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1.2.1有理数的概念的五大题型 一例三练（学生版）
（2026年7月）
【题型1 有理数的概念】 2
【题型2 正负数、整分数辨析】 3
【题型3 填入相应的集合】 3
【题型4 带“非”的有理数】 4
【题型5 探索有理数数的排列规律】 5
知识点1 有理数的概念
1. 整数和分数：
类型 概念 举例
整数 正整数、0、负整数统称为整数
分数 正分数、负分数统称为分数
2.有理数：可以写成分数形式的数称为有理数其中，可以写成正分数形式的数为正有理数，可以写成负分数形式的数为负有理数.
拓展：小数的分类：
2.拓展：几个常用数学名词的含义：
名称 范围 名称 范围
非负数 正数和0 非正数 负数和0
正有理数 正整数和正分数 负有理数 负整数和负分数
非正整数 负整数和0 非负整数 正整数和0
知识点2 有理数的分类
1.有理数的分类：
按有理数的定义分类 按有理数的性质符号分类
2.数的集合：把满足一定条件的所有数放在一起，就组成一类数的集合．如所有正有理数组成正有理数集合．
特别提醒：集合的常见形式：······}
【题型1 有理数的概念】
【例1】（24-25七年级上·四川达州·阶段检测）下列说法：①0是最小的整数；②有理数不是正数就是负数；③非负数就是正数；④正数中没有最小的数，负数中没有最大的数．其中正确的结论有（ ）个
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【变式1-1】（20-21六年级上·山东泰安·期中）下列说法中：①0是最小的整数；②非负数就是正数；③ 不仅是有理数，而且是分数；④正数中没有最小的数，负数中没有最大的数．其中错误的说法的个数为（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【变式1-2】（25-26七年级上·云南昆明·阶段检测）下列关于有理数的说法正确的是（ ）
A．有理数分为正有理数和负有理数 B．整数分为正整数和负整数
C．有理数是可以写成两个整数之比（比的后项不为0）的数 D．0不是有理数
【变式1-3】①正有理数包括正整数和正分数；②整数是正整数和负整数的统称；③有理数是正整数、负整数、正分数、负分数的统称；④0是偶数，但不是自然数；⑤偶数包括正偶数、负偶数和0．以上说法中，正确的序号为_________．
【题型2 正负数、整分数辨析】
【例2】（2026·上海静安·三模）下列属于正有理数的是（ ）
A． B． C．54 D．
【变式2-1】（25-26·浙江金华·开学考试）在下列选项中，既是分数，又是负数的是（ ）
A．4 B．5 C． D．
【变式2-2】（25-26七年级上·湖南湘潭·期末）不属于（ ）
A．整数 B．有理数 C．分数 D．负数
【变式2-3】（25-26八年级上·广东肇庆·期中）下列实数中不是有理数的是（ ）
A．π B． C． D．
【题型3 填入相应的集合】
【例3】（25-26七年级上·广东东莞·期中）把下列各数的序号填在相应的大括号内：
①12，②．③，④，⑤0，⑥，⑦3.14，⑧；⑨．
(1)正有理数集合；｛____________________…｝
(2)负有理数集合：｛____________________…｝
(3)整数集合：｛____________________…｝
【变式3-1】（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）将下列各数填入对应集合：
，，，，，，，，，
整数集合：｛　　　…｝
分数集合：｛　　　…｝
正数集合：｛　　　…｝
负数集合：｛　　　…｝
【变式3-2】（24-25七年级上·福建龙岩·阶段检测）把下列各数分别填在相应的大括号里，将各数用逗号分开∶
．
正数：{_____________________________}；
负分数∶ {____________________________________}
负整数：{______________________}；
整数∶ {____________________________________}
【变式3-3】（26-27七年级·浙江·暑假作业）判断表中各数分别是什么数，在相应的格子内画“√”
数 正数 正整数 正分数 负数 负整数 负分数 有理数
66 √ √ √
0
【题型4 带“非”的有理数】
【例4】（25-26六年级上·上海·阶段检测）在，，，，，中，非负整数有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【变式4-1】 （24-25七年级上·四川达州·阶段检测）下列有理数中：12，，，，0，，，是非负数的有______个．
【变式4-2】（24-25六年级上·山东烟台·阶段检测）将下列各数填在相应的括号里：
、5、、、、0、102、、、
分数集合：{ }；
非正有理数集合：{ }；
负数集合：{ }
【变式4-3】把下列各数分别填入相应的集合里．
(1)正数集合：{ }
(2)分数集合：{ }
(3)非负整数集合：{ }
(4)非负有理数集合：{ }
【题型5 探索有理数数的排列规律】
【例5】（25-26七年级上·福建泉州·期中）筹是在珠算发明以前我国独创并且有效的计算工具，为我国古代数学的发展做出了很大的贡献，在算筹计数法中，以“纵式”和“横式”两种方式来表示数字如表：
数字 1 2 3 4 5 6 7 8 9
纵式
横式
表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，遇零则置空，“”表示的数是5672．“”表示的数是2025，若已知一个用这种方式表示的四位数中含有“”、“”和两个空位，则这个四位数是_____．
【变式5-1】数学活动课上，王老师把分别写有，5，-2，0，的五张卡片分别发给五位同学，王老师要求同学们按照卡片上数字的特征挑选2人或者3人表演节目．
（1）王老师先给同学们做了范例，他说手拿卡片上数字为整数的同学表演节目，请你选出表演节目的同学；
（2）如果让你来挑选，你会按什么数字特征来选择表演节目的同学？
【变式5-2】在如图所示的方格中，填入相应的数，使它符合下列语句的要求：
①的正上方是一个负分数；②的左上方是一个正整数；③一个既不是正数又不是负数的数在的正下方；④的左边是一个正分数；⑤剩下的四格请分别填上正有理数和负有理数，使方格中正有理数与负有理数的个数相同
1.2.1有理数的概念的五大题型 一例三练（教师版）
（2026年7月）
【题型1 有理数的概念】 8
【题型2 正负数、整分数辨析】 10
【题型3 填入相应的集合】 11
【题型4 带“非”的有理数】 13
【题型5 探索有理数数的排列规律】 14
知识点1 有理数的概念
1. 整数和分数：
类型 概念 举例
整数 正整数、0、负整数统称为整数
分数 正分数、负分数统称为分数
2.有理数：可以写成分数形式的数称为有理数其中，可以写成正分数形式的数为正有理数，可以写成负分数形式的数为负有理数.
拓展：小数的分类：
2.拓展：几个常用数学名词的含义：
名称 范围 名称 范围
非负数 正数和0 非正数 负数和0
正有理数 正整数和正分数 负有理数 负整数和负分数
非正整数 负整数和0 非负整数 正整数和0
知识点2 有理数的分类
1.有理数的分类：
按有理数的定义分类 按有理数的性质符号分类
2.数的集合：把满足一定条件的所有数放在一起，就组成一类数的集合．如所有正有理数组成正有理数集合．
特别提醒：集合的常见形式：······}
【题型1 有理数的概念】
【例1】（24-25七年级上·四川达州·阶段检测）下列说法：①0是最小的整数；②有理数不是正数就是负数；③非负数就是正数；④正数中没有最小的数，负数中没有最大的数．其中正确的结论有（ ）个
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】B
解：①整数包含负整数、0、正整数，所有负整数都小于0，原说法错误；
②有理数分为正有理数、0、负有理数，原说法错误；
③非负数就是正数和0，原说法错误；
④正数中没有最小的数，负数中没有最大的数，正确．
综上，正确的结论共有1个．
【变式1-1】（20-21六年级上·山东泰安·期中）下列说法中：①0是最小的整数；②非负数就是正数；③ 不仅是有理数，而且是分数；④正数中没有最小的数，负数中没有最大的数．其中错误的说法的个数为（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
解：① 不是最小的整数，∵负整数比小，不存在最小的整数，∴①错误；
② 非负数包含正数和，因此非负数不只是正数，∴②错误；
③ 是无限不循环小数，不属于有理数，∴③错误；
④ 正数中没有最小的数，负数中没有最大的数，该说法正确；
综上，错误的说法共有个．
【变式1-2】（25-26七年级上·云南昆明·阶段检测）下列关于有理数的说法正确的是（ ）
A．有理数分为正有理数和负有理数 B．整数分为正整数和负整数
C．有理数是可以写成两个整数之比（比的后项不为0）的数 D．0不是有理数
【答案】C
解：有理数分为正有理数、0和负有理数，A选项错误；
整数分为正整数、0和负整数，B选项错误；
有理数是可以写成两个整数之比（比的后项不为0）的数，C选项正确；
0是有理数，D选项错误；
故选：C．
【变式1-3】①正有理数包括正整数和正分数；②整数是正整数和负整数的统称；③有理数是正整数、负整数、正分数、负分数的统称；④0是偶数，但不是自然数；⑤偶数包括正偶数、负偶数和0．以上说法中，正确的序号为_________．
【答案】①⑤/⑤①
解：①根据正有理数的分类，正有理数包括正整数和正分数，该说法正确；
②整数是正整数、0、负整数的统称，原说法漏掉0，故该说法错误；
③有理数是整数和分数的统称，其中整数包含0，
∴有理数包括正整数、0、负整数、正分数、负分数，原说法漏掉0，故该说法错误；
④0是偶数，也是自然数，原说法错误；
⑤根据偶数的定义，偶数包括正偶数、负偶数和0，该说法正确．
【题型2 正负数、整分数辨析】
【例2】（2026·上海静安·三模）下列属于正有理数的是（ ）
A． B． C．54 D．
【答案】C
解：A、 是负数，故选项不符合题意；
B、 不是有理数，故选项不符合题意；
C、54是正有理数，故选项符合题意；
D、可能是正数、负数或0，故选项不符合题意
【变式2-1】（25-26·浙江金华·开学考试）在下列选项中，既是分数，又是负数的是（ ）
A．4 B．5 C． D．
【答案】D
解： A、4是正整数，既不是分数，也不是负数，不符合题意；
B、5是正整数，既不是分数，也不是负数，不符合题意；
C、是负整数，是负数但不是分数，不符合题意；
D、是有限小数，属于分数，同时是负数，符合题意．
【变式2-2】（25-26七年级上·湖南湘潭·期末）不属于（ ）
A．整数 B．有理数 C．分数 D．负数
【答案】A
解：是一个负数，也属于有理数，，也属于分数；
整数包括正整数、0和负整数，含有小数部分，不属于整数．
故选：A．
【变式2-3】（25-26八年级上·广东肇庆·期中）下列实数中不是有理数的是（ ）
A．π B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了有理数的概念，解题的关键是掌握相应的概念，有理数是指能表示为两个整数之比的数（分母不为零），包括整数、有限小数和无限循环小数．无理数则不能表示为这种形式．
解：A．π是无限不循环小数，不是有理数，符合题意；
B．是有限小数，是有理数，不符合题意；
C．是有理数，不符合题意；
D．是有理数，不符合题意；
故选：A．
【题型3 填入相应的集合】
【例3】（25-26七年级上·广东东莞·期中）把下列各数的序号填在相应的大括号内：
①12，②．③，④，⑤0，⑥，⑦3.14，⑧；⑨．
(1)正有理数集合；｛____________________…｝
(2)负有理数集合：｛____________________…｝
(3)整数集合：｛____________________…｝
【答案】(1)①，④，⑦，⑨
(2)②，③，⑥
(3)①，③，⑤
【分析】根据正有理数、负有理数、整数的定义对各数逐一分类即可．一定注意：分清楚小数点与逗号
【详解】（1）解：π是无限不循环小数，不属于有理数，正有理数是大于0的有理数，
因此正有理数集合：｛①，④，⑦，⑨…｝.
（2）解：负有理数是小于0的有理数，因此负有理数集合：｛②，③，⑥，…｝；
（3）解：整数包括正整数，0和负整数，因此整数集合：｛①，③，⑤，…｝．
【变式3-1】（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）将下列各数填入对应集合：
，，，，，，，，，
整数集合：｛　　　…｝
分数集合：｛　　　…｝
正数集合：｛　　　…｝
负数集合：｛　　　…｝
【答案】解：整数集合：｛，，，，…｝
分数集合：｛，，，，…｝
正数集合：｛，，，，…｝
负数集合：｛，，，…｝
【变式3-2】（24-25七年级上·福建龙岩·阶段检测）把下列各数分别填在相应的大括号里，将各数用逗号分开∶
．
正数：{_____________________________}；
负分数∶ {____________________________________}
负整数：{______________________}；
整数∶ {____________________________________}
【答案】解：正数：{}；
负分数∶ {}；
负整数：{}；
整数∶ {}．
【变式3-3】（26-27七年级·浙江·暑假作业）判断表中各数分别是什么数，在相应的格子内画“√”
数 正数 正整数 正分数 负数 负整数 负分数 有理数
66 √ √ √
0
【答案】解：
数 正数 正整数 正分数 负数 负整数 负分数 有理数
66 √ √ √
√ √ √
√ √ √
0 √
√ √ √
【题型4 带“非”的有理数】
【例4】（25-26六年级上·上海·阶段检测）在，，，，，中，非负整数有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】解：是负整数，不符合；是分数，不是整数，不符合；是大于等于的整数，符合；是负小数，不符合；是负分数，不符合；是大于的整数，符合；
∴ 符合条件的非负整数共有个．
【变式4-1】 （24-25七年级上·四川达州·阶段检测）下列有理数中：12，，，，0，，，是非负数的有______个．
【答案】6
解：非负数为：，，，，，，共有个．
【变式4-2】（24-25六年级上·山东烟台·阶段检测）将下列各数填在相应的括号里：
、5、、、、0、102、、、
分数集合：{ }；
非正有理数集合：{ }；
负数集合：{ }
解：分数集合：；
非正有理数集合：；
负数集合：
【变式4-3】把下列各数分别填入相应的集合里．
(1)正数集合：{ }
(2)分数集合：{ }
(3)非负整数集合：{ }
(4)非负有理数集合：{ }
【答案】解：正数集合：；
（2）解：分数集合：；
（3）解：非负整数集合：；
（4）解：非负有理数集合：．
【题型5 探索有理数数的排列规律】
【例5】（25-26七年级上·福建泉州·期中）筹是在珠算发明以前我国独创并且有效的计算工具，为我国古代数学的发展做出了很大的贡献，在算筹计数法中，以“纵式”和“横式”两种方式来表示数字如表：
数字 1 2 3 4 5 6 7 8 9
纵式
横式
表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，遇零则置空，“”表示的数是5672．“”表示的数是2025，若已知一个用这种方式表示的四位数中含有“”、“”和两个空位，则这个四位数是_____．
【答案】6200或6002
【分析】本题考查了数的表示，理解题意中横式，纵式的表示方法是关键．
根据题意，找出个位、十位、百位、千位出现数字的情况，结合题意即可求解．
解：表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，遇零则置空，
∴“”是纵式，表示的数字是2，在个位或百位上，“”是横式，表示的数字为6，在十位或千位上，且该四位数有两个空位，
∴当千位是6，百位是2时，这个四位数为6200，
当千位是6，个位是2时，这个四位数为6002，
当十位是6，百位是2时，这个四位数为0260，不符合题意，
当千位是6，个位是2时，这个四位数为0062，不符合题意，
故答案为：6200或6002 ．
【变式5-1】数学活动课上，王老师把分别写有，5，-2，0，的五张卡片分别发给五位同学，王老师要求同学们按照卡片上数字的特征挑选2人或者3人表演节目．
（1）王老师先给同学们做了范例，他说手拿卡片上数字为整数的同学表演节目，请你选出表演节目的同学；
（2）如果让你来挑选，你会按什么数字特征来选择表演节目的同学？
【答案】（1）表演节目的同学是手上卡片分别写有-2，0，5的三位同学；（2）详见解析（答案不唯一）
【分析】（1）根据整数的定义即可确定是哪些同学表演节目；
（2）根据2人或者3人表演节目的要求确定数字的分类标准即可.答案不唯一.
【详解】解：（1）整数有5，-2，0，
所以表演节目的同学是手上卡片分别写有5，-2，0的三位同学，即三位同学．
（2）（答案不唯一）
例如：请卡片上数字为分数的同学表演节目，这样就是A、E两位同学表演节目；
或者卡片上数字为负数的同学表演节目，这样就是A、C两位同学表演节目.
【点睛】本题考查了有理数的分类，掌握有理数的分类标准是解题关键.有理数分为整数和分数，也可以分为正有理数、负有理数、0；正有理数可分为正整数和正分数，负有理数可分为负整数和负分数.
【变式5-2】在如图所示的方格中，填入相应的数，使它符合下列语句的要求：
①的正上方是一个负分数；②的左上方是一个正整数；③一个既不是正数又不是负数的数在的正下方；④的左边是一个正分数；⑤剩下的四格请分别填上正有理数和负有理数，使方格中正有理数与负有理数的个数相同．
【答案】本题考查了有理数的定义和分类，根据有理数的分类填入相应的数字即可．先根据前个条件分别填上符合条件的数，再根据第个条件将其余方格填上符合条件的数．
【详解】解：如图所示（答案不唯一）．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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