，使得、、依次成等差数列，求的取值范围．
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）代入点坐标计算求出，根据定义域和单调性即可求出的解集；
（2）根据的定义域将问题转化为时，得出有解，再结合分离常数法和换元，最后借助一元二次函数的性质进行求解即可.
【详解】（1），则，，，，，定义域为，
要解不等式，则，．
又在定义域内是严格增函数，由，则，解得．
综上所述，不等式的解集为．
（2）的定义域为，存在，使得、、依次成等差数列，
则在方程中，应满足，
由，解得，问题转化为时，方程有实数解．
又，则，即．
为严格单调函数，，，两边同除以得，．
令，由，则，在有解．
又在上是严格增函数，，即，
又，则.
考点02 等比数列
1．（2026·上海·高考真题）下列数列中是等差数列也是等比数列的是（ ）
A．1，，1，，1 B．1，2，3，4，5
C．5，5，5，5，5 D．1，2，3，5，7
【答案】C
【分析】设该数列为，由题可得，其中为常数，据此推得，即得该数列为非零常数列，即可判断.
【详解】设该数列为，则该数列满足，其中.
则，因为常数，该式对任意正整数成立，则，
从而该数列为非零常数列，由选项知只有C满足题意. 故选：C
2．（2025·北京·高考真题）已知是公差不为零的等差数列，，若成等比数列，则（ ）
A． B． C．16 D．18
【答案】C
【分析】由等比中项的性质结合等差数列的基本量运算即可求解.
【详解】设等差数列的公差为，因为成等比数列，且，
所以，即，解得或（舍去），所以.
故选：C.
3．（2023·全国甲卷·高考真题）设等比数列的各项均为正数，前n项和，若，，则（ ）
A． B． C．15 D．40
【答案】C
【分析】根据题意列出关于的方程,计算出,即可求出.
【详解】由题知,即,即,
即.由题知,所以.所以.故选:C.
4．（2023·天津·高考真题）已知数列的前n项和为，若，则（ ）
A．16 B．32 C．54 D．162
【答案】C
【分析】由题意确定该数列为等比数列，即可求得的值.
【详解】当时，，所以，即，
当时，，所以数列是首项为2，公比为3的等比数列，
则.故选：C.
5．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）记为等比数列的前n项和，若，，则（ ）．
A．120 B．85 C． D．
【答案】C
【分析】方法一：根据等比数列的前n项和公式求出公比，再根据的关系即可解出；
方法二：根据等比数列的前n项和的性质求解．
【详解】方法一：设等比数列的公比为，首项为，
若，则，与题意不符，所以；若，则，与题意不符，所以；
由，可得，，①，
由①可得，，解得：，所以．
故选：C．
方法二：设等比数列的公比为，
因为，，所以，否则，从而，成等比数列，
所以有，，解得：或，
当时，，即为，易知，，即；
当时，，与矛盾，舍去．
故选：C．
【点睛】本题主要考查等比数列的前n项和公式的应用，以及整体思想的应用，解题关键是把握的关系，从而减少相关量的求解，简化运算．
6．（2022·全国乙卷·高考真题）已知等比数列的前3项和为168，，则（ ）
A．14 B．12 C．6 D．3
【答案】D
【分析】设等比数列的公比为，易得，根据题意求出首项与公比，再根据等比数列的通项即可得解.
【详解】解：设等比数列的公比为，
若，则，与题意矛盾，所以，则，解得，所以.
故选：D.
7．（多选题）（2025·全国二卷·高考真题）记为等比数列的前n项和，为的公比，若，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【分析】对A，根据等比数列通项公式和前项和公式得到方程组，解出，再利用其通项公式和前项和公式一一计算分析即可.
【详解】对A，由题意得，结合，解得或（舍去），故A正确；
对B，则，故B错误；
对C，，故C错误；
对D，，，则，故D正确；故选：AD.
8．（2026·全国一卷·高考真题）设实数满足：存在数列，使得对于任意，均有，且中有某连续9项，，，是公比为的等比数列．则的最大值为__________．
【答案】
【分析】由前项和公式推出每连续三项的和. 将连续9项按起始位置模3分类，每类中利用三项块和等于得到关于公比的比例关系，通过相邻块和之比解得的上界，即可取得最大值.
【详解】令，由题意得，因此每个三项块的和为.
设这9项为，记. 由于，且完整三项块和均为正，
下面按除以3的余数讨论.
若，这9项正好包含三个完整三项块，得，，，
于是且，矛盾，故这种起点不存在.
若，其中两个完整三项块为第块，第块，得，，
所以.
若，其中两个完整三项块为第块，第块，得，，
所以.
综上，所以，即的最大值为.
9．（2026·上海·高考真题）已知为等比数列，，，则__________．
【答案】
【详解】设数列的公比为，则，则.
10．（2025·全国一卷·高考真题）若一个等比数列的各项均为正数，且前4项的和等于4，前8项的和等于68，则这个数列的公比等于_________.
【答案】
【分析】法一：利用等比数列的求和公式作商即可得解；法二：利用等比数列的通项公式与前项和的定义，得到关于的方程，解之即可得解；法三：利用等比数列的前项和性质得到关于的方程，解之即可得解.
【详解】法一：设该等比数列为，是其前项和，则，
设的公比为，
当时，，即，则，显然不成立，舍去；
当时，则，两式相除得，即，
则，所以，所以该等比数列公比为2.故答案为：.
法二：设该等比数列为，是其前项和，则，
设的公比为，所以，
，
所以，则，所以，所以该等比数列公比为2. 故答案为：2.
法三：设该等比数列为，是其前项和，则，设的公比为，
因为，又，
所以，所以，所以该等比数列公比为. 故答案为：.
11．（2025·上海·高考真题）已知是首项为1、公差为1的等差数列，是首项为1、公比为的等比数列．若数列的前三项和为2，则__________．
【答案】
【分析】写出通项公式，得到，从而根据前三项和得到方程，求出公比.
【详解】由题意得，，则，所以前三项和为，
解得或-1（舍去）， 故答案为：
12．（2024·上海·高考真题）无穷等比数列满足首项，记，若对任意正整数集合是闭区间，则的取值范围是______．
【答案】
【分析】当时，不妨设，则，结合为闭区间可得对任意的恒成立，故可求的取值范围.
【详解】由题设有，因为，故，故，
当时，，故，此时为闭区间，
当时，不妨设，若，则，
若，则，若，则，
综上，，
又为闭区间等价于为闭区间，
而，故对任意恒成立，
故即，故，故对任意的恒成立，因，
故当时，，故即. 故答案为：.
【点睛】思路点睛：与等比数列性质有关的不等式恒成立，可利用基本量法把恒成立为转为关于与公比有关的不等式恒成立，必要时可利用参变分离来处理.
13．（2024·北京·高考真题）设与是两个不同的无穷数列，且都不是常数列.记集合，给出下列4个结论：
①若与均为等差数列，则M中最多有1个元素；
②若与均为等比数列，则M中最多有2个元素；
③若为等差数列，为等比数列，则M中最多有3个元素；
④若为递增数列，为递减数列，则M中最多有1个元素.
其中正确结论的序号是______.
【答案】①③④
【分析】利用两类数列的散点图的特征可判断①④的正误，利用反例可判断②的正误，结合通项公式的特征及反证法可判断③的正误.
【详解】对于①，因为均为等差数列，故它们的散点图分布在直线上，
而两条直线至多有一个公共点，故中至多一个元素，故①正确.
对于②，取则均为等比数列，
但当为偶数时，有，此时中有无穷多个元素，故②错误.
对于③，设，，
若中至少四个元素，则关于的方程至少有4个不同的正数解，
若，则由和的散点图可得关于的方程至多有两个不同的解，矛盾；
若，考虑关于的方程奇数解的个数和偶数解的个数，
当有偶数解，此方程即为，方程至多有两个偶数解，且有两个偶数解时，
否则，因单调性相反，方程至多一个偶数解，
当有奇数解，此方程即为，
方程至多有两个奇数解，且有两个奇数解时即
否则，因单调性相反，方程至多一个奇数解，
因为，不可能同时成立，
故不可能有4个不同的整数解，即M中最多有3个元素，
取 ，则,故③正确.
对于④，因为为递增数列，为递减数列，前者散点图呈上升趋势，
后者的散点图呈下降趋势，两者至多一个交点，故④正确.
故答案为：①③④.
【点睛】思路点睛：对于等差数列和等比数列的性质的讨论，可以利用两者散点图的特征来分析，注意讨论两者性质关系时，等比数列的公比可能为负，此时要注意合理转化.
14．（2024·北京·高考真题）汉代刘歆设计的“铜嘉量”是龠、合、升、斗、斛五量合一的标准量器，其中升量器、斗量器、斛量器的形状均可视为圆柱.若升、斗、斛量器的容积成公比为10的等比数列，底面直径依次为 ，且斛量器的高为，则斗量器的高为______，升量器的高为________．
【答案】 23 57.5/
【分析】根据体积为公比为10的等比数列可得关于高度的方程组，求出其解后可得前两个圆柱的高度.
【详解】设升量器的高为，斗量器的高为（单位都是），则，
故，.故答案为：.
15．（2023·北京·高考真题）我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”．已知9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且，则___________；数列所有项的和为____________．
【答案】 48 384
【分析】方法一：根据题意结合等差、等比数列的通项公式列式求解，进而可求得结果；方法二：根据等比中项求，在结合等差、等比数列的求和公式运算求解.
【详解】方法一：设前3项的公差为，后7项公比为，则，且，可得，
则，即，可得，
空1：可得，
空2：
方法二：空1：因为为等比数列，则，且，所以；
又因为，则；
空2：设后7项公比为，则，解得，
可得，所以.
故答案为：48；384.
16．（2023·上海·高考真题）已知等比数列的前项和为，且，，求______；
【答案】189
【分析】由等比数列前项和公式求解，
【详解】由题意得，故答案为：189.
17．（2023·全国甲卷·高考真题）记为等比数列的前项和．若，则的公比为________．
【答案】
【分析】先分析，再由等比数列的前项和公式和平方差公式化简即可求出公比.
【详解】若，则由得，则，不合题意.所以.
当时，因为，所以，
即，即，即，解得. 故答案为：
18．（2023·全国乙卷·高考真题）已知为等比数列，，，则______.
【答案】
【分析】根据等比数列公式对化简得，联立求出，最后得.
【详解】设的公比为，则，显然，
则，即，则，因为，则，
则，则，则， 故答案为：.
考点03 数列求和
1．（2023·上海·高考真题）已知数列的各项均为实数，为其前n项和，若对任意，都有，则下列说法可能成立的是（ ）
A．为等差数列，为等比数列
B．为等比数列，为等差数列
C．为等差数列，为等比数列
D．为等比数列，为等差数列
【答案】C
【分析】令(是等差数列的前n项和),由题意可得当时，单调递减，结合二次函数的性质和选项逐一判断即可.
【详解】解：令,由题意当时，单调递减，
对于首项为，公差为的等差数列，
则前n项和(不含常数项)，此时，
由二次函数的性质知：当足够大时，不可能为单调递减函数，
所以，A中奇数项及B中偶数项为等差数列均不合题意；
对于C，当前2022项为等差数列，从第2022项开始为等比数列且公比时，满足，故符合题意；
对于D，当前2022项为等比数列，从第2022项为等差数列时，同A、B分析：当足够大时，不满足，即不可能为单调递减函数，故不合题意
故选：C.
【点睛】方法点睛：等差数列的前n项和是关于n的二次二项式(不含常数项)，在研究有关等差数列前n项和的有关性质性，从二次函数的性质出发，能使问题得到简化.
2．（2025·天津·高考真题），则数列的前项和为（ ）
A．112 B．48 C．80 D．64
【答案】C
【分析】先由题设结合求出数列的通项公式，再结合数列各项正负情况即可求解.
【详解】因为，所以当时，，
当时，，经检验，满足上式，
所以，令，，
设数列的前n项和为，则数列的前项和为
数列的前项和为
.
故选：C
3．（多选题）（2026·全国二卷·高考真题）设等比数列的公比， ，，记其前项和为，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】设等比数列的公比为，根据条件列出关于的方程，求解可得的值，判断A；利用特值法可判断B；根据等比数列的前n项和公式，求得，，化简可判断C；求出，由的取值情况，结合不等式的性质，判断D.
【详解】由等比数列的公比为，则，即.
因为，所以，即.
因为，所以，所以，即，所以A正确.
因为，则，所以B错误.
，
，所以C正确.
，
当n为奇数时，；
当n为偶数时，因为；所以，
所以，即，所以D正确.
4．（2026·天津·高考真题）已知等差数列与等比数列满足：，，，．
(1)求数列，的通项公式；
(2)记，，或，记为中的元素个数．
（i）求；
（ii）求．
【答案】(1)；(2)（i）；（ii）.
【分析】（1）通过基本量计算即可求得通项公式；
（2）（i）分析和项的特征，结合集合的定义即可得解；（ii）利用分组求和法和错位相减法求和即可.
【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，
因为，所以，即，
解得或（公比不能为0，舍去），所以
（2）（i）由（1）知为偶数，为奇数，所以数列和没有相同项，
根据题意，集合中的元素由数列和中小于等于项组成，
小于的正偶数有个，由得，，
所以数列中小于等于的项有个，中小于等于的项有个，
所以.
（ii）当时，中小于等于的项有个，
又为偶数时，中小于等于的项有个，为奇数时，中小于等于的项有个，
所以，所以，
从到共有项，
又为奇数时，
所
，
所以
令①，
则②，
①-②得，
所以，所以
5．（2025·天津·高考真题）已知数列是等差数列，是等比数列，．
(1)求，的通项公式；
(2)，，有，
（i）求证：对任意实数，均有;
（ii）求所有元素之和．
【答案】(1)；
(2)（i）证明：由（1）或，，
当时，
设，
所以，
所以，
所以，为中的最大元素，
此时恒成立，所以对，均有.
（ii）
【分析】（1）设数列的公差为d，数列公比为，由题设列出关于d和的方程求解，再结合等差和等比数列通项公式即可得解；
（2）（i）由题意结合（1）求出和的最大值，再作差比较两者大小即可证明；
（ii）法一：根据中全为1、一个为0其余为1、2个为0其余为、…、全为0几个情况将中的所有元素分系列，并求出各系列中元素的和，最后将所有系列所得的和加起来即可得解；
法二：根据元素的特征得到中的所有元素的和中各项出现的次数均为次即可求解.
【详解】（1）设数列的公差为d，数列公比为，则由题得，
所以；
（2）（i）略；（ii）法一：由（i）得对任意实数，均有，
所以，，
所以取值随着的取值不同各不相同，
又为中的最大元素，
由题意可得中的所有元素由以下系列中所有元素组成：
当均为1时：此时该系列元素只有即个；
当中只有一个为0，其余均为1时：
此时该系列的元素有共有个，
则这个元素的和为；
当中只有2个为0，其余均为1时：
此时该系列的元素为共有个，
则这个元素的和为；
当中有个为0，其余均为1时：此时该系列的元素为共有个，
则这个元素的和为；
…
当中有个为0，1个为1时：此时该系列的元素为共有个，
则这个元素的和为；
当均为0时：此时该系列的元素为即个，
综上所述，中的所有元素之和为
；
法二：由（i）得，为中的最大元素，
由题意可得，
所以的所有的元素的和中各项出现的次数均为次，
所以中的所有元素之和为.
6．（2025·全国一卷·高考真题）已知数列中，，.
(1)证明：数列是等差数列；
(2)给定正整数m，设函数，求．
【答案】(1)证明：由题意证明如下，，在数列中，，，
∴，即，∴是以为首项，1为公差的等差数列.
(2)
【分析】（1）根据题目所给条件化简，即可证明结论；
（2）先求出的通项公式，代入函数并求导，函数两边同乘以，作差并利用等比数列前项和得出导函数表达式，即可得出结论.
【详解】（1）略
（2）由题意及（1）得，，在数列中，首项为3，公差为1，∴，即，
在中，∴，
当且时，∴，
∴
∴
.
7．（2024·全国甲卷·高考真题）已知等比数列的前项和为，且.
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前n项和.
【答案】(1)；；(2)
【分析】（1）利用退位法可求公比，再求出首项后可求通项；
（2）利用分组求和法即可求.
【详解】（1）因为,故，
所以即故等比数列的公比为，
故，故，故.
（2）由等比数列求和公式得，
所以数列的前n项和
.
8．（2024·全国甲卷·高考真题）记为数列的前项和，已知．
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）利用退位法可求的通项公式．
（2）利用错位相减法可求.
【详解】（1）当时，，解得．
当时，，所以即，
而，故，故，∴数列是以4为首项，为公比的等比数列，所以.
（2）,
所以
故
所以，
.
9．（2024·天津·高考真题）已知为公比大于0的等比数列，其前项和为，且．
(1)求的通项公式及；
(2)设数列满足，其中．
（ⅰ）当时，求证：；
（ⅱ）求．
【答案】(1)；(2)①证明见详解；②
【分析】（1）设等比数列的公比为，根据题意结合等比数列通项公式求，再结合等比数列求和公式分析求解；
（2）①根据题意分析可知，，利用作差法分析证明；②根据题意结合等差数列求和公式可得，再结合裂项相消法分析求解.
【详解】（1）设等比数列的公比为，因为，即，
可得，整理得，解得或（舍去），所以.
（2）（i）由（1）可知，且，
当时，则，即可知，
，
可得，当且仅当时，等号成立，
所以；
（ii）由（1）可知：，
若，则；
若，则，当时，，可知为等差数列，
可得，
所以，
且，符合上式，综上所述：.
【点睛】关键点点睛：1.分析可知当时，，可知为等差数列；
2.根据等差数列求和分析可得.
10．（2023·全国甲卷·高考真题）设为数列的前n项和，已知．
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）根据即可求出；（2）根据错位相减法即可解出．
【详解】（1）因为，当时，，即；当时，，即，
当时，，所以，
化简得：，当时，，即，
当时都满足上式，所以．
（2）因为，所以，
，
两式相减得，
，
即，．
11．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知为等差数列，，记，分别为数列，的前n项和，，．
(1)求的通项公式；
(2)证明：当时，．
【答案】(1)；；(2)见解析
【分析】（1）设等差数列的公差为，用表示及，即可求解作答.
（2）方法1，利用（1）的结论求出，，再分奇偶结合分组求和法求出，并与作差比较作答；方法2，利用（1）的结论求出，，再分奇偶借助等差数列前n项和公式求出，并与作差比较作答.
【详解】（1）设等差数列的公差为，而，
则，
于是，解得，，
所以数列的通项公式是.
（2）证明：方法1：由（1）知，，，
当为偶数时，，
，
当时，，因此，
当为奇数时，，
当时，，因此，
所以当时，.
方法2：由（1）知，，，
当为偶数时，，
当时，，因此，
当为奇数时，
，显然满足上式，因此当为奇数时，，
当时，，因此，
所以当时，.
12．（2022·天津·高考真题）设是等差数列，是等比数列，且．
(1)求与的通项公式；
(2)设的前n项和为，求证：；
(3)求．
【答案】(1)；(2)证明见解析；(3)
【分析】（1）利用等差等比数列的通项公式进行基本量运算即可得解；
（2）由等比数列的性质及通项与前n项和的关系结合分析法即可得证；
（3）先求得，进而由并项求和可得，再结合错位相减法可得解.
【详解】（1）设公差为d，公比为，则，
由可得（舍去），所以；
（2）证明：因为所以要证，
即证，即证，即证，
而显然成立，所以；
（3）因为，
所以，
设
所以，
则，
作差得，
所以，所以.
13．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．
(1)求的通项公式；
(2)证明：．
【答案】(1)；(2)见解析
【分析】（1）利用等差数列的通项公式求得，得到，利用和与项的关系得到当时，,进而得：，利用累乘法求得，检验对于也成立，得到的通项公式；
（2）由（1）的结论，利用裂项求和法得到，进而证得.
【详解】（1）∵ ，∴,∴,又∵是公差为的等差数列，
∴,∴,∴当时，∴,
整理得：,即,
∴，
显然对于也成立，∴的通项公式；
（2）证明： ∴
14．（2022·全国甲卷·高考真题）记为数列的前n项和．已知．
(1)证明：是等差数列；
(2)若成等比数列，求的最小值．
【答案】(1)证明见解析；；(2)．
【分析】（1）依题意可得，根据，作差即可得到，从而得证；
（2）法一：由（1）及等比中项的性质求出，即可得到的通项公式与前项和，再根据二次函数的性质计算可得．
【详解】（1）因为，即①，
当时，②，
①②得，，即，
即，所以，且，所以是以为公差的等差数列．
（2）[方法一]：二次函数的性质
由（1）可得，，，又，，成等比数列，所以，
即，解得，所以，
所以，所以，当或时，．
[方法二]：【最优解】邻项变号法
由（1）可得，，，又，，成等比数列，所以，
即，解得，所以，即有.
则当或时，．
【整体点评】（2）法一：根据二次函数的性质求出的最小值，适用于可以求出的表达式；
法二：根据邻项变号法求最值，计算量小，是该题的最优解．
考点04 数列的概念、通项公式及综合应用
1．（2026·北京·高考真题），是无穷数列，则“存在常数，使”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】通过验证充分性与必要性，即可得出结论.
【详解】由题意，，是无穷数列，
验证充分性：
当存在常数，使时，，，
显然成立，
验证必要性：
当，时，此时满足,假设存在常数，使成立，
当时，，，
此时，需同时“不小于无限增大的”和“不大于无限增大的”，
但不存在这样的固定常数，
∴当时，无法必然推出“存在常数”，即必要性不成立，
∴“存在常数，使”是“”的充分不必要条件.
2．（2025·上海·高考真题）已知数列、、的通项公式分别为，、，.若对任意的，、、的值均能构成三角形，则满足条件的正整数有（ ）
A． 4个 B．3个 C．1个 D．无数个
【答案】B
【分析】由可知范围，再由三角形三边关系可得的不等关系，结合函数零点解不等式可得.
【详解】由题意，不妨设，
三点均在第一象限内，由可知，，
故点恒在线段上，则有.
即对任意的，恒成立，
令，构造函数，
则，由单调递增，
又，存在，使，
即当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
故至多个零点，
又由，
可知存在个零点，不妨设，且.
①若，即时，此时或.
则，可知成立，
要使、、的值均能构成三角形，
所以恒成立，故，
所以有，解得；
②若，即时，此时.
则，可知成立，
要使、、的值均能构成三角形，
所以恒成立，故，
所以有，解得或；
综上可知，正整数的个数有个.
故选：B.
3．（2023·北京·高考真题）已知数列满足，则（ ）
A．当时，为递减数列，且存在常数，使得恒成立
B．当时，为递增数列，且存在常数，使得恒成立
C．当时，为递减数列，且存在常数，使得恒成立
D．当时，为递增数列，且存在常数，使得恒成立
【答案】B
【分析】法1：利用数列归纳法可判断ACD正误，利用递推可判断数列的性质，故可判断B的正误.
法2：构造，利用导数求得的正负情况，再利用数学归纳法判断得各选项所在区间，从而判断的单调性；对于A，构造，判断得，进而取推得不恒成立；对于B，证明所在区间同时证得后续结论；对于C，记，取推得不恒成立；对于D，构造，判断得，进而取推得不恒成立.
【详解】法1：因为，故，
对于A ，若，可用数学归纳法证明：即，
证明：当时，，此时不等关系成立；
设当时，成立，
则，故成立，
由数学归纳法可得成立.
而，
，，故，故，
故为减数列，注意
故，结合，
所以，故，故，
若存在常数，使得恒成立，则，
故，故，故恒成立仅对部分成立，
故A不成立.
对于B，若可用数学归纳法证明：即，
证明：当时，，此时不等关系成立；
设当时，成立，
则，故成立即
由数学归纳法可得成立.
而，
，，故，故，故为增数列，
若，则恒成立，故B正确.
对于C，当时， 可用数学归纳法证明：即，
证明：当时，，此时不等关系成立；
设当时，成立，
则，故成立即
由数学归纳法可得成立.
而，故，故为减数列，
又，结合可得：，所以，
若，若存在常数，使得恒成立，
则恒成立，故，的个数有限，矛盾，故C错误.
对于D，当时， 可用数学归纳法证明：即，
证明：当时，，此时不等关系成立；
设当时，成立，
则，故成立
由数学归纳法可得成立.
而，故，故为增数列，
又，结合可得：，所以，
若存在常数，使得恒成立，则，
故，故，这与n的个数有限矛盾，故D错误.
故选：B.
法2：因为，
令，则，
令，得或；
令，得；
所以在和上单调递增，在上单调递减，
令，则，即，解得或或，
注意到，，
所以结合的单调性可知在和上，在和上，
对于A，因为，则，
当时，，，则，
假设当时，，
当时，，则，
综上：，即，
因为在上，所以，则为递减数列，
因为，
令，则，
因为开口向上，对称轴为，
所以在上单调递减，故，
所以在上单调递增，故，
故，即，
假设存在常数，使得恒成立，
取，其中，且，
因为，所以，
上式相加得，，
则，与恒成立矛盾，故A错误；
对于B，因为，
当时，，，
假设当时，，
当时，因为，所以，则，
所以，
又当时，，即，
假设当时，，
当时，因为，所以，则，
所以，
综上：，
因为在上，所以，所以为递增数列，
此时，取，满足题意，故B正确；
对于C，因为，则，
注意到当时，，，
猜想当时，，
当与时，与满足，
假设当时，，
当时，所以，
综上：，
易知，则，故，
所以，
因为在上，所以，则为递减数列，
假设存在常数，使得恒成立，
记，取，其中，
则，
故，所以，即，
所以，故不恒成立，故C错误；
对于D，因为，
当时，，则，
假设当时，，
当时，，则，
综上：，
因为在上，所以，所以为递增数列，
因为，
令，则，
因为开口向上，对称轴为，
所以在上单调递增，故，
所以，
故，即，
假设存在常数，使得恒成立，
取，其中，且，
因为，所以，
上式相加得，，
则，与恒成立矛盾，故D错误.
故选：B.
【点睛】关键点睛：本题解决的关键是根据首项给出与通项性质相关的相应的命题，再根据所得命题结合放缩法得到通项所满足的不等式关系，从而可判断数列的上界或下界是否成立.
4．（2022·浙江·高考真题）已知数列满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先通过递推关系式确定除去，其他项都在范围内，再利用递推公式变形得到，累加可求出，得出，再利用，累加可求出，再次放缩可得出．
【详解】∵，易得，依次类推可得
由题意，，即，
∴，
即，，，…，，
累加可得，即，
∴，即，,
又，
∴，，，…，，
累加可得，
∴，
即，∴，即；
综上：．
故选：B．
【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用递推关系进行合理变形放缩.
5．（2022·北京·高考真题）设是公差不为0的无穷等差数列，则“为递增数列”是“存在正整数，当时，”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】设等差数列的公差为，则，利用等差数列的通项公式结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.
【详解】设等差数列的公差为，则，记为不超过的最大整数.
若为单调递增数列，则，
若，则当时，；若，则，
由可得，取，则当时，，
所以，“是递增数列”“存在正整数，当时，”；
若存在正整数，当时，，取且，，
假设，令可得，且，
当时，，与题设矛盾，假设不成立，则，即数列是递增数列.
所以，“是递增数列”“存在正整数，当时，”.
所以，“是递增数列”是“存在正整数，当时，”的充分必要条件.
故选：C.
6．（2022·全国乙卷·高考真题）嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列：，，，…，依此类推，其中．则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据，再利用数列与的关系判断中各项的大小，即可求解.
【详解】[方法一]:常规解法
因为，
所以，，得到，
同理，可得，
又因为，
故，；
以此类推，可得，，故A错误；
，故B错误；
，得，故C错误；
，得，故D正确.
[方法二]：特值法
不妨设则
故D正确.
7．（2024·上海·高考真题），任意，满足，求有序数列有_____对.
【答案】48
【分析】先确定，再结合，设，可得到，进而求出这四个数，从而求得答案.
【详解】由题意知，
满足，
不妨设，
则必有，
若，解得；
若，解得，
由此可知此时有2种情况，
结合任意，共有对，
故答案为：48
【点睛】关键点睛：解答本题的关键是结合推出时，这四个数的值，进而结合题意求得答案.
8．（2026·北京·高考真题）设是一个行列的数阵，且数阵中的每一项，都等于或．若对任意，，其中，，且都有则称数阵具有性质．
(1)判断下列两个数表是否具有性质．
1 1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
(2)若，则具有性质的数阵A中的个数最多是多少？
(3)若，，且数阵具有性质，证明：对任意，，都有．
【答案】(1)数表不具有性质，数表具有性质；
(2)
(3)性质中的四个数都属于，且四个数的和为，所以其中恰有两个和两个．
因此，对任意满足性质下标条件的四个位置，都有①，
对，，令
先取行距为、列距为的矩形．
由①，对及，有
由于，所以②，
下面比较第行与第行的值．
对，取第、行和第、列．
此时行距为，列距为，由①得
由②知，故③，
令
则由③得，所以
再取第、行和第、列．
此时行距为，列距为，由①得即
由于且，所以．
从而④，
同理，取第、行和相距的两列，再取第、行和相距的两列，可得⑤，
结合②、④、⑤，可知对于每个，都有⑥，
当时，由，显然有
当时，由⑥，由中间因子均成对出现，且，有
再由⑥，
两边同乘，并利用，得
命题得证．
【分析】（1）性质的下标约束条件，选取符合要求的四元组代入验证，若存在不满足和为0的组合则不具有性质，反之则具有性质.
（2）由性质的和约束推导行列符号的等价乘积约束，确定每行1的最大可行数量，结合行之间的符号交替规律计算总1的个数的上界，构造符合条件的实例证明上界可达.
（3）利用性质的乘积等价性质，结合的初始条件，先验证差为2的下标组合，再通过递推推广到所有下标，完成证明.
【详解】（1）对于，只有两行，所以行距只能为．
要满足|行距列距|，列距只能为．
取第、行和第、列，四个顶点之和为
所以不具有性质．
对于，行距为时，列距只能为；行距为时，不存在符合条件的列距．
因此，只需检验相邻两行与第、列组成的两个矩形．
第、行对应的四个顶点之和为
第、行对应的四个顶点之和为
所以具有性质．
（2）设第行元素之和为
先考察第行与第行．
令
对，第、行的行距为，第、列的列距为，由性质得
因此从而
同理，考察第行与第行，可得
所以整个数阵所有元素之和为
设数阵中的个数为．
数阵中共有个数，因此的个数为，从而解得
下面说明可以达到．
取
该数阵中共有个．
对于的数阵，可能的行距、列距组合只有
当行距、列距为时，相邻两行第、列的四个数之和均为；
当行距、列距为时，第、行以及第、行对应各列的元素之和均为；
当行距、列距为时，第、行与相距的两列组成的四个数之和也为．
所以该数阵具有性质，且的个数为．
因此，的个数最多为
（3）略
9．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）设m为正整数，数列是公差不为0的等差数列，若从中删去两项和后剩余的项可被平均分为组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列是可分数列．
(1)写出所有的，，使数列是可分数列；
(2)当时，证明：数列是可分数列；
(3)从中任取两个数和，记数列是可分数列的概率为，证明：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）直接根据可分数列的定义即可；
（2）根据可分数列的定义即可验证结论；
（3）证明使得原数列是可分数列的至少有个，再使用概率的定义.
【详解】（1）首先，我们设数列的公差为，则.
由于一个数列同时加上一个数或者乘以一个非零数后是等差数列，当且仅当该数列是等差数列，
故我们可以对该数列进行适当的变形，
得到新数列，然后对进行相应的讨论即可.
换言之，我们可以不妨设，此后的讨论均建立在该假设下进行.
回到原题，第1小问相当于从中取出两个数和，使得剩下四个数是等差数列.
那么剩下四个数只可能是，或，或.
所以所有可能的就是.
（2）由于从数列中取出和后，剩余的个数可以分为以下两个部分，共组，使得每组成等差数列：
①，共组；
②，共组.
（如果，则忽略②）
故数列是可分数列.
（3）定义集合，.
下面证明，对，如果下面两个命题同时成立，
则数列一定是可分数列：
命题1：或；
命题2：.
我们分两种情况证明这个结论.
第一种情况：如果，且.
此时设，，.
则由可知，即，故.
此时，由于从数列中取出和后，
剩余的个数可以分为以下三个部分，共组，使得每组成等差数列：
①，共组；
②，共组；
③，共组.
（如果某一部分的组数为，则忽略之）
故此时数列是可分数列.
第二种情况：如果，且.
此时设，，.
则由可知，即，故.
由于，故，从而，这就意味着.
此时，由于从数列中取出和后，剩余的个数可以分为以下四个部分，共组，使得每组成等差数列：
①，共组；
②，，共组；
③全体，其中，共组；
④，共组.
（如果某一部分的组数为，则忽略之）
这里对②和③进行一下解释：将③中的每一组作为一个横排，排成一个包含个行，个列的数表以后，个列分别是下面这些数：
，，，.
可以看出每列都是连续的若干个整数，它们再取并以后，将取遍中除开五个集合，，，，中的十个元素以外的所有数.
而这十个数中，除开已经去掉的和以外，剩余的八个数恰好就是②中出现的八个数.
这就说明我们给出的分组方式满足要求，故此时数列是可分数列.
至此，我们证明了：对，如果前述命题1和命题2同时成立，则数列一定是可分数列.
然后我们来考虑这样的的个数.
首先，由于，和各有个元素，故满足命题1的总共有个；
而如果，假设，则可设，，代入得.
但这导致，矛盾，所以.
设，，，则，即.
所以可能的恰好就是，对应的分别是，总共个.
所以这个满足命题1的中，不满足命题2的恰好有个.
这就得到同时满足命题1和命题2的的个数为.
当我们从中一次任取两个数和时，总的选取方式的个数等于.
而根据之前的结论，使得数列是可分数列的至少有个.
所以数列是可分数列的概率一定满足
.
这就证明了结论.
【点睛】关键点点睛：本题的关键在于对新定义数列的理解，只有理解了定义，方可使用定义验证或探究结论.
10．（2024·北京·高考真题）已知集合．给定数列，和序列，其中，对数列进行如下变换：将的第项均加1，其余项不变，得到的数列记作；将的第项均加1，其余项不变，得到数列记作；……；以此类推，得到，简记为．
(1)给定数列和序列，写出；
(2)是否存在序列，使得为，若存在，写出一个符合条件的；若不存在，请说明理由；
(3)若数列的各项均为正整数，且为偶数，求证：“存在序列，使得的各项都相等”的充要条件为“”．
【答案】(1)
(2)不存在符合条件的，理由见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）直接按照的定义写出即可；
（2）解法一：利用反证法，假设存在符合条件的，由此列出方程组，进一步说明方程组无解即可；解法二：对于任意序列，所得数列之和比原数列之和多4，可知序列共有8项，可知：，检验即可；
（3）解法一：分充分性和必要性两方面论证；解法二：若，分类讨论相等得个数，结合题意证明即可；若存在序列，使得为常数列，结合定义分析证明即可.
【详解】（1）因为数列，
由序列可得；
由序列可得；
由序列可得；
所以.
（2）解法一：假设存在符合条件的，可知的第项之和为，第项之和为，
则，而该方程组无解，故假设不成立，
故不存在符合条件的；
解法二：由题意可知：对于任意序列，所得数列之和比原数列之和多4，
假设存在符合条件的，且，
因为，即序列共有8项，
由题意可知：，
检验可知：当时，上式不成立，
即假设不成立，所以不存在符合条件的.
（3）解法一：我们设序列为，特别规定.
必要性：
若存在序列，使得的各项都相等.
则，所以.
根据的定义，显然有，这里，.
所以不断使用该式就得到，必要性得证.
充分性：
若.
由已知，为偶数，而，所以也是偶数.
我们设是通过合法的序列的变换能得到的所有可能的数列中，使得最小的一个.
上面已经说明，这里，.
从而由可得.
同时，由于总是偶数，所以和的奇偶性保持不变，从而和都是偶数.
下面证明不存在使得.
假设存在，根据对称性，不妨设，，即.
情况1：若，则由和都是偶数，知.
对该数列连续作四次变换后，新的相比原来的减少，这与的最小性矛盾；
情况2：若，不妨设.
情况2-1：如果，则对该数列连续作两次变换后，新的相比原来的至少减少，这与的最小性矛盾；
情况2-2：如果，则对该数列连续作两次变换后，新的相比原来的至少减少，这与的最小性矛盾.
这就说明无论如何都会导致矛盾，所以对任意的都有.
假设存在使得，则是奇数，所以都是奇数，设为.
则此时对任意，由可知必有.
而和都是偶数，故集合中的四个元素之和为偶数，对该数列进行一次变换，则该数列成为常数列，新的等于零，比原来的更小，这与的最小性矛盾.
综上，只可能，而，故是常数列，充分性得证.
解法二：由题意可知：中序列的顺序不影响的结果，
且相对于序列也是无序的，
（ⅰ）若，
不妨设，则，
①当，则，
分别执行个序列、个序列，
可得，为常数列，符合题意；
②当中有且仅有三个数相等，不妨设，则，
即，
分别执行个序列、个序列
可得，
即，
因为为偶数，即为偶数，
可知的奇偶性相同，则，
分别执行个序列，，，，
可得，
为常数列，符合题意；
③若，则，即，
分别执行个、个，
可得，
因为，
可得，
即转为①，可知符合题意；
④当中有且仅有两个数相等，不妨设，则，
即，
分别执行个、个，
可得，
且，可得，
因为为偶数，可知的奇偶性相同，
则为偶数，
且，即转为②，可知符合题意；
⑤若，则，即，
分别执行个、个，
可得，
且，可得，
因为为偶数，
则为偶数，
且，即转为④，可知符合题意；
综上所述：若，则存在序列，使得为常数列；
（ⅱ）若存在序列，使得为常数列，
因为对任意，
均有成立，
若为常数列，则，
所以；
综上所述：“存在序列，使得为常数列”的充要条件为“”.
【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键在于对新定义的理解，以及对其本质的分析.
11．（2023·北京·高考真题）已知数列的项数均为m，且的前n项和分别为，并规定．对于，定义，其中，表示数集M中最大的数.
(1)若，求的值；
(2)若，且，求；
(3)证明：存在，满足 使得．
【答案】(1)，，，
(2)
(3)见解析
【分析】（1）先求，根据题意分析求解；
（2）根据题意题意分析可得，利用反证可得，在结合等差数列运算求解；
（3）讨论的大小，根据题意结合反证法分析证明.
【详解】（1）由题意可知：，
当时，则，故；
当时，则，故；
当时，则故；
当时，则，故；
综上所述：，，，.
（2）由题意可知：，且，
因为，且，则对任意恒成立，
所以，
又因为，则，即，
可得，
反证：假设满足的最小正整数为，
当时，则；当时，则，
则，
又因为，则，
假设不成立，故，
即数列是以首项为1，公差为1的等差数列，所以.
（3）因为均为正整数，则均为递增数列，
（ⅰ）若，则可取，满足 使得；
（ⅱ）若，则，
构建，由题意可得：，且为整数，
反证，假设存在正整数，使得，
则，可得，
这与相矛盾，故对任意，均有.
①若存在正整数，使得，即，
可取，
满足，使得；
②若不存在正整数，使得，
因为，且，
所以必存在，使得，
即，可得，
可取，
满足，使得；
（ⅲ）若，
定义，则，
构建，由题意可得：，且为整数，
反证，假设存在正整数，使得，
则，可得，
这与相矛盾，故对任意，均有.
①若存在正整数，使得，即，
可取，
即满足，使得；
②若不存在正整数，使得，
因为，且，
所以必存在，使得，
即，可得，
可取，
满足，使得.
综上所述：存在使得．
12．（2023·天津·高考真题）已知是等差数列，．
(1)求的通项公式和．
(2)设是等比数列，且对任意的，当时，则，
（Ⅰ）当时，求证：；
（Ⅱ）求的通项公式及前项和．
【答案】(1)，；
(2)(Ⅰ)证明如下：
由题意可知，当时，，
取，则，即，
当时，，
取，此时，
据此可得，
综上可得：.
(Ⅱ)，前项和为.
【分析】(1)由题意得到关于首项、公差的方程，解方程可得，据此可求得数列的通项公式，然后确定所给的求和公式里面的首项和项数，结合等差数列前项和公式计算可得.
(2)(Ⅰ)利用题中的结论分别考查不等式两侧的情况，当时，，
取，当时，，取，即可证得题中的不等式；
(Ⅱ)结合(Ⅰ)中的结论，利用极限思想确定数列的公比，进而可得数列的通项公式，最后由等比数列前项和公式即可计算其前项和.
【详解】（1）由题意可得，解得，
则数列的通项公式为，
求和得
.
（2）(Ⅰ)略
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知：，
则数列的公比满足，
当时，，所以，
所以，即，
当时，，所以，
所以数列的通项公式为，
其前项和为：.
【点睛】本题的核心在考查数列中基本量的计算和数列中的递推关系式，求解数列通项公式和前项和的核心是确定数列的基本量，第二问涉及到递推关系式的灵活应用，先猜后证是数学中常用的方法之一，它对学生探索新知识很有裨益.
13．（2022·上海·高考真题）数列对任意，且，均存在正整数，满足.
(1)求可能值；
(2)命题p：若成等差数列，则，证明p为真，同时写出p逆命题q，并判断命题q是真是假，说明理由：
(3)若成立，求数列的通项公式.
【答案】(1)7或9；
(2)答案见解析；
(3).
【分析】（1）利用递推公式可得，进而可求出；
（2）由题意可得，则，从而命题为真命题，给出反例即可得出命题为假命题；
（3）由题意可得，，然后利用数学归纳法证明数列单调递增，最后分类讨论即可确定数列的通项公式.
【详解】（1）因为，所以或，所以可能值为7或9；
（2）因为成等差数列，所以，,
所以，
逆命题：若，则为等差数列是假命题，举例：故命题为假命题，
（3）因为，所以
，所以，
因此，
以下用数学归纳法证明数列单调递增，即证明恒成立：
当时，明显成立；
假设当时命题成立，即，
则，即，即命题得证；
回到原题，分类讨论求数列的通项公式：
1.若，则矛盾；
2.若，则，所以，所以，
此时，
所以，
3.若，则，所以，所以，
所以（由（2）知对任意成立），所以，与事实上矛盾，
综上.
【点睛】1．数学归纳法是一种重要的数学思想方法，主要用于解决与正整数有关的数学问题．证明时步骤(1)和(2)缺一不可，步骤(1)是步骤(2)的基础，步骤(2)是递推的依据．
2．在用数学归纳法证明时，第(1)步验算n＝n0的n0不一定为1，而是根据题目要求选择合适的起始值．第(2)步，证明n＝k＋1时命题也成立的过程，一定要用到归纳假设，否则就不是数学归纳法.
14．（2022·浙江·高考真题）已知等差数列的首项，公差．记的前n项和为．
(1)若，求；
(2)若对于每个，存在实数，使成等比数列，求d的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用等差数列通项公式及前项和公式化简条件，求出，再求；
(2)由等比数列定义列方程，结合一元二次方程有解的条件求的范围.
【详解】（1）因为，
所以，
所以，又，
所以，
所以，
所以，
（2）因为，，成等比数列，
所以，
，
，
由已知方程的判别式大于等于0，
所以，
所以对于任意的恒成立，
所以对于任意的恒成立，
当时，，
当时，由，可得
当时，，
又
所以
15．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知为等差数列，是公比为2的等比数列，且．
(1)证明：；
(2)求集合中元素个数．
【答案】(1)证明见解析；
(2)．
【分析】（1）设数列的公差为，根据题意列出方程组即可证出；
（2）根据题意化简可得，即可解出．
【详解】（1）设数列的公差为，所以，，即可解得，，所以原命题得证．
（2）由（1）知，，所以，即，亦即，解得，所以满足等式的解，故集合中的元素个数为．
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专题10 数列
考点分类 五年考情（2022-2026） 命题规律
考点01 等差数列 2026全国一卷、2026全国二卷、 2026北京卷、2026上海卷 2025年全国二卷、2025上海卷 2024年新课标Ⅱ卷、2024年全国甲卷、2024上海卷、 2023年新课标Ⅰ卷、2023年全国甲卷、2022年新高考全国Ⅱ卷、2022年全国乙卷、2022上海卷 考查等差数列中的基本量计算、等差数列通项公式及前n项和公式的性质，能够运用方程思想，通过已知条件建立关于首项、公差等基本量的方程或方程组并求解
考点02 等比数列 2026全国一卷、2026上海卷 2025年全国一卷、2025年全国二卷、2025北京卷、2025上海卷 2024北京卷、2024上海卷 2023年新课标Ⅱ卷、2023年全国甲卷、2023年全国乙卷、2023北京卷、2023天津卷、2023上海卷 2022年全国乙卷 考查等比数列中的基本量计算、等比数列通项公式及前n项和公式的性质，能够运用方程思想，通过已知条件建立关于首项、公比等基本量的方程或方程组并求解
考点03 数列求和 2026全国二卷、2026天津卷 2025年全国一卷、2025天津卷 2024年全国甲卷、2024天津卷 2023年新课标Ⅱ卷、2023年全国甲卷、2023上海卷 2022年新高考全国Ⅰ卷、2022天津卷 数列求和是解答题的重点，分组求和法、裂项相消法、错位相减法等求和方法频繁考查，要求学生能够根据数列的通项公式特征，选择合适的求和方法
考点04 数列的概念、通项公式及综合应用 2026北京卷2025上海卷 2024年新课标Ⅰ卷、2024北京卷、2024上海卷 2023北京卷、2023天津卷 2022年新高考全国Ⅱ卷、2022年全国乙卷、2022北京卷、2022上海卷、2022浙江卷 考查与的关系求通项公式、累加法、累乘法，能灵活应用构造法。数列与其他知识的综合考查愈发常见，这不仅要求学生掌握数列本身的知识，还需具备良好的知识迁移能力和综合运用能力，能够从整体上把握数学知识体系。
考点01 等差数列
1．（2026·全国一卷·高考真题）一百零八塔位于宁夏回族自治区青铜峡市，以其独特的建筑格局和深远的历史文化闻名遐迩．该塔群共有108座塔，依山势自上而下排成12行，将第行中塔的座数记为，其中，，，且，，…，是一个首项为7，公差为2的等差数列．将，，…，分为6组，每组2个数，使得每组的2个数之和可构成一个项数为6且公差为的等差数列，则（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
2．（2025·全国二卷·高考真题）记为等差数列的前n项和.若则（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·全国甲卷·高考真题）已知等差数列的前项和为，若，则（ ）
A． B． C．1 D．
4．（2024·全国甲卷·高考真题）记为等差数列的前项和，已知，，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·全国甲卷·高考真题）记为等差数列的前项和．若，则（ ）
A．25 B．22 C．20 D．15
6．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）记为数列的前项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
7．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）图1是中国古代建筑中的举架结构，是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中是举，是相等的步，相邻桁的举步之比分别为．已知成公差为0.1的等差数列，且直线的斜率为0.725，则（ ）
A．0.75 B．0.8 C．0.85 D．0.9
8．（2026·全国二卷·高考真题）记为等差数列的前项和，若，，则__________．
9．（2026·北京·高考真题）已知等差数列的前项和为，且，则公差________，若恒成立，则符合条件的的一个取值为________．
10．（2026·上海·高考真题）已知等差数列中，，公差为，其前项和在区间内至少有两项，则公差的取值范围是__________．
11．（2025·上海·高考真题）已知等差数列的首项，公差，则该数列的前6项和为_________．
12．（2025·上海·高考真题）已知是首项为1、公差为1的等差数列，是首项为1、公比为的等比数列．若数列的前三项和为2，则__________．
13．（2024·上海·高考真题）数列，，c的取值范围为___________．
14．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）记为等差数列的前n项和，若，，则________.
15．（2022·全国乙卷·高考真题）记为等差数列的前n项和．若，则公差_______．
16．（2022·上海·高考真题）已知等差数列的公差不为零，为其前n项和，若，则中不同的数值有___________个.
17．（2024·上海·高考真题）已知函数．
(1)若函数的图象经过点，求解不等式；
(2)若存在，使得、、依次成等差数列，求的取值范围．
考点02 等比数列
1．（2026·上海·高考真题）下列数列中是等差数列也是等比数列的是（ ）
A．1，，1，，1 B．1，2，3，4，5
C．5，5，5，5，5 D．1，2，3，5，7
2．（2025·北京·高考真题）已知是公差不为零的等差数列，，若成等比数列，则（ ）
A． B． C．16 D．18
3．（2023·全国甲卷·高考真题）设等比数列的各项均为正数，前n项和，若，，则（ ）
A． B． C．15 D．40
4．（2023·天津·高考真题）已知数列的前n项和为，若，则（ ）
A．16 B．32 C．54 D．162
5．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）记为等比数列的前n项和，若，，则（ ）．
A．120 B．85 C． D．
6．（2022·全国乙卷·高考真题）已知等比数列的前3项和为168，，则（ ）
A．14 B．12 C．6 D．3
7．（多选题）（2025·全国二卷·高考真题）记为等比数列的前n项和，为的公比，若，则（ ）
A． B．
C． D．
8．（2026·全国一卷·高考真题）设实数满足：存在数列，使得对于任意，均有，且中有某连续9项，，，是公比为的等比数列．则的最大值为__________．
9．（2026·上海·高考真题）已知为等比数列，，，则__________．
10．（2025·全国一卷·高考真题）若一个等比数列的各项均为正数，且前4项的和等于4，前8项的和等于68，则这个数列的公比等于_________.
11．（2025·上海·高考真题）已知是首项为1、公差为1的等差数列，是首项为1、公比为的等比数列．若数列的前三项和为2，则__________．
12．（2024·上海·高考真题）无穷等比数列满足首项，记，若对任意正整数集合是闭区间，则的取值范围是______．
13．（2024·北京·高考真题）设与是两个不同的无穷数列，且都不是常数列.记集合，给出下列4个结论：
①若与均为等差数列，则M中最多有1个元素；
②若与均为等比数列，则M中最多有2个元素；
③若为等差数列，为等比数列，则M中最多有3个元素；
④若为递增数列，为递减数列，则M中最多有1个元素.
其中正确结论的序号是______.
14．（2024·北京·高考真题）汉代刘歆设计的“铜嘉量”是龠、合、升、斗、斛五量合一的标准量器，其中升量器、斗量器、斛量器的形状均可视为圆柱.若升、斗、斛量器的容积成公比为10的等比数列，底面直径依次为 ，且斛量器的高为，则斗量器的高为______，升量器的高为________．
15．（2023·北京·高考真题）我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”．已知9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且，则___________；数列所有项的和为____________．
16．（2023·上海·高考真题）已知等比数列的前项和为，且，，求______；
17．（2023·全国甲卷·高考真题）记为等比数列的前项和．若，则的公比为________．
18．（2023·全国乙卷·高考真题）已知为等比数列，，，则______.
考点03 数列求和
1．（2023·上海·高考真题）已知数列的各项均为实数，为其前n项和，若对任意，都有，则下列说法可能成立的是（ ）
A．为等差数列，为等比数列
B．为等比数列，为等差数列
C．为等差数列，为等比数列
D．为等比数列，为等差数列
2．（2025·天津·高考真题），则数列的前项和为（ ）
A．112 B．48 C．80 D．64
3．（多选题）（2026·全国二卷·高考真题）设等比数列的公比， ，，记其前项和为，则（ ）
A． B．
C． D．
4．（2026·天津·高考真题）已知等差数列与等比数列满足：，，，．
(1)求数列，的通项公式；
(2)记，，或，记为中的元素个数．
（i）求；
（ii）求．
5．（2025·天津·高考真题）已知数列是等差数列，是等比数列，．
(1)求，的通项公式；
(2)，，有，
（i）求证：对任意实数，均有;
（ii）求所有元素之和．
6．（2025·全国一卷·高考真题）已知数列中，，.
(1)证明：数列是等差数列；
(2)给定正整数m，设函数，求．
7．（2024·全国甲卷·高考真题）已知等比数列的前项和为，且.
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前n项和.
8．（2024·全国甲卷·高考真题）记为数列的前项和，已知．
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
9．（2024·天津·高考真题）已知为公比大于0的等比数列，其前项和为，且．
(1)求的通项公式及；
(2)设数列满足，其中．
（ⅰ）当时，求证：；
（ⅱ）求．
10．（2023·全国甲卷·高考真题）设为数列的前n项和，已知．
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
11．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知为等差数列，，记，分别为数列，的前n项和，，．
(1)求的通项公式；
(2)证明：当时，．
12．（2022·天津·高考真题）设是等差数列，是等比数列，且．
(1)求与的通项公式；
(2)设的前n项和为，求证：；
(3)求．
13．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．
(1)求的通项公式；
(2)证明：．
14．（2022·全国甲卷·高考真题）记为数列的前n项和．已知．
(1)证明：是等差数列；
(2)若成等比数列，求的最小值．
考点04 数列的概念、通项公式及综合应用
1．（2026·北京·高考真题），是无穷数列，则“存在常数，使”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
2．（2025·上海·高考真题）已知数列、、的通项公式分别为，、，.若对任意的，、、的值均能构成三角形，则满足条件的正整数有（ ）
A． 4个 B．3个 C．1个 D．无数个
3．（2023·北京·高考真题）已知数列满足，则（ ）
A．当时，为递减数列，且存在常数，使得恒成立
B．当时，为递增数列，且存在常数，使得恒成立
C．当时，为递减数列，且存在常数，使得恒成立
D．当时，为递增数列，且存在常数，使得恒成立
4．（2022·浙江·高考真题）已知数列满足，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·北京·高考真题）设是公差不为0的无穷等差数列，则“为递增数列”是“存在正整数，当时，”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
6．（2022·全国乙卷·高考真题）嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列：，，，…，依此类推，其中．则（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·上海·高考真题），任意，满足，求有序数列有_____对.
8．（2026·北京·高考真题）设是一个行列的数阵，且数阵中的每一项，都等于或．若对任意，，其中，，且都有则称数阵具有性质．
(1)判断下列两个数表是否具有性质．
1 1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
(2)若，则具有性质的数阵A中的个数最多是多少？
(3)若，，且数阵具有性质，证明：对任意，，都有．
9．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）设m为正整数，数列是公差不为0的等差数列，若从中删去两项和后剩余的项可被平均分为组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列是可分数列．
(1)写出所有的，，使数列是可分数列；
(2)当时，证明：数列是可分数列；
(3)从中任取两个数和，记数列是可分数列的概率为，证明：．
10．（2024·北京·高考真题）已知集合．给定数列，和序列，其中，对数列进行如下变换：将的第项均加1，其余项不变，得到的数列记作；将的第项均加1，其余项不变，得到数列记作；……；以此类推，得到，简记为．
(1)给定数列和序列，写出；
(2)是否存在序列，使得为，若存在，写出一个符合条件的；若不存在，请说明理由；
(3)若数列的各项均为正整数，且为偶数，求证：“存在序列，使得的各项都相等”的充要条件为“”．
11．（2023·北京·高考真题）已知数列的项数均为m，且的前n项和分别为，并规定．对于，定义，其中，表示数集M中最大的数.
(1)若，求的值；
(2)若，且，求；
(3)证明：存在，满足 使得．
12．（2023·天津·高考真题）已知是等差数列，．
(1)求的通项公式和．
(2)设是等比数列，且对任意的，当时，则，
（Ⅰ）当时，求证：；
（Ⅱ）求的通项公式及前项和．
13．（2022·上海·高考真题）数列对任意，且，均存在正整数，满足.
(1)求可能值；
(2)命题p：若成等差数列，则，证明p为真，同时写出p逆命题q，并判断命题q是真是假，说明理由：
(3)若成立，求数列的通项公式.
14．（2022·浙江·高考真题）已知等差数列的首项，公差．记的前n项和为．
(1)若，求；
(2)若对于每个，存在实数，使成等比数列，求d的取值范围．
15．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知为等差数列，是公比为2的等比数列，且．
(1)证明：；
(2)求集合中元素个数．
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