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浙教版数学8年级上册精做课件授课教师：.班级：8年级（）班.时间：.1.3证明第1章三角形的初步知识1.3证明同步练习题一、选择题（每题4分，共20分）1.下列关于“证明”的说法正确的是（）A.证明是通过观察猜测得出结论的过程B.证明是从已知条件出发，依据基本事实、定义、定理，推理得出结论的过程C.所有命题都不需要证明D.真命题不需要证明，假命题需要证明2.推理证明过程中，不能作为推理依据的是（）A.已知条件B.个人猜想C.基本事实D.已学定理、定义3.在几何证明的书写格式中，用来标注推理依据的内容是（）A.已知、求证B.因为、所以C.定义、定理、基本事实D.解题结论A.若∠1=∠2，∠2=∠3，则∠1=∠3 B.若∠1是锐角，∠2是锐角，则∠1=∠2C.两直线平行，同旁内角互补，所以同位角互余D.对顶角相等，所以相等的角是对顶角5.证明几何命题的基本步骤依次是（）①证明推理②写出已知、求证③得出结论④根据题意画图A.④②①③B.②④①③C.④①②③D.②①④③二、填空题（每题4分，共20分）6.几何命题证明的核心是________，每一步推理都要有________。7.由已知条件出发，一步步推导，最后得出结论成立的推理方式叫做________。8.证明“三角形的内角和为180°”时，常用的辅助线做法是________。9.在证明过程中，“∵”表示________，“∴”表示________。10.经过________的真命题叫做定理，定理可以作为后续推理证明的________。三、解答题（共60分）11.（18分）补全下列证明过程，填写推理依据。已知：如图，直线a∥b，直线c截a、b，求证：∠1=∠2。证明：∵a∥b（________），∴∠1=∠3（________）。又∵∠2=∠3（________），∴∠1=∠2（________）。12.（20分）完整证明命题：直角三角形的两个锐角互余。要求：写出已知、求证、完整推理过程及依据。13.（22分）如图，在△ABC中，∠B=40°，∠C=60°，AD平分∠BAC，求证：∠BAD=40°。参考答案及解析选择题：1.B 2.B 3.C 4.A 5.A解析：1.证明是严谨的逻辑推理过程，而非猜测；2.几何推理必须依据客观定义、定理、已知条件，个人猜想不能作为依据；4. B、C、D推理逻辑错误，不符合几何定理。填空题：6.逻辑推理、依据7.演绎推理8.过三角形顶点作对边平行线9.因为、所以10.证明、依据解答题11.已知；两直线平行，同位角相等；对顶角相等；等量代换。12.已知：在Rt△ABC中，∠C=90°。求证：∠A+∠B=90°。证明：∵三角形内角和为180°（三角形内角和定理），∴∠A+∠B+∠C=180°。又∵∠C=90°（已知），∴∠A+∠B=180°-90°=90°（等式性质），即直角三角形两锐角互余。13.证明：∵∠B=40°，∠C=60°（已知），∴∠BAC=180°-40°-60°=80°（三角形内角和定理）。∵AD平分∠BAC（已知），∴∠BAD=∠BAC÷2=40°（角平分线的定义），命题得证。课堂引入
“同学们，请仔细观察下面三张图片，这两条线是什么关系？
“为什么我们眼睛看到的，有时会和实际测量结果不一样？这说明什么？”
“在数学研究中，我们能仅仅依靠‘看起来像’‘感觉是’或者几次测量结果就下结论吗？”
新知探究
“仅仅依靠感官经验、少数几次操作或直观印象，在数学里是不够可靠的，甚至可能导致错误结论。为了追求知识的确定性和普遍性，数学家们发展了一种严谨的、讲道理的思维方式——证明。”
知识归纳：通过实验、观察、归纳得到的结论可能正确,也可能不正确。因此,要判断一个命题是真命题,往往需要从命题的条件出发,根据已知的定义、基本事实、定理(包括推论),一步一步推得结论成立。这样的推理过程叫作证明
今天我们就一起来揭开数学证明的神秘面纱，看看它是如何像侦探破案一样，依靠确凿的证据（已知定义、公理、定理）和严密的逻辑推理，得到无可辩驳的结论的。”
新知探究
(1)按题意画出图形。
(2)分清命题的条件和结论,结合图形,在“已知”中写出条件,在“求证”中写出结论。
证明几何命题时,表述格式一般是:
在“证明”中写出推理过程。在解决几何问题时,有时需要添加辅助线。添辅助线的过程要写人证明中。辅助线通常画成虚线。
C
返回
1．
如图，在△ABC中，D是BC边上的点(不与B，C重合)，连结AD，下列表述错误的是(　　)
A．若AD是BC边的中线，则BC＝2CD
B．若AD是BC边的高线，则ADC．若AD是∠BAC的平分线，则△ABD与△ACD的面积相等
D．若AD最短且AB≠AC，则AD为BC边的高线
典例分析
（教材母题）例1 如图所示，DE∥BC，∠1=∠E，求证明：BE平分∠ABC
证明：因为DE∥BC（已知）
所以∠2=∠E（两直线平行，内错角相等）
又因为∠1=∠E（已知）
∴∠1=∠2
所以BE平分∠ABC（角平分线的定义）
回顾平行线的性质：①两直线平行，同位角相等；②两直线平行，内错角相等；③两直线平行，同旁内角互补
回顾角平分线的性质：角平分线分出来的两个角相等，提供证明思路。
变式训练
（教材母题）已知：如图所示AB∥CD，EP、FP分别平分∠BEF，∠DFE，求证：PEF+∠PFE=90°
证明：EP、FP分别平分∠BEF，∠DFE（已知）
∴∠PEF=∠BEF，∠PFE=∠DFE（角平分线的定义）
∵AB∥CD（已知）
∴∠BEF+∠DFE=180°（两直线平行，同旁内角互补）
∴∠PEF+∠PFE=∠BEF+∠DFE=(∠BEF∠DFE)=×180°=90°
回顾平行线的性质：①两直线平行，同位角相等；②两直线平行，内错角相等；③两直线平行，同旁内角互补
回顾角平分线的性质：角平分线分出来的两个角相等，提供证明思路。
新知概况
课堂活动：神秘的“外来角”与“留守角”
同学们，欢迎来到神奇的‘三角形世界’！在前面的学习中，我们认识了三角形家族的一个基本秘密——内角和定理。
情境唤醒 ： 概念回顾
D
外角
我们还认识了一种出现在三角形边界上的特殊角度——外角
如图所示，延长AB与点D，在点B处除了∠ABC以外还有一个角是∠CBD，这样的角
叫做三角形的外角。一个三角形有6个外角。
新知概况
课堂活动：神秘的“外来角”与“留守角”
聚焦观察 ： 提出问题
提问1：在顶点B，外角∠ABD和它的邻居——相邻的内角∠ABC之间有什么关系呢？”
∠ABC+∠CBD=180°,三角形一个内角与他相邻的外角互补
思考：三角形还有另外两个内角——顶点A的内角∠BAC和顶点C的内角∠ACB。它们都在“家”的内部，远离这个‘外来者’∠CBD。”,这三个角之间又有什么关系呢？
新知概况
课堂活动：神秘的“外来角”与“留守角”
动手测量 ： 发现线索
动手操作：分小组活动，每组成员各随意画出2个三角形，用量角器量出三角形的三个内角（∠A、∠B、∠C）和∠B的外角度数。
∠A ∠B ∠C ∠B的外角 ∠A+∠C
通过测量我们发现：∠B的外角等于∠A+∠C；所以得出三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。
典例分析
例2 如图，在四边形ABCD中，E是BC延长线的一点，连接AE交CD与点F，若∠B=∠D，∠1+∠2=180°
（1）若∠E=25°，∠D=60°，求∠2的度数；
解：∵∠1=∠AFC，∠1+∠2=180°；∴∠AFC+∠2=180°
∴AB∥CD；∴∠DCE=∠B；∵∠D=∠DCE=60°
∵∠1=∠DCE+∠E，∠E=25°，∴∠1=60°+25°=85°
∵∠1+∠2=180°，∴∠2=180°-∠1=180°-85°=95°
（2）判断AD与BC的位置关系，说明理由
解：AD∥BC，理由如下
由（1）可知AB∥CD，∴∠B=∠DCE，∵∠B=∠D
∴∠D=∠DCE，∴AD∥BC
对顶角相等
两直线平行，同位角相等
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和
变式训练
如图，已知，BD是△ABC的角平分线，且AD=DB=BC，求△ABC的各个内角的度数
①三角形的三条中线都在三角形内。
②三角形的三条中线交于一点，该点叫做三角形的重心
解：∵BD=BC=AD，BD平分∠ABC
∴∠C=∠BDC，∠A=∠ABD=∠CBD;
∴∠ABC=2∠A，∵∠BDC=∠A+∠ABD=2∠A;
∴∠C=∠BDC=2∠A；∵∠A+∠ABC+∠C=180°；
∴∠A+2∠A+2∠A=180°，∴∠A=36°
∴∠ABC=∠C=2∠A=72°
角平分线的性质：角平分线分出的两个角相等
等腰三角形的性质：等边对等角
变式训练
三角形的中线将三角形分成面积相等的两个三角形
为了验证如图所示的四边形ABCD中AB与CD所在直线的夹角是否为50°，如下方案
方案一 :测量出ㄥB和ㄥC的度数
方案二:测量出ㄥA和ㄥD的度数
下列判断正确的是( )
A.方案一正确、方案二正确
C.方案一正确、方案二不正确
B.方案一不正确、方案二正确
D.方案一不正确、方案二不正确
解：（1）测量∠B和∠C，利用三角形内角和即可得出AB和CD的夹角；
（2）测量∠A和∠D，利用邻角互补可得到∠A和∠D的外角，再根据三角形内角和定理即可；
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B
2．
下列推理正确的是(　　)
A．因为∠1＋∠2＝90°，∠2＋∠3＝90°，所以∠1＋∠3＝90°
B．因为∠1＋∠3＝90°，∠3＋∠2＝90°，所以∠1＝∠2
C．因为∠1与∠2是对顶角，∠2＝∠3，所以∠1与∠3是对顶角
D．因为∠1与∠2是同位角，∠2与∠3是同位角，所以∠1与∠3是同位角
D
返回
3．
[2025杭州月考]将一块直角三角板ABC按如图所示放置，其中∠ABC＝30°，A，B两点分别落在直线m，n上，∠1＝20°，要得到m∥n，添加的条件可以是(　　)
A．∠2＝20°
B．∠2＝30°
C．∠3＝30°
D．∠3＝50°
4．
已知：如图，△ABC中，AC⊥BC.F是边AC上的点，连结BF，作EF∥BC且交AB于点E.过点E作DE⊥EF，交BF于点D. 求证：∠1＝∠EDF.
下面是证明过程，请在横线上填上适当的推理结论或推理依据．
证明：因为AC⊥BC(已知)，
所以∠ACB＝90°(垂直的定义)．
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因为EF∥BC(已知)，
所以∠AFE＝______＝90°(______________________)．
因为DE⊥EF(已知)，
所以∠DEF＝90°(垂直的定义)．
所以∠AFE＝∠DEF(等量代换)，
所以______∥______(_______________________)．
所以∠1＝∠EDF(______________________)．
∠ACB 两直线平行，同位角相等
DE AC 内错角相等，两直线平行
两直线平行，内错角相等
5．
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【证明】因为∠ABC＋∠BAC＋∠C＝180°，∠AOB＋∠OAB＋∠OBA＝180°，∠OAB＝∠BAC－∠2，∠OBA＝∠ABC－∠1，
所以∠AOB＝180°－∠OBA－∠OAB＝180°－(∠ABC－∠1)－(∠BAC－∠2)＝180°－∠ABC－∠BAC＋∠1＋∠2＝∠1＋∠2＋∠C.
如图，O是△ABC内一点，求证：∠AOB＝∠1＋∠2＋∠C.
6．
[2025宁波月考]如图所示，已知在△ABC，△CDE中，∠ACB＝∠DCE＝90°，∠B＝45°，∠D＝30°，过点C作CF平分∠DCE交DE于点F.
(1)求证：CF∥AB；
(2)求∠DFC的度数．
【解】由(1)知，∠FCE＝45°，所以∠DCF＝45°.
因为∠D＝30°，
所以∠DFC＝180°－∠D－∠DCF＝180°－30°－45°＝105°.
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7．
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B
如图，l1∥l2，下列式子成立的是(　　)
A．∠α＋∠β＋∠γ＝180°
B．∠α＋∠β－∠γ＝180°
C．∠β＋∠γ－∠α＝180°
D．∠α－∠β＋∠γ＝180°
8．
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C
某餐馆新推出了一种包含M，N，P，Q，R，S六种特色菜的点菜套餐，针对这种套餐，顾客需根据如下规则点菜：
①不能同时点M和N；②如果点了P，就要点Q或R；
③在Q和S中必须点一个，且只能点一个．
则以下组合中，符合该套餐的点菜规则的是(　　)
A．Q，M，N B．S，N，P
C．P，N，Q D．M，P，R
9．
【证明】因为∠ACB＝90°，
所以∠A＋∠B＝180°－90°＝90°.
因为∠ACD＝∠B，所以∠A＋∠ACD＝90°，
所以∠ADC＝180°－(∠A＋∠ACD)＝90°，所以CD⊥AB.
如图，已知在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上一点，∠ACD＝∠B.
(1)求证：CD⊥AB；
(2)将△ACD沿CD所在直线翻折，点A落在BD边所在直线上，记为点A′.
①若∠B＝32°，求∠A′CB的度数；
【解】因为CD⊥AB，
所以易得∠BCD＝90°－∠B＝90°－32°＝58°.
由折叠可得∠DCA′＝∠DCA.
因为∠ACD＝∠B＝32°，所以∠DCA′＝32°.
所以∠BCA′＝∠BCD－∠DCA′＝58°－32°＝26°.
②若∠B＝α，则∠BCA′的度数为___________________(用含α的代数式表示)．
90°－2α或2α－90°　
【点拨】
易知∠DCA′＝∠ACD＝∠B＝α.因为∠ACB＝90°，
所以∠BCD＝90°－∠DCA＝90°－α.
当0°<α≤45°时，A′在线段BD上，
∠BCA′＝∠BCD－∠DCA′＝90°－α－α＝90°－2α；
当45°<α<90°时，A′在DB的延长线上，
∠BCA′＝∠DCA′－∠BCD＝α－(90°－α)＝2α－90°.
所以∠BCA′的度数为90°－2α或2α－90°.
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10．
如图，BE平分∠CBD，交DF于点E，点G在线段BE上(不与点B，E重合)，连结DG，已知∠BEF＋∠DBE＝180°.
(1)试判断AC与DF是否平行，并说明理由；
(2)探索∠ABG，∠BGD，∠GDE三者之间的等量关系，并说明理由；
【解】∠ABG＋∠BGD－∠GDE＝180°.
理由：如图，过点G作GH∥AC交BD于点H.
则∠ABG＋∠BGH＝180°.
由(1)知AC∥DF，所以GH∥DF，所以∠DGH＝∠GDE，
所以∠ABG＋∠BGD－∠GDE＝∠ABG＋∠BGH＋∠DGH－∠GDE＝∠ABG＋∠BGH＝180°.
【点拨】
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课堂小结
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。
三角形外角性质
通过实验、观察、归纳得到的结论可能正确,也可能不正确。因此,要判断一个命题是真命题,往往需要从命题的条件出发,根据已知的定义、基本事实、定理(包括推论),一步一步推得结论成立。这样的推理过程叫作证明
证明的概念
延长AB与点D，在点B处除了∠ABC以外还有一个角是∠CBD，这样的角
叫做三角形的外角。
三角形外角的概念
01
02
03
04

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