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第1章《二次函数》检测试卷2026-2027学年上学期浙教版九年级数学上册（解析版）
全卷共三大题，24小题，满分为120分．
一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题只有一项是符合题目要求的．
1. 已知y=（m+2）+2是关于x的二次函数，那么m的值为（　　 　）
A．-2 B．2 C．±2 D．0
【答案】B
【分析】根据形如y=a+bx+c（a≠0）是二次函数，可得答案．
【详解】解：∵y=（m+2）+2是y关于x的二次函数，
∴|m|=2且m+2≠0，
解得m=2，
故选：B．
2．抛物线 y=﹣（x﹣1）2﹣2 的顶点坐标是（　　 　）
A．（1，2） B．（﹣1，﹣2） C．（﹣1，2） D．（1，﹣2）
【答案】D
【分析】根据顶点式解析式写出顶点坐标即可．
【详解】抛物线 y=﹣（x﹣1）2﹣2 的顶点坐标是（1，﹣2）．
故选D．
3．把抛物线向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为（　　 　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数的平移，根据二次函数图象平移规则，“左加右减，上加下减”，直接计算平移后的解析式即可．
【详解】解：∵抛物线向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，
∴平移后解析式为，
故选：A．
4．某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为x轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y＝－x2＋4x(单位：米)的一部分，则水喷出的最大高度是（　　 　）
A．4米 B．3米 C．2米 D．1米
【答案】A
【详解】）∵y=－x2＋4x=，
∴当x=2时，y有最大值4，
∴最大高度为4m．
故选A．
5.已知点，，均在抛物线上，则（　　 　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的性质．结合题意，得抛物线的开口向下，且抛物线的对称轴为，根据二次函数的性质分析，即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴抛物线的开口向下，抛物线的对称轴为，
∴当时，y随着x的增大而减少，且当和时，函数值均为，
∵，
∴ ，
故选：B．
6.老师出示了小黑板上的题后（如图），
小华说：过点（3，0）； 小彬说：过点（4，3）；
小明说：a=1； 小颖说：抛物线被x轴截得的线段长为2．
你认为四人的说法中，正确的有（　　 　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】首先求出抛物线的解析式，然后逐一进行判断即可得出答案．
【详解】解：∵抛物线过（1,0），对称轴是x＝2，
∴ ，解得a＝1，b＝－4，
∴y＝x2－4x＋3，
当x＝3时，y＝0，所以小华正确，
当x＝4时，y＝3，小彬正确，
a＝1，小明也正确，
抛物线被x轴截得的线段长为2，已知过点(1,0)，则可得另一点为(－1,0)或(3,0)，所以对称轴为y轴或x＝2，此时答案不唯一，所以小颖也错误，
故答案为：C．
二次函数（）的图象如图，则一次函数（）与反比例函数（）在同一平面直角坐标系中的图象大致是（　　 　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由二次函数的图象可得：，，，可得一次函数的图象经过一，三，四象限，的图象在二，四象限，从而可得答案．
【详解】解：由二次函数的图象可得：，，，
∴一次函数的图象经过一，三，四象限，
的图象在二，四象限，
∴B，C，D不符合题意，A符合题意；
故选A
8 .如图，有长为的篱笆，现一面完全利用墙（墙的最大可用长度a为）
围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，围成的花圃的面积最大时的长是（　　 　）米．

A．4 B．5 C．3 D．
【答案】D
【分析】设，根据矩形的面积公式得到矩形的面积与x的函数关系，
再根据自变量的取值范围即可求解．
【详解】解：设，则，
∵，即，
∴，
∴，
∵二次函数对称轴为，开口向下，
∴当时，随x的增大而减小，
∵，
∴当时，有最大值，
故选：D．
如图1，四边形是矩形，动点，均以的速度从点同时出发，
点沿折线向点运动，点沿折线向点运动．
的面积（单位：）与运动时间（单位：）的关系如图2所示．
当点运动到的中点时，的值为（　　 　）
A．9 B．10 C．12 D．16
【答案】B
【分析】根据题意得：，，当点P运动到点A处时，，此时，结合面积得出，，当点Q运动到的中点时，画出图形，然后利用面积和差求解即可．
【详解】解：根据题意得：，．
当点P运动到点A处时，，
此时，
∴，解得（负值已舍去）．
∴，．
当点Q运动到的中点时，如图所示：
运动时间为：秒，
∴，
∴，
∴．
∴
．
如图，已知二次函数的图象与x轴交于点，
与y轴的交点B在和之间（不包括这两点），对称轴为直线．
下列结论：①：②；③；④．
其中正确的有（　　 　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【详解】①∵图象与x轴交于点A（ 1，0），对称轴为直线x＝1，
∴图象与x轴的另一个交点为（3，0），
∴当x＝4时，y＞0，
∴16a＋4b＋c＞0，
故①错误；
②∵对称轴为直线x＝ ＝1，
∴b＝ 2a，
∵图象与y轴的交点B在（0， 2）和（0， 1）之间，
∴ 2＜c＜ 1，
∴1＜ c＜2，
∴ c-1＞0，
又∵a＞0，
∴b2-4ac-4a=4a2-4ac-4a=4a（a-c-1）＞0，
∴即②正确．
③∵图象与y轴的交点B在（0， 2）和（0， 1）之间，
∴ 2＜c＜ 1，
∵图象与x轴交于点A（ 1，0）和（3，0），
∴ax2＋bx＋c＝0的两根为 1和3，
∴ 3＝，
∴c＝ 3a，
∴ 2＜ 3a＜ 1，
∴；
故③正确；
④∵对称轴为直线x＝ ＝1，
∴b＝ 2a，
∵a＞0，c＝ 3a，
∴b＞c；
故④错误．
综上所述，正确的有②③，
故选B．
二、填空题：本大题有6个小题，每小题3分，共18分．
11．二次函数经过点，则的值为 ．
【答案】
【分析】直接代入已知点求解即可.
【详解】解：代入点得，3=1-2+c，解得c=4.
故答案为4.
12.如果抛物线的顶点在轴上，那么 ．
【答案】
【分析】利用顶点坐标进行解答即可．
【详解】解：在中，a=1，b=﹣1，
∴顶点坐标为（，c﹣），
∵抛物线的顶点在轴上，
∴c﹣=0，
解得：c=,
故答案为：．
13．将二次函数化为的形式，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数的三种形式的转化，熟练掌握配方法是解决本题的关键．
利用配方法整理即可．
【详解】解：
，
故答案为：．
如图，以的速度将小球沿与地面成角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线，
如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度（单位：）与飞行时间（单位：）之间具有函数关系，小球飞行过程中能达到的最大高度为____________．

【答案】20
【分析】由，，根据二次函数的图象与性质求最值即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴当时，最大，最大值为20，
故答案为：20．
15. 如图，一座拱桥的纵向截面是抛物线的一部分，拱桥的跨度为4.9m，当水面宽4m时，拱顶离水面2m．
有下列结论：
①该抛物线的解析式为：；
②当水面宽度为时，水面下降了；
③当水面下降时，水面宽度增加了．
其中，正确结论的为________
【答案】②③
【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是建立二次函数关系式；因此此题可根据题意得出二次函数关系式，进而问题可求解．
【详解】解：设抛物线的解析式为，
由水面宽时，拱顶离水面，可知点在函数图象上，
将代入中，得，
解得，
故抛物线的解析式为，
故①错误；
当水面宽度为时，即，把代入得：
．
原来水面宽时，则水面下降的高度为，
所以②正确．
当水面下降时，即，把代入得：
，则，解得，此时水面宽度为，
原来水面宽，水面宽度增加了，
所以③正确．
综上，正确结论②③，共2个，
故选：②③
如图，二次函数的图象与一次函数的图象相交于，两点，
已知点的横坐标为，点的横坐标为，二次函数图象的对称轴是直线．下列结论：①；②当时，；③；④．
其中正确的是__________．（只填写序号）
【答案】②③
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，一次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键；
先利用抛物线开口方向得到，利用抛物线的对称性方程得到，利用抛物线与轴的交点位置得到，则可对①进行判断；利用一次函数图象不在二次函数图象的下方所对应的自变量的范围可对②进行判断；由于时，，则可对③进行判断；由于时，，则，然后把代入可对④进行判断；
【详解】解：抛物线开口向上，
，
抛物线的对称轴为直线，
，
，
抛物线与轴的交点在轴的负半轴，
，
，所以①错误；
抛物线与一次函数的图象相交于，两点，
点的横坐标为，点的横坐标为，
当时，，
所以②正确；
时，，
，所以③正确；
时，，
，
，
，
即，所以④错误；
故答案为：②③
三、解答题：本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．某二次函数图像上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表：
x 0 1 2 3 4
y 0 1 0 m
求此二次函数的表达式
求的值
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了二次函数图像上的点的坐标特征、待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质，解决本题的关键是观察表格数据确定抛物线的顶点坐标．
（1）根据表格中的点的坐标特点先确定定点的坐标，设顶点式即可求解；
（2）将代入抛物线的解析式中可得．
【详解】（1）解：观察表格中的x、y的值，可知、是对称点，
所以抛物线的对称轴是直线，
所以顶点坐标为，
设抛物线解析式为，
将代入解析式中，可得，
解得，
所以该二次函数的表达式为，即．
故答案为：；
（2）解：当时，，
．
故答案为：．
18．如图，足球场上守门员在处开出一高球，球从离地面1米的处飞出（在轴上）．
运动员甲在距点米的处发现球在自己头的正上方达到最高点，距地面约米高．
求足球开始飞出到落地时，该抛物线的表达式；
足球落地点距守门员大约多少米？
【答案】(1)
(2)足球落地点C距守门员）米
【分析】（1）本题主要考查实物抛物线模型，直接设出该抛物线顶点式，再把带入解析式中就可求参数的值，进而求出抛物线的解析式．
（2）本题考查利用二次函数与方程的关系，求出抛物线与轴交点的坐标，进而求出的长，即可求解．
【详解】（1）解：由题意可得，点M的坐标为，该抛物线过点；
设足球开始飞出到落地时，该抛物线的表达式为；
；
解得，；
∴；
即该抛物线的表达式是．
（2）当时，；
解得，，；
∴点的坐标为；
答：足球落地点C距守门员米．
19．如图，在中，，，，点从点开始沿向点以的速度移动，同时点从点开始沿边向点以的速度移动，当一个点到达终点时另一点也随之停止运动，设运动时间为秒．
求几秒后，的面积等于．
、在运动过程中，是否存在时间，使得的面积最大，若存在，求出此时的值和最大面积；
若不存在，说明理由．
【答案】(1)1秒
(2)存在，当时，面积最大为
【分析】本题考查二次函数的性质，熟练掌握一元二次方程的解法，二次函数的性质，会求二次函数的最值是解题的关键．
（1）设经过秒以后△面积为6，根据题意，得，求出即可；
（2）由题意得，再求最大值即可．
【详解】（1）解：设经过秒以后面积为6，
，，．点从点开始沿边向点以的速度移动，同时点从点开始沿边向点以的速度移动，
，，
．
或；
当一个点到达终点时另一点也随之停止运动，
．．
．
答：1秒后的面积等于；
（2）解：存在时间，使得的面积最大，
理由如下：
由题意得：，
当时，面积最大为．
20．如图，抛物线经过点，点，且．

求抛物线的表达式；
如图，点是抛物线的顶点，求的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据已知得出点，进而待定系数法求解析式即可求解．
（2）根据解析式化为顶点式求得，待定系数法求得直线的解析式，过点作轴于点，交于点，则，进而根据三角形的面积公式即可求解．
【详解】（1）解：∵抛物线经过点，点，且．
∴，
即，
设抛物线解析式为，将代入得，
解得：，
∴抛物线解析式为
（2）解：∵，
∴,
如图所示，过点作轴于点，交于点，

设直线的解析式为，将代入得，
解得：，
∴直线的解析式为，
当时，，
∴，
∴，
∴．
某跳水运动员在进行跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示的一条抛物线．
已知跳板长为2米，跳板与水面相距3米，在离起跳点（点A）水平距离1米时达到距水面
最大高度4米．
请在图2中建立合适的直角坐标系，并求出这条抛物线的函数表达式．
求运动员落水点E与点C的距离．
【答案】(1)（答案不唯一）
(2)运动员落水点E与点C的距离为5米
【分析】本题考查了二次函数的应用，数形结合并熟练掌握运用待定系数法求抛物线的解析式是解题的关键．
（1）依据题意，可以为横轴，为纵轴建立直角坐标系，根据抛物线顶点坐标为，可设抛物线解析为：，将点代入可得；
（2）在（1）中函数解析式中令，求出x即可．
【详解】（1）解：根据题意，以为横轴，为纵轴建立直角坐标系，
∴可得抛物线顶点坐标为，，
∴设抛物线解析为：，
∴，
∴，
∴（答案不唯一）；
（2）解：由题意可得：当时，，
解得：，，
∴抛物线与x轴交点为：，
答：运动员落水点E与点C的距离为5米．
如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋3的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，
且点C、D是抛物线上的一对对称点．
求抛物线的解析式；
求点D的坐标，并在图中画出直线BD；
求出直线BD的一次函数解析式，并根据图象回答：
当x满足什么条件时，上述二次函数的值大于该一次函数的值．
【答案】(1)；
(2)D(－2，3)，画图见解析；
(3)BD的解析式为，当－2【分析】（1）将A、B的坐标代入抛物线的解析式中即可求得待定系数的值，
（2）进而可根据抛物线的对称轴求出D点的坐标，并画出直线BD；
（3）设出直线BD的一次函数解析式为y=kx+b，把B（1，0），D（-2，3）分别代入得可求出k，b，问题的解．由图象可知二次函数的值大于该一次函数的值时：-2＜x＜1．
【详解】（1）解：二次函数y＝ax2+bx+3的图象经过点A（﹣3，0），B（1，0）
∴
解得
∴二次函数图象的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）解：∵y＝﹣x2﹣2x+3，
∴当x＝0时，y＝3，
∴图象与y轴的交点坐标为（0，3）
∵点C、D是抛物线上的一对对称点，且抛物线的对称轴是x＝＝﹣1，
∴D点的坐标为（﹣2，3）．
如图，在图中过点B、D作直线BD．
（3）解：设直线BD的一次函数解析式为y＝kx+b
把B（1，0），D（﹣2，3）分别代入得：
解得
∴BD的解析式为y＝﹣x+1．
由图象可知二次函数的值大于该一次函数的值时：﹣2＜x＜1．
23. 某商店经销一种双肩包，已知这种双肩包的成本价为每个30元．市场调查发现，
这种双肩包每天的销售量y（单位：个）与销售单价x（单位：元）
有如下关系：y=－x+60（30≤x≤60）．
设这种双肩包每天的销售利润为w元．
（1）求w与x之间的函数解析式；
（2）这种双肩包销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
（3）如果物价部门规定这种双肩包的销售单价不高于48元，
该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润，销售单价应定为多少元？
【答案】（1）w=－x2+90x－1800；
（2）当x=45时，w有最大值，最大值是225；
（3）该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润，销售单价应定为40元．
【分析】（1）根据销售利润=单个利润×销售量，列出式子整理后即可得；
（2）由（1）中的函数解析式，利用二次函数的性质即可得；
（3）将w=200代入（1）中的函数解析式，解方程后进行讨论即可得．
【详解】（1）w=（x﹣30）y=（﹣x+60）（x﹣30）=﹣x2+30x+60x﹣1800=﹣x2+90x﹣1800，
w与x之间的函数解析式w=﹣x2+90x﹣1800；
（2）根据题意得：w=﹣x2+90x﹣1800=﹣（x﹣45）2+225，
∵﹣1＜0，
∴当x=45时，w有最大值，最大值是225；
即这种双肩包销售单价定为45元时，每天的销售利润最大，最大利润是225元．　
（3）当w=200时，﹣x2+90x﹣1800=200，
解得x1=40，x2=50，
∵50＞48，x2=50不符合题意，舍去，
即x=40．
答：该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润，销售单价应定为40元．
24．已知二次函数，经过点，且经过二次函数顶点．
(1) 求与的关系；
(2) 若二次函数的对称轴是直线，求二次函数的解析式；
(3) 若抛物线的开口方向向上，且经过点，，设对称轴为直线，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了二次函数的解析式、对称轴、图象和性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．
（1）分别将点 和，代入即可得解；
（2）由题易知，再结合（1）中式子求解即可；
（3）由（1）可得，再根据可求a的范围，最后利用求解即可．
【详解】（1）解：，
∴ 其顶点为，
将点 和代入得，
，
则，即，
∴与的关系为；
（2）解：∵ 对称轴是直线，
∴，
∴，
又 ∵，
∴，
解得，
，
∴ 二次函数的解析式为；
（3）解：由（1）知，
∴，
∴，
解得，
又 ∵ 抛物线的开口方向向上，
∴，
∴，
则，
∴，
∴．
故的取值范围为．
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第1章《二次函数》检测试卷2026-2027学年上学期浙教版九年级数学上册
全卷共三大题，24小题，满分为120分．
一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题只有一项是符合题目要求的．
1. 已知y=（m+2）+2是关于x的二次函数，那么m的值为（　　 　）
A．-2 B．2 C．±2 D．0
2．抛物线 y=﹣（x﹣1）2﹣2 的顶点坐标是（　　 　）
A．（1，2） B．（﹣1，﹣2） C．（﹣1，2） D．（1，﹣2）
3．把抛物线向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为（　　 　）
A． B．
C． D．
4．某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为x轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y＝－x2＋4x(单位：米)的一部分，则水喷出的最大高度是（　　 　）
A．4米 B．3米 C．2米 D．1米
已知点，，均在抛物线上，则（　　 　）
A． B． C． D．
6. 老师出示了小黑板上的题后（如图），
小华说：过点（3，0）； 小彬说：过点（4，3）；
小明说：a=1； 小颖说：抛物线被x轴截得的线段长为2．
你认为四人的说法中，正确的有（　　 　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二次函数（）的图象如图，则一次函数（）与反比例函数（）在同一平面直角坐标系中的图象大致是（　　 　）
A． B． C． D．
8 .如图，有长为的篱笆，现一面完全利用墙（墙的最大可用长度a为）
围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，围成的花圃的面积最大时的长是（　　 　）米．

A．4 B．5 C．3 D．
如图1，四边形是矩形，动点，均以的速度从点同时出发，
点沿折线向点运动，点沿折线向点运动．
的面积（单位：）与运动时间（单位：）的关系如图2所示．
当点运动到的中点时，的值为（　　 　）
A．9 B．10 C．12 D．16
如图，已知二次函数的图象与x轴交于点，
与y轴的交点B在和之间（不包括这两点），对称轴为直线．
下列结论：①：②；③；④．
其中正确的有（　　 　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题：本大题有6个小题，每小题3分，共18分．
11．二次函数经过点，则的值为 ．
12.如果抛物线的顶点在轴上，那么 ．
13．将二次函数化为的形式，则 ．
如图，以的速度将小球沿与地面成角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线，
如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度（单位：）与飞行时间（单位：）之间具有函数关系，小球飞行过程中能达到的最大高度为____________．

15. 如图，一座拱桥的纵向截面是抛物线的一部分，拱桥的跨度为4.9m，当水面宽4m时，拱顶离水面2m．
有下列结论：
①该抛物线的解析式为：；
②当水面宽度为时，水面下降了；
③当水面下降时，水面宽度增加了．
其中，正确结论的为________
如图，二次函数的图象与一次函数的图象相交于，两点，
已知点的横坐标为，点的横坐标为，二次函数图象的对称轴是直线．下列结论：①；②当时，；③；④．
其中正确的是__________．（只填写序号）
三、解答题：本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．某二次函数图像上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表：
x 0 1 2 3 4
y 0 1 0 m
求此二次函数的表达式
求的值
18．如图，足球场上守门员在处开出一高球，球从离地面1米的处飞出（在轴上）．
运动员甲在距点米的处发现球在自己头的正上方达到最高点，距地面约米高．
求足球开始飞出到落地时，该抛物线的表达式；
足球落地点距守门员大约多少米？
19．如图，在中，，，，点从点开始沿向点以的速度移动，同时点从点开始沿边向点以的速度移动，当一个点到达终点时另一点也随之停止运动，设运动时间为秒．
求几秒后，的面积等于．
、在运动过程中，是否存在时间，使得的面积最大，若存在，求出此时的值和最大面积；
若不存在，说明理由．
20．如图，抛物线经过点，点，且．

求抛物线的表达式；
如图，点是抛物线的顶点，求的面积．
某跳水运动员在进行跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示的一条抛物线．
已知跳板长为2米，跳板与水面相距3米，在离起跳点（点A）水平距离1米时达到距水面
最大高度4米．
请在图2中建立合适的直角坐标系，并求出这条抛物线的函数表达式．
求运动员落水点E与点C的距离．
如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋3的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，
且点C、D是抛物线上的一对对称点．
求抛物线的解析式；
求点D的坐标，并在图中画出直线BD；
求出直线BD的一次函数解析式，并根据图象回答：
当x满足什么条件时，上述二次函数的值大于该一次函数的值．
23. 某商店经销一种双肩包，已知这种双肩包的成本价为每个30元．市场调查发现，
这种双肩包每天的销售量y（单位：个）与销售单价x（单位：元）
有如下关系：y=－x+60（30≤x≤60）．
设这种双肩包每天的销售利润为w元．
（1）求w与x之间的函数解析式；
（2）这种双肩包销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
（3）如果物价部门规定这种双肩包的销售单价不高于48元，
该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润，销售单价应定为多少元？
24．已知二次函数，经过点，且经过二次函数顶点．
(1) 求与的关系；
(2) 若二次函数的对称轴是直线，求二次函数的解析式；
(3) 若抛物线的开口方向向上，且经过点，，设对称轴为直线，求的取值范围．
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