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2025-2026学年广东广州市黄埔区下学期期末教学质量检测高二数学
一、单选题
1．已知等差数列的前项和为，，，则（ ）
A． B． C． D．
2．下列求导运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．某电子设备厂生产的芯片的某项质量指标服从正态分布．已知该芯片的质量指标在到之间为合格品，否则为次品．若从该厂生产的芯片中随机抽取一件，该芯片为次品的概率约为（ ）参考数据：若，则，，
A． B． C． D．
4．据统计某医院对患有某种疾病的青年患者治愈率为，中年患者治愈率为，老年患者治愈率为．该医院现患有此疾病的青年患者有10名、中年患者有40名、老年患者有50名，如果从中任选一名患者，则估计该患者的治愈率为（ ）
A． B． C． D．
5．甲、乙、丙、丁、戊五名教师带领学生参加校园植树活动，参加人员分成A，B，C，D四个小组，要求每个小组至少安排一名教师，每名教师只能去一个小组，那么甲恰好安排在A小组的不同安排方法数为（ ）
A．60 B．64 C．72 D．96
6．算力是人工智能大模型发展的基石，为模型训练提供计算资源支持．某科技公司在一定算力区间内进行某模型训练，统计得到算力投入（单位：PFLOPS）与模型训练效果得分的数据如下：
1 2 3 4 5
2 5 9 13
已知与之间满足线性相关关系，且，样本点处的残差（观测值减去预测值所得的差）为，则是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，某地有南北走向街道5条，东西走向街道6条，一快递员从该地西南角的餐厅B出发，送餐到东北角的A地，要求所走路程最短，则途经C地的概率是（ ）
A． B． C． D．
8．设直线与函数，的图象分别交于点，则达到最小时的值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．设，则下列结论正确的是（ ）
A． B．展开式中二项式系数最大的项为
C． D．
10．甲箱中有2个白球和3个黑球，乙箱中有3个白球和2个黑球．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，再从乙箱中随机取出一球．以分别表示从甲箱中取出的是白球，黑球的事件，以表示从乙箱中取出的是白球的事件，则下列结论正确的是（ ）
A．互斥 B． C． D．
11．有5张形状大小相同的卡片，分别标有数字1，2，3，4，5，从中有放回地随机取3次，每次取1张卡片．记X为这5张卡片中至少被取出1次的卡片的张数．则（ ）
A．恰有2次取到1号卡片的概率为
B．取到三张序号不同且序号从小到大的卡片的概率为
C．
D．
三、填空题
12．已知数列的首项，满足（），则这个数列的前项的和______．
13．展开式中项的系数为___________.
14．已知曲线与直线（）相切，且满足条件的的值有且只有个，则实数a的取值范围是______．
四、解答题
15．已知函数的两个极值点，且，记．
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)当分别取，时，求的值，请根据计算结果并结合函数图象，提出一个合理的猜想（不用证明）．
16．某社区卫生服务中心对社区老年人的健康情况与运动习惯的相关性进行调查，从辖区内随机抽取容量为200的样本，所得健康情况和运动习惯的样本观测数据表格如下：
运动习惯 健康情况 合计
良好 一般
经常运动 60 40 100
不经常运动 30 70 100
合计 90 110 200
附表：其中．
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
(1)依据的独立性检验，能否认为老年人的健康情况与运动习惯有关联？
(2)现从运动习惯为“经常运动”的样本中，按健康情况，采用样本量比例分配的分层随机抽样，抽取5人组成一个小组，从抽取的5人中再随机抽取3人参加健康讲座，求这3人中健康情况为“良好”的人数的分布列及数学期望．
17．已知等比数列的前项和为，满足，
(1)求数列的通项公式；
(2)若，且数列的前项和为，求证：．
18．已知函数．
(1)若函数在上单调递减，求的取值范围；
(2)若函数有两个极值点，求证：．
19．某种电路开关闭合后，会出现红灯或绿灯闪动，已知开关第一次闭合后，出现红灯和绿灯的概率分别是，．从开关第二次闭合起，若前次出现红灯，则本次出现红灯的概率是，出现绿灯的概率是；若前次出现绿灯，则本次出现红灯和绿灯的概率都是，记开关第次闭合后出现红灯的概率为，开关次（即从第1次到第次）闭合后出现红灯的总次数为
(1)求、；
(2)求；
(3)已知：若随机变量服从两点分布，且，则．求．
《广东广州市黄埔区2025-2026学年第二学期期末教学质量检测高二数学》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B D D C A C B A BCD AC
题号 11
答案 BCD
1．B
2．D
3．D
4．C
5．A
6．C
7．B
8．A
9．BCD
10．AC
11．BCD
12．26
13．42
14．
15．(1)在和上单调递增，在内单调递减．
(2)猜想：不论取何值时，
16．(1)认为老年人的健康状况与运动习惯有关联．
(2)
X 1 2 3
P
数学期望为
17．(1)
(2)
，结合（1）得，则，
因此
，则，即数列是递增数列，
又，，所以．
18．(1)
(2)证明：
若，即时，，此时的单调递减区间是；
若，即时，令，解得两根为，
因为函数有两个极值点，所以，即
易知，的单调递增区间为，
单调递减区间为，
所以当时，函数有两个极值点，且，
因为

要证，只需证
令
则
在上单调递增，又，，且在定义域不间断，由零点存在定理知在上有唯一实根，且，
则在上递减，在上递增，所以的最小值为．
因为，且
当时，
则，所以恒成立，所以
所以
19．(1)，；
(2)；
(3)

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