资源简介

/ 让教学更有效 精品试卷 | 数学学科
第3章《圆的基本性质》单元检测2026-2027学年上学期浙教版九年级数学上册（解析版）
全卷共三大题，24小题，满分为120分．
第一部分 选择题
一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题只有一项是符合题目要求的．
1．已知的半径为5，，则点A在（ ）
A．内 B．上 C．外 D．无法确定
【答案】A
【分析】此题考查了点与圆的位置关系，点在圆上，则；点在圆外，；点在圆内，即点到圆心的距离，即圆的半径），据此求解即可．
【详解】解：，
点A在内．
故选：A．
2．如图，在⊙O中，∠ABC=50°，则∠AOC等于（ ）

A．50° B．80° C．90° D．100°
【答案】D
【详解】试题分析：因为同弧所对圆心角是圆周角的2倍，即∠AOC=2∠ABC=100°．
故选D．
如图，在中，半径交弦于点，点为中点，
若，，则的长为（ ）
A．8 B．5 C．4 D．3
【答案】D
【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理．根据垂径定理，可得，再根据勾股定理，即可求解．
【详解】解：∵点为中点，
∴，
∴，
在中，，
故选：D．
如图，一块含角的直角三角板内接于，其中，，
若是上的一点（不与点重合），则的度数是（ ）
A． B．或
C．或 D．随着点的变化一直在变
【答案】C
【分析】本题主要考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质，熟练掌握圆周角定理及分类讨论点的位置是解题的关键．
先利用“直角三角形的斜边为外接圆直径”确定是的直径，再结合已知条件求出的度数．接着分点在上方和下方两种情况，根据“同弧所对的圆周角相等”及“圆内接四边形对角互补”分别计算的度数．
【详解】解：∵在中，，，
∴，
当点在下方时，
∵弧所对的圆周角与相等，
∴
当点在上方时，
∵四边形为圆内接四边形
∴
∴
综上，的度数为或
故选：．
如图，在中，，，．将绕点A旋转，
使点C的对应点落在上，点B的对应点为，则的长度是（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】D
【分析】本题考查旋转性质、勾股定理、等腰三角形的性质、锐角三角函数，理解锐角三角函数定义是解答的关键．过A作于D，先利用勾股定理求得，则，在中，利用锐角三角函数求得，由旋转性质得，进而利用等腰三角形的三线合一性质可求解．
【详解】解：过A作于D，则，
∵在中，，，．
∴，
则，
在中，，
由旋转性质得，
∴．
故选：D．
6．已知是的外接圆，且，要求仅用直尺作出圆周角的平分线．
嘉嘉说：“对于图1的情况，连接，即为的平分线．”
淇淇说：“对于图2的情况，的延长线与交于点Q，连接，即为的平分线．”
对于嘉嘉和淇淇的说法，判断正确的是（ ）
A．只有嘉嘉说的对 B．只有淇淇说的对
C．嘉嘉和淇淇说的都对 D．嘉嘉和淇淇说的都不对
【答案】C
【分析】如图1，首先根据易得，再根据“同弧或等弧所对的圆周角相等”可得，即为的平分线，故嘉嘉说的对；在图2中，连接，首先证明，由全等三角形的性质可得，进而证明，由垂径定理可得，易知，即为的平分线，故淇淇说的也对．
【详解】解：如图1，
∵是ABC的外接圆，且，
∴，
∴，即为的平分线，故嘉嘉说的对；
在图2中，连接，如下图，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵为半径，
∴，
∴，即为的平分线，故淇淇说的也对．
综上所述，嘉嘉和淇淇说的都对．
如图，将边长均为的正方形和正六边形拼在一起，以公共顶点为圆心，边长为半径画圆，
则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】正方形边长，正六边形的边长，圆的半径三者相等，，，则，再根据扇形面积的计算即可求解．
【详解】解：如图所示，
∵，，
∴，
∴．
8. 如图，将半径为的沿折叠，使得折痕垂直半径，
当恰好经过的三等分点（靠近端点）时，折痕长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查圆的基础知识，垂径定理，勾股定理，折叠的性质．根据点经过的三等分可求出、的长，延长交于点，连接，根据折叠的性质可求出的长，根据垂径定理，勾股定理即可求解．
【详解】解：延长交于点，连接，
，
为的中点，
，，
，，，
，
，
在中，
，
，
，
故选：A．
9．如图，的半径为2，圆心M的坐标为，点P是上的任意一点，，
且与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则的最小值（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【分析】本题主要考查点与圆的位置关系．由中知要使取得最小值，则需取得最小值，连接，当点在线段上时，取得最小值，据此求解可得．
【详解】解：连接，
，
，
，
，
若要使取得最小值，则需取得最小值，
连接，当点在线段上时，取得最小值，
过点作轴于点，
圆心的坐标为，
则，，
，
又的半径为2，
的最小值为，
，
故选：C
10 .如图①，A，B是上的两定点，圆上一动点P从点A出发，按逆时针方向匀速运动到点B，运动时间是，线段AP的长度是，图②是y随x变化的关系图象．
①的半径为； ②A，B两点间的距离为；
③点P的运动速度为； ④的度数为．
以上说法正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【答案】A
【分析】本题考查的是动点图象问题，由题图②得，抛物线顶点坐标，即时，最长，即此时是直径，据此可判定①、②、③，最后根据可对④进行判断．
【详解】解：由题图②得，当时，，即此时A、O、P三点共线，则的半径，故①正确，不符合题意；
当时，点P到达点B处，此时，
∴A、B两点间的距离为，故②正确，不符合题意；
点P从点A运动到A、O、P三点共线的位置时，走过的角度为，则走过的弧长为，运动时间为，
∴点P的运动速度是，故③正确，不符合题意；
当点P运动到点B时，，即，
∴是等边三角形，
∴，故④错误，符合题意．
综上，正确的说法是①②③．
故选：A．
第二部分 非选择题
二、填空题：本大题共6个小题．每小题3分，共18分．把答案填在答题卡的横线上．
11．如图，绕点O逆时针旋转得到，若，则_____．
【答案】25
【分析】本题主要考查了旋转的性质，
根据旋转的性质得，再根据得出答案．
【详解】解：将绕点O逆时针旋转得到，且，
∴，
∴．
故答案为：25．
12．如图，内接于，是直径，若，则 _____ ．
【答案】
【分析】本题考查了圆周角定理，直角三角形的两个锐角互余，连接，根据直径所对的圆周角是直角得出，根据同弧所对的圆周角相等得出，进而根据直角三角形的两个锐角互余，即可求解．
【详解】解：如图所示，连接，
∵内接于，是直径，
∴，
∵,，
∴
∴，
故答案为：．
13.如图，的半径为8，直角三角板角的顶点落在，两边与分别交于，两点，
则弦的长为 ．
【答案】8
【分析】本题主要考查了圆周角定理，连接，，根据圆周角定理得出，继而得出是等边三角形，即可求解．
【详解】解：如图所示，连接，，
∵，，
∴，
又∵，
∴是等边三角形，
∴，
故答案为：8．
如图，正六边形的边长为6，点B，F在上，
若图中阴影部分恰好是一个圆锥的侧面展开图，则这个圆锥的底面圆的半径为________．
【答案】
【分析】本题考查了求圆锥底面半径，正多边形和圆的综合，求弧长等知识点，解题关键是熟练掌握以上知识点．
根据正六边形的外角和，即可求得内角的度数，进而根据边长等于圆的半径，根据弧长公式求得弧的长，再根据底面圆的周长求得底面圆的半径．
【详解】解：∵正六边形的边长为6，
∴，，
∴弧的长为：，
∵图中阴影部分恰是一个圆锥的侧面展开图，
∴弧的长即为圆锥底面的周长，
设圆锥底面圆的半径为，则，
解得：，
故答案为：2．
15 .一次综合实践主题为：只用一张矩形纸条和刻度尺，测量一次性纸杯杯口的直径．
小明同学所在的学习小组设计了如下方法：如图，将纸条拉直并紧贴杯口，
纸条的上下边沿分别与杯口相交于A、B、C、D四点，然后利用刻度尺量得该纸条的宽为，，．请你根据上述数据计算纸杯的直径是 ．
【答案】
【分析】本题考查了矩形的性质，垂径定理，勾股定理等知识．熟练掌握矩形的性质，垂径定理，勾股定理是解题的关键．如图，记圆心为，连接，作于，作于，则，，由矩形的性质可知，，则三点共线，设，则，由勾股定理得，，即；，即；由，可得，可求，则，进而可求纸杯的直径．
【详解】解：如图，记圆心为，连接，作于，作于，
∴，，
由矩形的性质可知，，
∴三点共线，
设，则，
由勾股定理得，，即；
，即；
∵，
∴，
解得，，
∴或（舍去），
∴纸杯的直径是，
故答案为：．
如图，是的直径，点，点是半圆上两点，连结相交于点，连结．
已知于点，；下列结论：
①； ②若点为的中点，则；
③若，则； ④；
其中正确的是 ．
【答案】①②③
【分析】由垂径定理，圆周角定理的推论得出，由是的直径，进而根据等角的余角相等进而判断①；点为的中点，得出，进而证明全等三角形的判定和性质，得出，进而根据三角形中位线定理得出，等量代换得出即可判断②，连接，根据垂径定理得出，根据得出，则，得出为等边三角形，由，即可得出继而判断③；勾股定理得出，当时，，即可判断④．
【详解】解：①∵，
∴，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
∴
故①正确，符合题意；
②∵点为的中点，
∴，
∵为直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故②正确，符合题意；
③连接，
∵
∴
∵，
∴
∴，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∵，
∴，
故③正确，符合题意；
④∵，
∴，
当时，，
故④错误，不符合题意；
故答案为：①②③．
三、解答题：本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．如图，为⊙的直径，是弦，且于点E，连接、、，
若，，求弦的长．
【答案】
【分析】本题考查垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握垂径定理．根据勾股定理及垂径定理求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∵AB⊥CD，
∴，
∴．
18.如图，AB是圆O的直径，弦CD⊥AB于点E，点P在圆O上且∠1＝∠C．
（1）求证：CB∥PD；
（2）若BC＝3，BE＝2，求CD的长．
【答案】（1）见解析；（2）2
【分析】（1）要证明CB∥PD，只要证明∠1＝∠P；根据圆周角定理可得∠P＝∠C，可得∠1＝∠P，即可解决问题；
（2）首先运用勾股定理求出CE的长度，然后运用垂径定理证明CE＝DE，即可解决问题．
【详解】（1）证明：如图，∵∠1＝∠C，∠P＝∠C，
∴∠1＝∠P，
∴CB∥PD．
（2）解：∵CE⊥BE，
∴CE2＝CB2﹣BE2，
∵CB＝3，BE＝2，
∴CE＝，
∵AB⊥CD，AB为直径，
∴DE＝CE，CD＝2CE＝2．
如图，A是上一点，是直径，点D在上且平分．

连接，求的度数；
(2) 若，求的长．
【答案】(1)
(2)6
【分析】本题考查了圆周角定理，勾股定理，掌握“直径所对的圆周角是直角”是解题的关键．
（1）根据是直径，求出，再根据点D在上且平分，求出的度数；
（2）由题意得，利用勾股定理求出的长，即可求得的长．
【详解】（1）解：∵是直径，
∴，
∵点在上且平分，
，
；
（2）解：点D在上且平分，
，
，
，
，
．
如图，为的直径，点C和点D为上位于直径同侧的两点，且，
连接．
求证：；
连接，若，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了圆周角定理，全等三角形的判定与性质，圆心角、弧、弦的关系，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．
（1）根据直径所对的圆周角是直角可得：，再根据已知易得：，然后证明，即可解答；
（2）利用（1）的结论可得：，再根据垂径定理可得：，从而可得，然后利用等弧所对的圆周角相等即可解答．
【详解】（1）证明：∵为的直径，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
（2）解：如图：
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
21．如图，是半圆的直径，、是半圆上的两点，且，与交于点．
(1)求证：为的中点．
(2)若＝，＝，求的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】此题考查了圆周角定理、垂径定理、勾股定理、三角形中位线定理以及等腰三角形的性质．熟练掌握圆周角定理、勾股定理、等腰三角形的性质以及三角形中位线的性质是解此题的关键．
（1）根据已知可得，根据垂径定理，即可求解；
（2）根据勾股定理求得，进而根据（1）的结论可得是的中位线，求得，进而求得，即可求解．
【详解】（1）证明：是半圆的直径，
＝，
，
，
，
是半圆的半径，
为的中点；
（2）解：由（1）可知，＝，
是半圆的直径，
＝＝＝＝，
由（）可知，为的中点，
是的中位线，
＝＝，
＝﹣＝﹣＝，
即的长为．
22. 如图1，是的直径，点D为下方上一点，点C为弧的中点，
连结，，．
(1)求证：平分．
(2)如图2，延长，相交于点E．
①求证：．
②若，，求的半径．
【答案】(1)证明见解析
(2)5
【分析】(1)由点C为的中点，得，所以，由垂径定理得，即可根据等腰三角形的三线合一证明结论；
(2)由直径所对的圆周角为直角得，则，再根据垂径定理得：，得结论；②连接，则，由，，由平行线的性质再证，得，由，得，，求出，设的半径为r，由勾股定理求出符合题意的r值即可．
【详解】（1）证明∵点C为弧的中点，
∴，
∴，，
∴平分；
（2）①证明：∵是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴
②如图2，连接，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
设的半径为r，
则，
∵，
∴，
∵，
∴，
整理得，
解得，（不符合题意，舍去），
∴的半径为5．
问题情境：
筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保．
明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（如图①）．
假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都按逆时针做匀速圆周运动，
每旋转一周用时120秒．
问题设置：
把筒车抽象为一个半径为r的，如图②，始终垂直于水平面，设筒车半径为2米，
当时，某盛水筒恰好位于水面A处，，经过95秒后该盛水筒运动到点B处．
问题解决：
求该盛水筒从A处逆时针旋转到B处时，的度数；
求筒车水面的宽度；
求该盛水筒旋转至B处时，它到水面的距离．（结果精确到米）
（参考数据，）
【答案】(1)
(2)2米
(3)米
【分析】本题主要考查了垂径定理的应用，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质：
（1）根据题意可得每秒转过，即可求解；
（2）根据垂径定理可得，从而得到是等边三角形，即可求解；
（3）过点B、点A分别作的垂线，垂足分别为点E、D，根据直角三角形的性质可得米，从而得到米，在中，可得，从而得到米，即可求解．
【详解】（1）解：∵筒车每旋转一周用时120秒．
∴每秒转过，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
，
∴是等边三角形，
米．
（3）解：如图，过点B、点A分别作的垂线，垂足分别为点E、D，
在中，米，
∴米，
∴米，
在中，米，
∴，
，
∴，
∴米，
∴米，
即该盛水筒旋转至B处时到水面的距离约为米．
24．如图1，是的外角的角平分线，与的外接圆交于点．
(1)若，
①求所对圆心角的度数；
②连结，，求证：是等边三角形．
(2)如图2，若，，求的面积．
【答案】(1)①，②见解析
(2)
【分析】（1）①利用邻补角的意义和角平分线的定义解答即可；
②利用圆周角定理，圆的内接四边形的性质和等边三角形的判定定理解答即可；
（2）连接并延长交于点，连接，，利用圆周角定理，同圆的半径相等的性质得到为等腰直角三角形，可求；利用等腰三角形的判定定理以及垂径定理得到，利用等腰直角三角形的性质求得，再利用三角形的面积公式解答即可．
【详解】（1）①解：，
．
所对圆心角的度数；
②证明：是的外角的角平分线，
．
，
，
为圆内接四边形的外角，
，
，
，
是等边三角形；
（2）解：连接并延长交于点，连接，，如图，
则，
，
为等腰直角三角形，
，
．
是的外角的角平分线，
，
为圆内接四边形的外角，
．
，
，
，
．
．
，
，
．
∴的面积为．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)/ 让教学更有效 精品试卷 | 数学学科
第3章《圆的基本性质》单元检测2026-2027学年上学期浙教版九年级数学上册
全卷共三大题，24小题，满分为120分．
第一部分 选择题
一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题只有一项是符合题目要求的．
1．已知的半径为5，，则点A在（ ）
A．内 B．上 C．外 D．无法确定
2．如图，在⊙O中，∠ABC=50°，则∠AOC等于（ ）

A．50° B．80° C．90° D．100°
如图，在中，半径交弦于点，点为中点，
若，，则的长为（ ）
A．8 B．5 C．4 D．3
如图，一块含角的直角三角板内接于，其中，，
若是上的一点（不与点重合），则的度数是（ ）
A． B．或
C．或 D．随着点的变化一直在变
如图，在中，，，．将绕点A旋转，
使点C的对应点落在上，点B的对应点为，则的长度是（ ）
A． B．1 C． D．
6．已知是的外接圆，且，要求仅用直尺作出圆周角的平分线．
嘉嘉说：“对于图1的情况，连接，即为的平分线．”
淇淇说：“对于图2的情况，的延长线与交于点Q，连接，即为的平分线．”
对于嘉嘉和淇淇的说法，判断正确的是（ ）
A．只有嘉嘉说的对 B．只有淇淇说的对
C．嘉嘉和淇淇说的都对 D．嘉嘉和淇淇说的都不对
如图，将边长均为的正方形和正六边形拼在一起，以公共顶点为圆心，边长为半径画圆，
则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
8. 如图，将半径为的沿折叠，使得折痕垂直半径，
当恰好经过的三等分点（靠近端点）时，折痕长为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，的半径为2，圆心M的坐标为，点P是上的任意一点，，
且与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则的最小值（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
10 .如图①，A，B是上的两定点，圆上一动点P从点A出发，按逆时针方向匀速运动到点B，运动时间是，线段AP的长度是，图②是y随x变化的关系图象．
①的半径为； ②A，B两点间的距离为；
③点P的运动速度为； ④的度数为．
以上说法正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
第二部分 非选择题
二、填空题：本大题共6个小题．每小题3分，共18分．把答案填在答题卡的横线上．
11．如图，绕点O逆时针旋转得到，若，则_____．
12．如图，内接于，是直径，若，则 _____ ．
13.如图，的半径为8，直角三角板角的顶点落在，两边与分别交于，两点，
则弦的长为 ．
如图，正六边形的边长为6，点B，F在上，
若图中阴影部分恰好是一个圆锥的侧面展开图，则这个圆锥的底面圆的半径为________．
15 .一次综合实践主题为：只用一张矩形纸条和刻度尺，测量一次性纸杯杯口的直径．
小明同学所在的学习小组设计了如下方法：如图，将纸条拉直并紧贴杯口，
纸条的上下边沿分别与杯口相交于A、B、C、D四点，然后利用刻度尺量得该纸条的宽为，，．请你根据上述数据计算纸杯的直径是 ．
如图，是的直径，点，点是半圆上两点，连结相交于点，连结．
已知于点，；下列结论：
①； ②若点为的中点，则；
③若，则； ④；
其中正确的是 ．
三、解答题：本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．如图，为⊙的直径，是弦，且于点E，连接、、，
若，，求弦的长．
18.如图，AB是圆O的直径，弦CD⊥AB于点E，点P在圆O上且∠1＝∠C．
（1）求证：CB∥PD；
（2）若BC＝3，BE＝2，求CD的长．
如图，A是上一点，是直径，点D在上且平分．

连接，求的度数；
(2) 若，求的长．
如图，为的直径，点C和点D为上位于直径同侧的两点，且，
连接．
求证：；
连接，若，求的度数．
21．如图，是半圆的直径，、是半圆上的两点，且，与交于点．
(1)求证：为的中点．
(2)若＝，＝，求的长．
22. 如图1，是的直径，点D为下方上一点，点C为弧的中点，
连结，，．
(1)求证：平分．
(2)如图2，延长，相交于点E．
①求证：．
②若，，求的半径．
问题情境：
筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保．
明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（如图①）．
假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都按逆时针做匀速圆周运动，
每旋转一周用时120秒．
问题设置：
把筒车抽象为一个半径为r的，如图②，始终垂直于水平面，设筒车半径为2米，
当时，某盛水筒恰好位于水面A处，，经过95秒后该盛水筒运动到点B处．
问题解决：
求该盛水筒从A处逆时针旋转到B处时，的度数；
求筒车水面的宽度；
求该盛水筒旋转至B处时，它到水面的距离．（结果精确到米）
（参考数据，）
24．如图1，是的外角的角平分线，与的外接圆交于点．
(1)若，
①求所对圆心角的度数；
②连结，，求证：是等边三角形．
(2)如图2，若，，求的面积．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑