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第一章 三角形 单元测试卷
（考试时间：90分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共30分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）
1．2024年巴黎奥运会上中国体育代表团获得40枚金牌，金牌数与美国队并列第一，创造了参加境外奥运会的最佳战绩．下列各组巴黎奥运会的项目图标中，是全等形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了全等形“能够完全重合的两个图形叫做全等形”，熟练掌握全等形的定义是解题关键．根据全等形的定义即可得．
【详解】解：A、不是全等形，则此项不符合题意；
B、不是全等形，则此项不符合题意；
C、是全等形，则此项符合题意；
D、不是全等形，则此项不符合题意；
故选：C．
2．如图，四个图形中，线段是△ABC的高的图是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查画三角形的高，根据高的定义，进行判断即可．
【详解】解：线段是的高，则过点作的垂线，垂足为；故满足题意的只有选项D；
故选D．
3．下列语句不是命题的是（ ）．
A．对顶角相等
B．同旁内角互补
C．垂线段最短
D．在线段上取点，使得
【答案】D
【分析】本题考查了命题的定义，正确记忆判断事物的语句叫命题是解题关键．
根据命题的定义分别进行判断即可．
【详解】解：A、对顶角相等是命题，故本选项不符合题意；
B、同旁内角互补是命题，故本选项不符合题意；
C、垂线段最短是命题，故本选项不符合题意；
D、在线段上取点，使得，为描述性语言，不是命题，故本选项符合题意；
故选：D．
4．下图是投影屏上出示的抢答题，需要回答括号里符号代表的内容：
则回答正确的是（ ）
A．☆代表对应边 B．※代表110° C．@代表ASA D．◎代表∠DCA
【答案】B
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，根据全等三角形的判定与性质可☆代表对应角，※代表，@代表，◎代表
【详解】解：∵在和中
，
∴，
∴（全等三角形的对应角相等），
∵，
∴，
∴；
故选：B．
5．下列结论正确的是（ ）
A．钝角三角形的三条角平分线的交点在三角形的外部
B．锐角三角形的三条高的交点在三角形的外部
C．三角形的重心是三角形三条中线的交点
D．直角三角形的三条中线的交点在斜边的中点
【答案】C
【分析】本题考查了三角形角平分线、高、中线、重心等概念，根据三角形角平分线、高、中线、重心等概念逐一排除即可，掌握三角形的重要概念是解题的关键．
【详解】解：、钝角三角形的三条角平分线的交点在三角形的内部，原选项结论错误，不符合题意；
、锐角三角形的三条高的交点在三角形的内部，原选项结论错误，不符合题意；
、三角形的重心是三角形三条中线的交点，原选项结论正确，符合题意；
、直角三角形的三条中线的交点在三角形的内部，原选项结论错误，不符合题意；
故选：．
6．如1图所示是一辆自动变速自行车的实物图，如2图所示是抽象出来的部分示意图，已知直线与相交于点P，，，，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】此题考查了平行线的性质“两直线平行，同位角相等”，三角形的外角性质．由平行线的性质得到，再由三角形的外角性质即可求解．
【详解】解：∵，，
，
，，
，
故选：C．
7．如图，在中，平分交于点D．若，则的面积是（ ）
A．0.6 B．1.2 C．2 D．2.6
【答案】A
【分析】本题考查的是角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题关键，作于点E，求出，进而求出面积即可．
【详解】解：作于点E，
平分，
的面积是，
故选：A．
8．如图，在和中，，，，则（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，根据全等三角形的判定定理得出，根据全等三角形的性质得出，代入求出即可．
【详解】解：在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴．
故选：C．
9．如图，中，，直线垂直平分，分别交、于点E、D，若的周长为32，则的周长是（ ）
A．62 B．52 C．42 D．32
【答案】B
【分析】本题考查了垂直平分线的性质，掌握垂直平分线上的点到线段两端距离相等是解题关键．由垂直平分线可得，再结合的周长得到，即可求出的周长．
【详解】解：中，，直线垂直平分，
，
的周长为32，
，
的周长是，
故选：B．
10．如图，已知和都是等腰三角形，，，交于点，连接，下列结论：①；②；③平分；④平分；⑤，其中正确结论有（ ）
A．①②④⑤ B．①②③ C．①②③④ D．①③⑤
【答案】A
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的判定与性质，①证明，即可得到；②由可得，再由、证得即可判定；④分别过作、，根据全等三角形面积相等和，证得，即平分，即可判定；⑤由平分结合即可判定，缺少条件证明③平分．
【详解】解：，
，
∴，
在和中，
，
，
．
故①正确；
∵，
，
，，
，
，即，
故②正确；
分别过作、垂足分别为、，
∵，
，
，
，
，
平分，无法证明平分．
故③错误；故④正确；
平分，，
，故⑤正确；
综上所述，正确的有①②④⑤，
故选：A．
第二部分（非选择题 共90分）
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
11．如图，在△ABC中，边上的高是 ，边上的高是 ；在△BCF中，边上的高是 ．
【答案】 / / /
【分析】本题主要考查三角形高线的概念，掌握这个知识点即可求解．确定某一边的高，首先明确是哪个三角形的高，在这个三角形内，先看这边相对的顶点，然后寻找这个顶点向这条边作的垂线段即可．
【详解】解：在△ABC中，边上的高是，边上的高是；在△BCF中，边上的高是．
故答案为：；；
12．可以用一个数的值说明命题“如果能被整除，那么它也能被整除”是假命题，这个数可以是 ．
【答案】（答案不唯一）
【分析】本题考查了命题与定理、真命题与假命题；正确判断真命题与假命题是解决问题的关键．由整除的性质得出是假命题，即可得出结论．
【详解】解：可以用一个的值说明命题“如果能被整除，那么它也能被整除”是假命题，
这个值可以是，
故答案为：（答案不唯一）．
13．如图，点B，C，D在同一直线上．若，且，则 ．
【答案】/48度
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质、三角形外角的性质等知识点，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键．
根据全等三角形的性质可得，由三角形外角的性质可得，最后根据等量代换即可解答．
【详解】解：∵，
∴，
∵是的外角，
∴，
∴．
故答案为：．
14．如图，中，，垂直平分，交于点F，交于点E，且．若周长为13，， ．
【答案】
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质和判定，
先根据线段垂直平分线的性质和判定得，再根据的周长为，，求出，然后等量代换可得答案．
【详解】解：∵是的垂直平分线，
∴．
∵，
∴是的垂直平分线，
∴，
∴．
∵的周长为，，
∴，
∴，
则，
∴，
即．
故答案为：．
15．观察下列各式：，，，，用文字语言表示你发现的规律： ；用符号语言表示你发现的规律： ；这是一个 命题（填“真”或“假”）．
【答案】 两个连续整数中，较大数与较小数的平方差等于这两个数之和 对于，（是整数），有 真
【分析】本题考查对数字等式规律，命题和证明，解题关键是通过观察等式特征归纳出通用规律，再用代数方法化简等式两边证明规律成立．
观察题目中的等式，发现两个连续整数的平方差等于这两数的和，用符号表示该规律，并验证其正确性即可，
【详解】解：观察给出的例子，发现每个等式都是较大的数的平方减去较小的数的平方，结果等于这两个数的和．例如，，．因此，规律可以表述为：两个连续整数中，较大数与较小数的平方差等于这两个数之和．
设较大的数为，较小的数为，则规律可表示为：．
展开左边并简化：左边：
；
右边：
，
∵左边右边，
∴该命题是真命题；
故答案为：两个连续整数中，较大数与较小数的平方差等于这两个数之和；对于，（是整数），有；真．
16．如图，动点与线段构成，其边长满足，，．在中运用三角形三边关系，可求得的取值范围是 ，若点在的平分线上，且，则的面积的最大值为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了三角形三边关系，全等三角形的判定与性质，三角形中线的性质等知识，熟练掌握相关知识，正确作出辅助线是解题关键．
在中，由三角形三边关系“在一个三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”可知，代入数值即可确定的取值范围；延长、交于点，首先利用“ASA”证明，由全等三角形的性质可得，，进而可求得，结合三角形中线的性质易知，确定面积的最大值，即可获得答案．
【详解】解：在中，，
，
解得；
如下图，延长、交于点，
为的平分线，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，
当时，的面积取最大值，
即，
．
故答案为：；．
三、解答题（本大题共8小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（6分）把下列命题改写成“如果……，那么……”的形式，并写出它的条件和结论．
(1)同位角相等，两直线平行；
(2)同角的余角相等．
【答案】(1)见解析(2)见解析
【分析】本题主要查了把命题写成“如果……，那么……”的形式，熟练掌握一般的命题都可以改写成“如果…，那么…”的形式，即把命题的题设放在如果后面，把结论放在那么后面，再加以适当的调整即可． 命题是有题设和结论构成．命题都能写成“如果…，那么…”的形式，“如果”后面是题设，“那么”后面是结论是解题的关键．
（1）根据把命题写成“如果……，那么……”的形式的方法解答，即可；
（2）根据把命题写成“如果……，那么……”的形式的方法解答，即可．
【详解】（1）解：同位角相等，两直线平行改写成“如果两条直线被第三条直线所截同位角相等，那么两直线平行”，
条件是两条直线被第三条直线所截同位角相等，结论是两直线平行；
（2）解：同角的余角相等改写成如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等，
条件是两个角是同一个角的余角，结论是这两个角相等
18．（8分）如图，在△ABC中，是中线，，．
(1)求与的周长差．
(2)点E在边上，连接，若△BDE与四边形的周长相等，求线段的长．
【答案】(1)(2)
【分析】本题考查了三角形的中线性质，三角形周长的计算，掌握相关知识点是解题的关键．
（1）的周长，的周长，由中线的定义可得，即可解答；
（2）由图可知的周长，四边形的周长，，所以，则可解得长．
【详解】（1）解：的周长，的周长，
∵是中线，
∴，
∴与的周长差：；
（2）解：由图可知：的周长，四边形的周长，
又∵的周长与四边形的周长相等，D是的中点，
∴，，
∴，
又∵，，，
∴，
∴，
∴．
19．（8分）已知两个三角形全等，其中一个三角形的三边长分别为6，8，10，另一个三角形的三边长分别为6，．
(1)求m，n的值；
(2)当边长小于边长时，以，，为三角形的三边长，求边长a取值范围．
【答案】(1)，或；
(2)，
【分析】本题考查了全等三角形的性质及三角形三边关系，
（1）有两种情况：与8、与10分别是对应边；与10、与8分别是对应边；分别求出m与n即可；
（2）根据（1）中结果，确定，；再根据三角形三边关系分析即可．
熟练掌握全等三角形的性质及三角形三边关系是解题关键．
【详解】（1）解：当与8、与10分别是对应边时，则，
∴；
当与10、与8分别是对应边时，则，
∴；
综上，或；
（2）因为边长小于边长，所以取，；
当时，以a，m，n为三角形的三边长，
则边长a取值范围为．
∴．
20．（10分）如图，已知在中，，请用直尺和圆规完成以下作图：
(1)过点C作于点D；
(2)在上求作一点E，使得点E到的距离等于的长．(保留作图痕迹，不写作法)
【答案】(1)见详解
(2)见详解
【分析】本题考查了尺规作图，作垂线，作角平分线，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）以点C为圆心，适当长度为半径画弧交于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于长度为半径画弧交点，连接，与交于一点，此时，即可作答．
（2）理解点E在上且点E到的距离等于的长，即要求点在的角平分线上，故的角平分线上与的交点即为点E，所以运用圆规和直尺作出的角平分线，即可作答．
【详解】（1）解：依题意，如图所示：
（2）解：依题意，点E如图所示．
21．（10分）如图，已知：，，．
(1)求证：
(2)若，求的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行线的性质，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键．
（1）先由平行线的性质得到，再证明，据此可利用证明；
（2）由全等三角形的性质可得，再求出的长即可得到答案．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，即，
又∵，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴．
22．（10分）如图所示，在中，，垂直平分，垂直平分．
(1)试说明：；
(2)若，，试说明：；
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的性质等知识，解题的关键是：
（1）利用线段垂直平分线的性质得出，，利用等边对等角得出，，然后利用三角形内角和定理，等量代换可得出，即可得证；
（2）结合（1）中结论可得出，，，利用证明即可；
【详解】（1）证明∶ ∵垂直平分，垂直平分，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：由（1） 知，，，
∵，，
∴，，
∴在和中，
∴
23．（10分）阅读材料：若，求、的值．
解：∵，
∴
∴，
∴，，
∴，．
根据你的观察，探究下面的问题：
(1)已知，求的值；
(2)已知、、分别为的三边长，且满足，若是△ABC的最大边长，且为奇数，求△ABC的周长．
【答案】(1)9(2)14或16
【分析】此题主要考查了因式分解方法的应用和三角形的三条边之间的关系，解答此题的关键是掌握材料中因式分解的方法，明确三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边；任意两边之差小于第三边．
（1）根据材料，将因式分解得：，可求出的值，继而可求出结果；
（2）将因式分解得：，可求出的值，然后根据三角形的三边关系和是△ABC的最大边长，且为奇数，求得的值，即可得到结果．
【详解】（1）解：，
，
，
，
，
，
即的值是 9 ．
（2）解：，
，
，
，
，
，
，
又 ∵为奇数，
或，
∴三角形的周长为或．
24．（10分）平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系．
(1)如图1，若，点P在、内部，，，求的度数．
(2)如图2，将点P移到、外部，则、、之间有何数量关系？请证明你的结论．
(3)如图3，直接写出、、、之间的数量关系．（不需证明）
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）过P作，利用平行线的性质，等量代换证明即可；
（2）利用平行线的性质，三角形外角性质，等量代换证明即可；
（3）利用三角形外角性质，等量代换证明即可．
本题考查了平行线的判定和性质，三角形外角性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键．
【详解】（1）解：如图，过P作，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴．
（2）解：如图，
∵，
∴，
∴．
（3）解：、、、之间的数量关系为：．
连接并延长到点G，
根据题意，得，，，，
故．
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第一章 三角形 单元测试卷
（考试时间：90分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共30分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）
1．2024年巴黎奥运会上中国体育代表团获得40枚金牌，金牌数与美国队并列第一，创造了参加境外奥运会的最佳战绩．下列各组巴黎奥运会的项目图标中，是全等形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．如图，四个图形中，线段是△ABC的高的图是（ ）
A． B． C． D．
3．下列语句不是命题的是（ ）．
A．对顶角相等
B．同旁内角互补
C．垂线段最短
D．在线段上取点，使得
4．下图是投影屏上出示的抢答题，需要回答括号里符号代表的内容：
则回答正确的是（ ）
A．☆代表对应边 B．※代表110° C．@代表ASA D．◎代表∠DCA
5．下列结论正确的是（ ）
A．钝角三角形的三条角平分线的交点在三角形的外部
B．锐角三角形的三条高的交点在三角形的外部
C．三角形的重心是三角形三条中线的交点
D．直角三角形的三条中线的交点在斜边的中点
6．如1图所示是一辆自动变速自行车的实物图，如2图所示是抽象出来的部分示意图，已知直线与相交于点P，，，，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在中，平分交于点D．若，则的面积是（ ）
A．0.6 B．1.2 C．2 D．2.6
8．如图，在和中，，，，则（ ）

A． B． C． D．
9．如图，中，，直线垂直平分，分别交、于点E、D，若的周长为32，则的周长是（ ）
A．62 B．52 C．42 D．32
10．如图，已知和都是等腰三角形，，，交于点，连接，下列结论：①；②；③平分；④平分；⑤，其中正确结论有（ ）
A．①②④⑤ B．①②③ C．①②③④ D．①③⑤
第二部分（非选择题 共90分）
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
11．如图，在△ABC中，边上的高是 ，边上的高是 ；在△BCF中，边上的高是 ．
12．可以用一个数的值说明命题“如果能被整除，那么它也能被整除”是假命题，这个数可以是 ．
13．如图，点B，C，D在同一直线上．若，且，则 ．
14．如图，中，，垂直平分，交于点F，交于点E，且．若周长为13，， ．
15．观察下列各式：，，，，用文字语言表示你发现的规律： ；用符号语言表示你发现的规律： ；这是一个 命题（填“真”或“假”）．
16．如图，动点与线段构成，其边长满足，，．在中运用三角形三边关系，可求得的取值范围是 ，若点在的平分线上，且，则的面积的最大值为 ．
三、解答题（本大题共8小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（6分）把下列命题改写成“如果……，那么……”的形式，并写出它的条件和结论．
(1)同位角相等，两直线平行；
(2)同角的余角相等．
18．（8分）如图，在△ABC中，是中线，，．
(1)求与的周长差．
(2)点E在边上，连接，若△BDE与四边形的周长相等，求线段的长．
19．（8分）已知两个三角形全等，其中一个三角形的三边长分别为6，8，10，另一个三角形的三边长分别为6，．
(1)求m，n的值；
(2)当边长小于边长时，以，，为三角形的三边长，求边长a取值范围．
20．（10分）如图，已知在中，，请用直尺和圆规完成以下作图：
(1)过点C作于点D；
(2)在上求作一点E，使得点E到的距离等于的长．(保留作图痕迹，不写作法)
21．（10分）如图，已知：，，．
(1)求证：
(2)若，求的长．
22．（10分）如图所示，在中，，垂直平分，垂直平分．
(1)试说明：；
(2)若，，试说明：；
23．（10分）阅读材料：若，求、的值．
解：∵，
∴
∴，
∴，，
∴，．
根据你的观察，探究下面的问题：
(1)已知，求的值；
(2)已知、、分别为的三边长，且满足，若是△ABC的最大边长，且为奇数，求△ABC的周长．
24．（10分）平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系．
(1)如图1，若，点P在、内部，，，求的度数．
(2)如图2，将点P移到、外部，则、、之间有何数量关系？请证明你的结论．
(3)如图3，直接写出、、、之间的数量关系．（不需证明）
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