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浙教版数学8年级上册精做课件授课教师：.班级：8年级（）班.时间：.2.2等腰三角形第2章　特殊三角形2.2等腰三角形同步练习题一、选择题（每题4分，共20分）1.下列关于等腰三角形的定义正确的是（）A.三个角相等的三角形B.有两条边相等的三角形C.有一个角是锐角的三角形D.有三条边相等的三角形2.等腰三角形的对称轴条数为（）A. 1条B. 2条C. 3条D.无数条3.已知等腰三角形的两边长分别为4cm和8cm，则它的周长为（）A. 16cm B. 20cm C. 16cm或20cm D.无法确定4.等腰三角形的一个底角为50°，则它的顶角为（）A. 50°B. 60°C. 80°D. 100°5.下列说法错误的是（）A.等腰三角形是轴对称图形B.等腰三角形两底角相等C.等腰三角形的两腰相等D.等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合二、填空题（每题4分，共20分）6.等腰三角形中，相等的两条边叫做________，另一条边叫做底边。7.等腰三角形的两个底角________，简称为________。8.等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高________，这一性质叫做“三线合一”。9.若等腰三角形的顶角为70°，则它的一个底角度数为________°。10.等边三角形是特殊的________三角形，它的三条边都相等，三个角都是60°。三、解答题（共60分）11.（18分）已知等腰△ABC中，AB=AC，∠B=65°，求∠C和∠BAC的度数。12.（20分）已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线。求证：AD⊥BC。要求：书写规范完整的证明过程，标注推理依据。13.（22分）一个等腰三角形的周长为28cm，一边长为8cm，求该等腰三角形的另外两边长。参考答案及解析选择题：1.B 2.A 3.B 4.C 5.D解析：3.分类讨论：若腰长为4cm，4+4=8，不满足三角形三边关系，舍去；若腰长为8cm，周长=8+8+4=20cm。5.等腰三角形顶角平分线、底边上的高、底边上的中线三线合一，并非所有的高、中线、角平分线都重合。填空题：6.腰7.相等、等边对等角8.互相重合9. 55 10.等腰解答题11.解：∵AB=AC（已知），∴∠C=∠B=65°（等边对等角）。∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-65°-65°=50°。12.证明：∵AB=AC（已知），AD是BC边上的中线（已知），∴AD⊥BC（等腰三角形三线合一性质）。13.解：分两种情况讨论：①若8cm为底边长，则腰长=(28-8)÷2=10cm，三边长为10cm、10cm、8cm，符合三边关系；②若8cm为腰长，则底边长=28-8×2=12cm，三边长为8cm、8cm、12cm，符合三边关系。综上，另外两边长为10cm、10cm或8cm、12cm。课堂导入
同学们，仔细观察这些图片，它们在结构上有什么共同特点？
屋顶的侧面是一个等腰三角形
金字塔的每一个面都是等腰三角形
等腰三角形有什么特点呢，同学们交流一下
知识回顾
有两边相等的三角形叫作等腰三角形，在△ABC中，AB＝AC，△ABC是等腰三角形
等腰三角形中，相等的两条边称为这个三角形的腰，另一边叫做底边。
腰
腰
底边
两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。
底角
底角
顶角
做一做
如图，点 D 在 AC 上，AB＝AC，AD＝BD。你 能在图中找到几个等腰三角形？分别说出每个等腰三角形的腰、底边和顶角。
因为AB=AC，所以△ABC是等腰三角形
腰：AB、AC，底边：BC，顶角：∠A
因为AD=BD，所以△ADB是等腰三角形
腰：AD、DB，底边：AB，顶角：∠ADB
例1如图，已知锐角△ABC，请用尺规作图法，在△ABC内部求作一点P，使△ABP，△CBP都是等腰三角形．（保留作图痕迹，不写作法）
典例分析
分析：本题考查了等腰三角形的性质，垂直平分线的性质和作法，分别作AB、BC边的垂直平分线相较于点P，连接AP、BP、CP即可
P
变式训练
如图，图1、图2、图3是三张形状、大小完全相同的方格纸，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画出图形．
在图1中，以AB为腰画一
个等腰锐角三角形△ABC
在图2中，以AB为腰画一
个等腰直角三角形△ABD
在图3中，以AB为腰画一
个等腰钝角三角形△ABE
C
D
E
B
返回
1．
如图，D是△ABC的BC边上一点，AB＝BC，AC＝BD＝AD，则图中等腰三角形的个数是(　　)
A．2
B．3
C．1
D．0
返回
A
2．
如图，在等腰三角形ABC中，点D是底边BC上一点，将△ABD沿AD折叠，点B与点C重合，则下列结论不一定成立的是(　　)
A．AD＝BD
B．BD＝CD
C．∠1＝∠2　
D．∠B＝∠C
例2 在△ABC中，AB=AC，AC边上的中线BD把△ABC的周长分为24cm和30cm的两部分，求BC的长．
典例分析
解：∵BD为AC边上的中线，所以AD=DC=AC
又∵AB=AC，∴AB=2AD
分两种情况讨论：
①当AB+AD=24cm，2AD+AD=24cm
解得AD=8cm，CD=8cm，∵BC+CD=30cm
∴BC=30-CD=22cm
②当AB+AD=30cm时，2AD+AD=30cm
解得AD=10cm，∴CD=10cm
∵BC+CD=24cm，∴BC=24-CD=14cm
∴BC的长为14cm或22cm
因为不知道哪部分是24cm，哪部分是30cm，所以需要分情况讨论
变式训练
将一台带有保护套的平板电脑按图1所示的方式放置在水平桌面上，其侧面示意图如图2所示，经测量，得到AB=10cm，BC=12cm．若移动支点C的位置，使△ABC是一个等腰三角形，则△ABC的周长为（ ）
A .32cm B .34cm C . 32cm或36cm D . 32cm或34cm
D
当AB=AC=10,
周长为10+10+12=32
当BC=AC=10,
周长为10+12+12=34
例3 如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，CD∥AB，DE⊥AC，垂足为E，且AB=CE，连接AD求证：△ACD为等腰三角形．
典例分析
根据CD∥AB，所以∠DCA=∠BAC
由平行线的性质推出∠BAC=∠DCE，由垂直的定义得到∠B=∠DEC=90°，判定△ABC≌△CED（ASA），推出AC=CD即可求证
证明：∵CD∥AB，∴∠BAC=∠DCE，∵DE⊥AC
∴∠B=∠DEC=90°
∵AB=CE，∴△ABC≌△CED（ASA）
∴AC=CD
∴△ACD是等腰三角形
要证明等腰三角形，只需要证明两腰相等
变式训练
如图，已知：△ABC和△ADE都是等腰三角形，且∠BAC和∠DAE都是顶角且∠BAC=∠DAE．求证：BD=CE
由等腰三角形的性质可得AD=AE，AB=AC，求出∠CAE=∠DAB，再证明△DAB≌△EAC（SAS）,即可得证。
证明：∵△ABC和△ADE都是等腰三角形，且∠BAC和∠DAE都是顶角且∠BAC=∠DAE
∴AD=AE，AB=AC，∠BAC-∠BAE=∠DAE-∠BAE
∴∠CAE=∠DAB
在△DAB和△EAC中，,△DAB≌△EAC（SAS）
∴DB=CE
新知探究
在透明纸上任意画一个等腰三角形 ABC，画出它的顶角平分线AD，然后沿着AD所在的直线把△ABC 对折。你发现了什么？由此你得出什么结论？
因为∠BAD＝∠CAD，所以射线AB与AC重合。又因为AB＝AC，所以点 B 与点 C 重合，即直线 AD 两侧的图形能够完全重合。
等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线所在的直线是它的
对称轴。
新知探究
三条边都相等的三角形叫作等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形
特性 等腰三角形 等边三角形
边 两边相等 三边相等
角 两底角相等 三个角均为60°
对称轴 1条对称轴 3条对称轴
三边相等，AB=AC=BC
60°
60°
60°
例3 如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A和B是两个格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则点C的个数为_________．
典例分析
C1
C2
C3
C4
C5
5个
变式训练
如图，点M、N是方格纸中的两个格点（即正方形的顶点），在这个4×4方格纸中，找出格点P使△MNP为等腰三角形，那么满足条件的格点P的个数 。
P1
P2
P3
P4
P5
5个
例4 如图，已知△ABC和△ADE，点C在边AD上，AB=AD，∠B=∠D，BC=DE，若∠BAC=60°，求∠ACE的度数．
典例分析
根据SAS证明△ABC≌△ADE，由全等三角形的性质得AC=AE，∠BAC=∠DEA=60°，即可证△ACE为等边三角形，根据等边三角形的性质即可求解。
解：在△ABC和△ADE中，,
∴△ABC≌△ADE（SAS）
∴AC=AE，∠BAC=∠DAE=60°
∴△ACE是等腰三角形。∴∠ACE=60°
8或7
返回
3．
[2025宁波期末]若(a－2)2＋|b－3|＝0，则以a，b为边长的等腰三角形的周长为________．
4．
返回
【证明】因为AD平分∠BAC，
所以∠BAD＝∠CAD.
又因为AB＝AC，AD＝AD，
所以△ABD≌△ACD(SAS)．
所以DB＝DC.所以△DBC是等腰三角形．
如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，求证：△DBC是等腰三角形．
5．
返回
【解】如图，当a为腰，b为底边时，
△ABC即为所求作；当a为底边，
b为腰时，△EFG即为所求作．
如图，已知线段a，b，求作：以a，b为边的等腰三角形．(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)
6．
返回
C
已知△ABC的三边长a，b，c满足(a－b)2＋|b－c|＝0，则△ABC是(　　)
A．直角三角形
B．等腰三角形
C．等边三角形
D．以上都不对
7．
返回
3
等边三角形ABC的各边长如图所示，那么y的值为__________．
8．
返回
B
四边形ABCD的边长如图所示，对角线AC的长度随四边形形状的改变而变化．当△ABC为等腰三角形时，对角线AC的长为(　　)
A．2
B. 3
C. 4
D. 3或4
9．
返回
A
等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成1∶2两部分，已知这个等腰三角形的周长为72 cm，则这个等腰三角形的底边长为(　　)
A．8 cm
B．20 cm
C．40 cm
D．8 cm或40 cm
10．
返回
A
[2025湖州吴兴区模拟]如图，在△ABC中，AB＝AC，F是BC边上任意一点，过点F作FD⊥AB于点D，FE⊥AC于点E，若S△ABC＝40，FE＋FD＝8，则AB的长为(　　)
A．10　 　
B．12　 　
C．14　 　
D．16
11．
返回
4
如图，标号为①，②，③，④的四个直角三角形和标号为⑤的正方形恰好拼成四边形ABCD，相邻图形之间互不重叠也无缝隙，①和②是等腰直角三角形，E，F，G，H分别在边BF，CG，DH，AE上．
若EF＝3 ，AE＋FC＝11 ，
则BE的长是_______.
12．
【解】如图，BD，CE即为所求作．
求证：等腰三角形两腰上的高相等．
(1)如图，用直尺和圆规作出AC，AB边上的高线BD，CE.(要求：只保留作图痕迹)
(2)根据所作图形，将下列“已知，求证”补充完整，并写出证明过程．
已知：在△ABC中，________，BD⊥AC，CE⊥AB，垂足分别为D，E.
求证：________．
AB＝AC
BD＝CE
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13．
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【解】如图，点P即为所求．
现有两个比赛场地A，B位于两条公路OC，OD之间的地带，要建一座物流中转站P，若要求中转站P到两条公路OC，OD的距离相等，且到两个比赛场地A和B的距离相等，请用尺规作出点P的位置(不写作法，保留作图痕迹)．
课堂小结
边长判定：
若三角形有两条边相等 → 等腰三角形；
若三条边均相等 → 等边三角形。
角度判定（初步）：
若三角形有两个角相等 → 等腰三角形（不展开证明）；
若三个角均为60° → 等边三角形。
简单分类与识别方法
等腰三角形：有且只有两条边长度相等的三角形，相等的边称为腰，第三边称为底边，两腰的夹角为顶角，底边对的两个角为底角。
等边三角形：三条边长度均相等的三角形（是等腰三角形的特例），其三个内角均为60°。
基础定义与构成要素
等腰三角形：
具有1条对称轴（顶角平分线所在直线，同时也是底边的垂直平分线、中线和高）。通过折叠可验证两底角重合，体现对称性。
等边三角形：具有3条对称轴（每条边的垂直平分线），旋转对称性为120°。所有边长、角度均相等，结构完全对称。
直观特征与对称性
01
03
04
02

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