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1.2.4 绝对值的六大题型 一例三练（学生版）
（2026年7月）
【题型1 绝对值的定义】 2
【题型2 根据绝对值的意义求绝对值】 3
【题型3 根据去绝对值法则化简绝对值的式子】 3
【题型4 根据绝对值的非负性求值】 4
【题型5 解绝对值方程】 4
【题型6 绝对值的应用】 6
知识点1 绝对值的概念
绝对值的概念：
绝对值:一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫作数a的绝对值，记作|a|，读作“a的绝对值”.
拓展：（1）由于绝对值表示数轴上一个点与原点的距离，所以一个数的绝对值不可能是负数.
（2）一个数在数轴上对应的点离原点越近，它的绝对值越小;离原点越远，它的绝对值越大.
知识点2 绝对值的性质
绝对值的性质:一个正数的绝对值是它本身;一个负数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0.即
（3）如果a＜0，那么|a|＝-a.
拓展：
【题型1 绝对值的定义】
【例1】用数轴上的点表示下列各数，其中与原点距离最近的是（ ）
A．－3 B． C． D．2
【变式1-1】数轴上到原点距离为3个单位长度的点表示的数是_____.
【变式1-2】如图，实数，在数轴上对应点的位置，则_____（填“>”“<”或“=”）．
【变式1-3】已知，且，你会借助数轴，将a、b、、、0按从小到大的顺序排列吗？
分析、解题步骤如下：
(1)【理解概念】
数轴上表示一个数的点与 的距离叫做这个数的绝对值．
(2)【由数到形】
在数轴上先描出表示a、b的点A、B，再描出表示、的点C、D．
(3)【由形到数】
借助数轴，可将a、b、、、0按从小到大的顺序排列为 ．
【题型2 根据绝对值的意义求绝对值】
【例2】如图，数轴的单位长度为1，如果点B，C表示的数绝对值相等，那么点A表示的数为________．
【变式2-1】的绝对值是___．
【变式2-2】求下列各式的值：
(1)；
(2)；
(3)．
【变式2-3】（24-25七年级上·湖北荆州·期末）知道式子的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数3的点之间的距离是3，则式子的最小值（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【题型3 根据去绝对值法则化简绝对值的式子】
【例3】（24-25九年级下·江苏南京·阶段练习）已知，则的值为 ．
【变式3-1】数轴上表示数a的点如图所示．若，则a可以是______（写出一个满足条件的a即可）．
【变式3-2】若，则_________．
【变式3-3】（24-25七年级上·河南郑州·期中）已知两数在数轴上的位置如图所示，则化简代数式的结果是( )
A．1 B． C． D．
【题型4 根据绝对值的非负性求值】
【例4】若，一定是（　　）
A．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数
【变式4-1】若，则的值为_________．
【变式4-2】已知与互为相反数，则（ ）
A． B．1 C． D．2
【变式4-3】（24-25八年级下·山东潍坊·阶段练习）若，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【题型5 解绝对值方程】
【例5】已知a为有理数，则的最小值为__________．
【变式5-1】代数式的最小值是_____，的最小值是_____．
【变式5-2】已知、在数轴上分别表示、
(1)对照数轴填写下表：
6 2
4 0 4
、两点的距离 2 6 0
(2)若、两点间的距离记为，直接写出和、的数量关系______．
(3)如果的和最小时，整数有______．
(4)当为______时，代数式的最小值是7．
(5)式子有最值(最大值或最小值)吗？如果有，写出这个值并指出它是最大值还是最小值；
【变式5-3】如图，数轴上点表示数，点表示数，且、满足．
(1)______，______；
(2)线段在直线上运动，且点在点的右边，长为个单位长度，、分别是、的中点，判断的长度是否发生变化？如果不变，请求出的长度；如果有变化，请说明理由；
(3)动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，若点、同时出发，点运动多少秒时，、两点相距个单位长度？
【题型6 绝对值的应用】
【例6】试管是化学实验室中用于少量试剂的反应容器，某工厂在生产某种规格的试管时，规定：超过规格的记为“+”，不足规格的记为“”，在一次抽检中，小悦从该规格试管的包装箱中任取了8根试管，对其进行了测量，测量数据如下表：
试管序号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧
超过或不足长度/mm
(1)表中8个数，哪些数互为相反数（填序号即可）？
(2)在这8根试管中，从长度的角度看，最接近规格的是哪一根试管？并说明理由．
【变式6-1】中考所用排球的重量有严格标准，现有四个排球，超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，其中最接近标准质量的是（ ）
A．B．C． D．
【变式6-2】某检修小组从A地出发，在东西向的马路上检修线路，如果规定向东行驶为正，向西行驶为负，一天中七次行驶纪录如下．单位：．
第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 第七次
(1)在第几次记录时距A地最远？
(2)若汽车行驶每千米耗油0.3升，问从A地出发，检修结束后再回到A地共耗油多少升？
【变式6-3】某工厂生产一批零件，根据零件质量要求，零件的长度可以有的误差，现抽查5个零件，检查数据（超过规定长度的厘米数记作正数，不足规定长度的厘米数记作负数，单位：）如下：
零件号数 ① ② ③ ④ ⑤
数据
(1)符合要求的零件是哪几个？
(2)这5个零件中质量最好的是哪一个？
试卷第2页，共3页
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1.2.4 绝对值的六大题型 一例三练（教师版）
（2026年7月）
【题型1 绝对值的定义】 9
【题型2 根据绝对值的意义求绝对值】 11
【题型3 根据去绝对值法则化简绝对值的式子】 12
【题型4 根据绝对值的非负性求值】 14
【题型5 解绝对值方程】 16
【题型6 绝对值的应用】 20
知识点1 绝对值的概念
绝对值的概念：
绝对值:一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫作数a的绝对值，记作|a|，读作“a的绝对值”.
拓展：（1）由于绝对值表示数轴上一个点与原点的距离，所以一个数的绝对值不可能是负数.
（2）一个数在数轴上对应的点离原点越近，它的绝对值越小;离原点越远，它的绝对值越大.
知识点2 绝对值的性质
绝对值的性质:一个正数的绝对值是它本身;一个负数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0.即
（3）如果a＜0，那么|a|＝-a.
拓展：
【题型1 绝对值的定义】
【例1】用数轴上的点表示下列各数，其中与原点距离最近的是（ ）
A．－3 B． C． D．2
【答案】C
【详解】解：∵数轴上某点到原点的距离等于该点所表示的数的绝对值．
∴分别计算各选项的绝对值∶，，，．
比较大小得，
∴对应的点与原点距离最近．
【变式1-1】数轴上到原点距离为3个单位长度的点表示的数是_____.
【答案】
【分析】根据数轴上点到原点距离的定义，结合绝对值的性质求解，所求数的绝对值等于3，即可得到对应的数．
【详解】设该点表示的数为，由题意得，
解得或，
∴数轴上到原点距离为3个单位长度的点表示的数是．
【变式1-2】如图，实数，在数轴上对应点的位置，则_____（填“>”“<”或“=”）．
【答案】＜
【详解】解：∵，
∴．
【变式1-3】已知，且，你会借助数轴，将a、b、、、0按从小到大的顺序排列吗？
分析、解题步骤如下：
(1)【理解概念】
数轴上表示一个数的点与 的距离叫做这个数的绝对值．
(2)【由数到形】
在数轴上先描出表示a、b的点A、B，再描出表示、的点C、D．
(3)【由形到数】
借助数轴，可将a、b、、、0按从小到大的顺序排列为 ．
【答案】(1)原点
(2)图见解析
(3)
【分析】（1）根据绝对值的定义可以解答本题；
（2）根据题意可以画出相应的数轴；
（3）根据（2）中的数轴可以解答本题．
【详解】（1）解：数轴上表示一个数的点与原点的距离叫做这个数的绝对值；
（2）解：如图，点A、B、C、D即为所求；
（3）解：由数轴可得，．
【题型2 根据绝对值的意义求绝对值】
【例2】如图，数轴的单位长度为1，如果点B，C表示的数绝对值相等，那么点A表示的数为________．
【答案】
【分析】本题主要考查了数轴、用数轴表示有理数等知识点，确定点B表示的数是解题的关键．
由图可得，再由点B，C表示的数的绝对值相等，且点B在点C的左边，，即可得出点B所表示的数为，即可求出点A表示的数．
【详解】解：由点A、B在数轴上的位置可知，，
又∵由点B，C表示的数的绝对值相等，且点B在点C的左边，，
∴点B所表示的数为，
∴点A表示的数是．
故答案为：．
【变式2-1】的绝对值是___．
【答案】/
【详解】解：．
【变式2-2】求下列各式的值：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】根据绝对值的代数定义，是负数，绝对值为，是正数，绝对值为，的绝对值为．
【详解】（1）解：；
（2）解：；
（3）解：．
【变式2-3】（24-25七年级上·湖北荆州·期末）知道式子的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数3的点之间的距离是3，则式子的最小值（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】本题考查绝对值的意义，两点间的距离公式，根据绝对值的意义，得出的几何意义是数轴上表示数的点与表示数的点之间的距离与数轴上表示数的点与表示数的点之间的距离之和，说明当表示数x的点在表示数的点与表示数的点之间时，值最小，也即是表示数的点与表示数的点之间距离，求出结果即可．
【详解】解： 的几何意义是数轴上表示数的点与表示数的点之间的距离与数轴上表示数的点与表示数的点之间的距离之和，
当表示数x的点在表示数的点与表示数的点之间时，值最小，也即是表示数的点与表示数的点之间距离，
的最小值为，
故选：B．
【题型3 根据去绝对值法则化简绝对值的式子】
【例3】（24-25九年级下·江苏南京·阶段练习）已知，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了绝对值的性质，二次根式的性质，
根据x的取值范围，结合绝对值的性质，可得待求式，整理得出答案．
【详解】解：∵，
∴
故答案为：
【变式3-1】数轴上表示数a的点如图所示．若，则a可以是______（写出一个满足条件的a即可）．
【答案】（答案不唯一）
【分析】本题考查了用数轴上的点表示有理数，求一个数的绝对值等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解．
根据数轴上表示数a的点的位置及，写出一个满足条件的a即可．
【详解】解：∵，，
∴a可以是（答案不唯一），
故答案为：（答案不唯一）．
【变式3-2】若，则_________．
【答案】
【详解】解：∵，
∴，
∴．
【变式3-3】（24-25七年级上·河南郑州·期中）已知两数在数轴上的位置如图所示，则化简代数式的结果是( )
A．1 B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查数轴，绝对值以及整式的加减，理解数轴表示数的意义以及绝对值、合并同类项的法则是正确解答的关键．根据，两数在数轴上的位置，判断代数式，，的符号，再根据绝对值的意义计算即可．
【详解】解：由，两数在数轴上的位置，可知，，，且，
，，，
，
故选：B．
【题型4 根据绝对值的非负性求值】
【例4】若，一定是（　　）
A．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数
【答案】C
【分析】本题考查绝对值的性质．根据绝对值的定义分析a的取值范围即可求解．
【详解】解：∵
∴
∴
即a一定是非正数．
故选：C
【变式4-1】若，则的值为_________．
【答案】
【分析】本题考查了非负性的性质，解决本题的关键是求解出a与b的值．
利用绝对值和平方的非负性，和为零则每个部分为零，求出a和b的值运算即可．
【详解】解：∵，
∴且，
∴，，
解得，，
∴．
故答案为：．
【变式4-2】已知与互为相反数，则（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】C
【分析】本题考查了互为相反数的两个非负数的性质，求代数式的值，掌握互为相反数的两个非负数的性质是关键；根据互为相反数的条件，绝对值表达式均需为零，从而求出a和b的值，再代入计算．
【详解】解：∵与互为相反数，
∴；
∵且，
∴且，
∴且，
∴，
∴．
故选：C．
【变式4-3】（24-25八年级下·山东潍坊·阶段练习）若，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】此题考查了绝对值的非负性，解一元一次不等式，根据题意得到，进而求解即可．
【详解】∵
∴
∴．
故选：C．
【题型5 解绝对值方程】
【例5】已知a为有理数，则的最小值为__________．
【答案】1
【分析】本题考查绝对值的非负性．根据绝对值的非负性，，从而推导出表达式的最小值．
【详解】解：∵，
∴，
∴的最小值为1．
故答案为：1．
【变式5-1】代数式的最小值是_____，的最小值是_____．
【答案】0 3
【分析】根据绝对值的非负性求解即可．
【详解】解：∵，
∴的最小值为0；
∵，
∴，
∴的最小值是3．
【变式5-2】已知、在数轴上分别表示、
(1)对照数轴填写下表：
6 2
4 0 4
、两点的距离 2 6 0
(2)若、两点间的距离记为，直接写出和、的数量关系______．
(3)如果的和最小时，整数有______．
(4)当为______时，代数式的最小值是7．
(5)式子有最值(最大值或最小值)吗？如果有，写出这个值并指出它是最大值还是最小值；
【答案】(1)；；
(2)；
(3)；
(4)或；
(5)有最大值和最小值
【分析】本题考查了数轴上两点间的距离公式、绝对值的几何意义、绝对值的化简以及利用分类讨论思想求解绝对值表达式的最值问题，关键是将绝对值表达式转化为数轴上点与点之间的距离问题，借助几何意义简化计算与分析．
（1）根据数轴上两点间距离的计算方式，将给定的、值代入，通过求两数差的绝对值，直接计算出、两点的距离；
（2）从（1）的具体计算实例中归纳规律，提炼出数轴上两点间的距离与表示两点的数、的数量关系；
（3）的几何意义是数轴上表示的点到和3的点的距离之和，再根据几何特征确定当在和3之间(包括端点)时距离和最小，进而找出该范围内的整数即可；
（4）先将转化为，明确其几何意义为数轴上表示的点到和3的点的距离之和，再结合几何性质得出该距离和的最小值为两点间的距离，结合最小值为7列方程求解的值；
（5）先明确和的几何意义，再根据在数轴上的位置分左侧、与6之间、6右侧三类情况进行绝对值的化简，计算每类情况下表达式的值或取值范围，最终确定式子的最大值和最小值．
【详解】（1）解：当，时，、两点的距离为；
当，时，、两点的距离为；
故答案为：；；
（2）解：由数轴上两点距离的定义，可得和、的数量关系为；故答案为：；
（3）解：表示数轴上表示的点到表示和的点的距离之和，当在和之间(包括端点)时，距离之和最小，此时整数为；故答案为：；
（4）解：，其几何意义是数轴上表示的点到表示和的点的距离之和，
当在这两点之间时，距离之和最小，
最小值为，
则或，解得或；
故答案为：或；
（5）解：表示数轴上点到的距离，表示数轴上点到的距离．
①当点在的左侧，
，，
；
②当点在与之间（包含端点），
，，
，
此时；
③当点在的右侧，
，，
．
综上，式子有最值，最大值为，最小值为．
【变式5-3】如图，数轴上点表示数，点表示数，且、满足．
(1)______，______；
(2)线段在直线上运动，且点在点的右边，长为个单位长度，、分别是、的中点，判断的长度是否发生变化？如果不变，请求出的长度；如果有变化，请说明理由；
(3)动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，若点、同时出发，点运动多少秒时，、两点相距个单位长度？
【答案】(1)，
(2)的长度不发生变化，
(3)点运动秒或秒时，、两点相距个单位长度
【分析】本题主要考查数轴上两点距离、偶次幂及绝对值的非负性、整式加减的应用及一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意；
（1）根据偶次幂及绝对值的非负性可进行求解；
（2）由题意可设表示的数为，则表示的数为，则有表示的数为，表示的数为，然后问题可求解；
（3）设点运动秒时，、两点相距个单位长度，根据题意得，表示的数为，表示的数为，进而根据题意可列方程进行求解．
【详解】（1）解：，
，，
，；
故答案为：，；
（2）解：的长度不发生变化，理由如下：
设表示的数为，则表示的数为，
表示的数为，表示的数为，、分别是、的中点，
表示的数为，表示的数为，
；
的长度不发生变化，其值为11；
（3）解：设点运动秒时，、两点相距个单位长度，
根据题意得，表示的数为，表示的数为，
，
即或，
解得或，
点运动秒或秒时，、两点相距个单位长度．
【题型6 绝对值的应用】
【例6】试管是化学实验室中用于少量试剂的反应容器，某工厂在生产某种规格的试管时，规定：超过规格的记为“+”，不足规格的记为“”，在一次抽检中，小悦从该规格试管的包装箱中任取了8根试管，对其进行了测量，测量数据如下表：
试管序号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧
超过或不足长度/mm
(1)表中8个数，哪些数互为相反数（填序号即可）？
(2)在这8根试管中，从长度的角度看，最接近规格的是哪一根试管？并说明理由．
【答案】(1)互为相反数的有②与③，①与⑥，⑤与⑧
(2)最接近规格的是⑦号试管．理由见解析
【分析】本题主要考查绝对值以及相反数的定义，熟练掌握绝对值和相反数是解题的关键．
（1）根据相反数的定义即可得到答案；
（2）根据绝对值的定义进行判断即可．
【详解】（1）解：互为相反数的有②与③，①与⑥，⑤与⑧
（2）解：最接近规格的是⑦号试管．
理由：，，，，．
因为，所以最接近规格的是⑦号试管．
【变式6-1】中考所用排球的重量有严格标准，现有四个排球，超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，其中最接近标准质量的是（ ）
A．B．C． D．
【答案】D
【分析】根据绝对值的意义，即可解题．
【详解】解：，，，，
，
的排球最接近质量标准．
故选：D．
【点睛】本题考查了绝对值的实际意义，掌握绝对值的意义解题的关键．
【变式6-2】某检修小组从A地出发，在东西向的马路上检修线路，如果规定向东行驶为正，向西行驶为负，一天中七次行驶纪录如下．单位：．
第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 第七次
(1)在第几次记录时距A地最远？
(2)若汽车行驶每千米耗油0.3升，问从A地出发，检修结束后再回到A地共耗油多少升？
【答案】(1)第五次
(2)10.2升
【分析】本题考查了有理数的加法、正数和负数的实际应用及绝对值的实际应用，解题的关键是熟练掌握有理数的加法法则、正负数的意义、绝对值的意义，即可解决问题．
（1）分别写出各次记录时距离A地的距离，然后判断即可；
（2）把所有行驶记录的绝对值相加再加上回到A地的1千米的和，乘以0.3计算即可得解．
【详解】（1）解：第一次距A地千米；
第二次：千米；
第三次：千米；
第四次：千米；
第五次：千米；
第六次：千米；
第七次：千米．
∴第五次记录时离A地最远；
（2）解：从出发到收工汽车行驶的总路程：
（），
从出发到回到A地共耗油：（升）．
答：从出发到收工共耗油10.2升．
【变式6-3】某工厂生产一批零件，根据零件质量要求，零件的长度可以有的误差，现抽查5个零件，检查数据（超过规定长度的厘米数记作正数，不足规定长度的厘米数记作负数，单位：）如下：
零件号数 ① ② ③ ④ ⑤
数据
(1)符合要求的零件是哪几个？
(2)这5个零件中质量最好的是哪一个？
【答案】(1)①③④号零件符合要求
(2)③号零件质量最好
【分析】本题考查了正负数，绝对值．
（1）根据题意，超过部分为正，不足部分为负，绝对值小于的产品符合要求；
（2）根据绝对值越小，与规定直径的偏差越小，它们中绝对值最小的是质量最好的，从而得出答案．
【详解】（1）解：①，
②，
③，
④，
⑤，
故①③④号零件符合要求；
（2）解：因为，
所以③号零件质量最好．
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