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2025-2026学年广东广州市三校联考高一下学期7月期末考试数学试题
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
2．已知甲、乙两人投篮命中的概率分别为和，且事件“甲命中”与“乙命中”是独立的，则甲、乙两人至少有一人命中的概率为（ ）
A．0.88 B．0.48 C．0.32 D．0.12
3．已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
4．已知正三棱台，，侧棱，则正三棱台的体积为（ ）
A． B． C． D．
5．已知四边形ABCD为平行四边形，，F为AC与DE的交点，则（ ）
A． B． C． D．
6．记，，分别为的内角，，的对边，且，，则的形状为（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．锐角或直角三角形
7．已知的定义域为，的图象关于点对称，，且的图象关于点对称，则（ ）
A．99 B．78 C．66 D．52
8．已知是函数的一个零点，当时，，则方程在区间内所有根的和为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知复数，其中，是虚数单位，则（ ）
A．当时，为纯虚数 B．当时，
C．当时， D．当时，
10．下列说法正确的是（ ）
A．在中，为的中点，则
B．在中，若，则是等腰三角形
C．已知，若与的夹角是钝角，则
D．在边长为6的正方形中，点在边上，且，点是中点，则
11．在矩形中，，，将沿折叠至，得到三棱锥，设球为三棱锥的外接球，则下列说法正确的是（ ）
A．若平面平面，则三棱锥的体积为
B．球的半径为1
C．若与BD的夹角的正切值为，则二面角的大小为
D．设分别为的中点，则直线被球所截长度的取值范围是
三、填空题
12．已知向量，则向量在方向上的投影的坐标是_______．
13．已知，，且，则的最小值为____________.
14．已知复数满足，记满足的复数组成的集合为.若且，则的取值范围是__________.
四、解答题
15．如图，正三棱柱中，，为的中点．
(1)求证：平面；
(2)求异面直线与所成角的余弦值．
16．学校在组织选拔数学弘毅班的过程中，对报名的50名学生进行了一次测试．已知参加此次测试的学生的分数全部介于45分到95分之间（满分100分），学校将所有测试分数分成5组：，，，，整理得到如图所示的频率分布直方图（同组数据以这组数据的中间值作为代表）．
(1)求的值，并估计此次数学测试分数的平均数与中位数．（中位数保留一位小数）
(2)若采用分层随机抽样的方法，从分数在内的学生中抽出5人，查看他们的答题情况，再从中选取2个人进行面试，求这2人中至少有一人分数在内的概率．
17．设锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
(1)求角A；
(2)若，求的面积S的取值范围；
(3)若的外接圆半径为，求内切圆半径的最大值．
18．如图，在五棱锥中，平面平面，，．四边形为矩形，且，，．
(1)证明：平面；
(2)若，求二面角的余弦值；
(3)求直线与平面所成角的正弦值的最小值．
19．对于一组向量、、、…、（且），令，如果存在，使得，那么称是该向量组的“长向量”．
(1)设，且，若是向量组、、的“长向量”，求实数的取值范围；
(2)若，且，向量组、、、…、是否存在“长向量”？给出你的结论并说明理由；
(3)已知、、均是向量组、、的“长向量”，其中，．设在平面直角坐标系中有一点列、、、…、，满足为坐标原点，为的位置向量的终点，且与关于点对称，与（且）关于点对称，求的最小值．
《广东广州市三校联考2025-2026学年高一下学期7月期末考试数学试题》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B A A C A C A D BCD BD
题号 11
答案 BCD
1．B
2．A
3．A
4．C
5．A
6．C
7．A
8．D
9．BCD
10．BD
11．BCD
12．
13．
14．
15．(1)证明：连接，交于点，连接，则为的中点，
又为的中点，所以．
因为平面，平面，所以平面．
(2)
16．(1)，平均数75分，中位数约为.
(2)
17．(1)
(2)
(3)
18．(1)证明过程见解析
(2)
(3)
19．(1)
(2)
存在“长向量”，且“长向量”为、，理由如下：
由题意可得，
若存在“长向量”，只需使，
又，
，
即，即，
当或6时，符合要求，故存在“长向量”，且“长向量”为、．
(3)

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