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浙教版数学8年级上册精做课件授课教师：.班级：8年级（）班.时间：.1.7角平分线的性质第1章三角形的初步知识1.7角平分线的性质同步练习题一、选择题（每题4分，共20分）1.下列关于角平分线的说法正确的是（）A.角平分线是一条直线B.角平分线将角分成两个度数相等的角C.角平分线只能平分直角D.角平分线上的点到角两边的距离不相等2.角平分线的性质定理是（）A.角平分线上的点到角两边的距离相等B.角平分线上的点到角顶点的距离相等C.角两边上的点到角平分线距离相等D.以上都不对3.已知OC平分∠AOB，点P在OC上，PM⊥OA，PN⊥OB，若PM=5cm，则PN的长为（）A. 3cm B. 5cm C. 10cm D.无法确定4.若一点在一个角的内部，且到角的两边距离相等，则该点一定在（）A.角的一边上B.角的平分线上C.角的外部D.任意位置5.如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，下列结论错误的是（）A. DE=DF B. ∠BAD=∠CAD C. DE+DF=AD D.△ADE和△ADF可证全等二、填空题（每题4分，共20分）6.角平分线的定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成________的两个角的射线，叫做这个角的平分线。7.角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的________相等。8.角平分线的逆定理：在一个角的内部，到角两边距离相等的点，在这个角的________上。9.已知OC平分∠AOB，∠AOB=76°，则∠AOC=________°。10.三角形的三条角平分线交于一点，该点到三角形________的距离相等。三、解答题（共60分）11.（18分）根据角平分线性质完成计算。已知：OC平分∠AOB，点P在OC上，PM⊥OA于M，PN⊥OB于N，PM=8cm。（1）求PN的长度；（2）若∠AOB=100°，求∠COP的度数。12.（20分）已知：AD平分∠BAC，DB⊥AB，DC⊥AC。求证：DB=DC。要求：书写规范完整的证明过程，标注每一步推理依据。13.（22分）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，△ABC的面积为30cm ，AB=8cm，AC=7cm，求DE的长度。参考答案及解析选择题：1.B 2.A 3.B 4.B 5.C解析：5.根据角平分线性质可得DE=DF，角度相等可证三角形全等，但DE+DF与AD无固定数量关系，故C错误。填空题：6.度数相等7.距离8.平分线9. 38 10.三边解析9.角平分线平分内角，∠AOC=∠AOB÷2=76°÷2=38°。解答题11.解：（1）∵OC平分∠AOB，点P在OC上，PM⊥OA，PN⊥OB，根据角平分线性质，∴PN=PM=8cm；（2）∵OC平分∠AOB，∴∠AOC=∠BOC=100°÷2=50°，即∠COP=50°。12.证明：∵AD平分∠BAC（已知），DB⊥AB，DC⊥AC（已知），根据角平分线的性质定理，∴DB=DC。13.解：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF（角平分线性质）。S△ABC=S△ABD+S△ACD，即30=$$\frac{1}{2}$$×AB×DE+$$\frac{1}{2}$$×AC×DF。代入数据得30=4DE+3.5DE，解得DE=4cm。课堂导入
我国纸伞的结构十分巧妙。如图，伞不管是张开还是收拢，伞柄 AP 始终平分同一平 面 内 两 条 伞 骨 所 成 的 角∠BAC，且 AE＝AF，DE＝DF，从而保证伞圈D能沿着伞柄滑动。为什么？
利用前面学的全等，可以得到△AED≌△AFD,∴∠EAD=∠DAF，AD是∠BAC 的平分线
旧知复习
同学们分别准备一个内角为30°、90°、120°的三角形，通过对折这个内角，使得角两边重合，折痕即为这个内角的角平分线。
角平分线的定义：一条射线将一个角分成两个相等的角，这条射线称为该角的角平分线。
数学表示：若射线OC是∠AOB的平分线，则∠AOC = ∠BOC = ∠AOB。
新知探究
尺规作图作角平分线
已知∠BAC（如图所示），用直尺和圆规作∠BAC的平分线AD。
分析：如果能找到∠BAC 的平分线上一点 D，那么射线 AD 就是∠BAC 的平分线。由于角平分线把角分成两个相等的角，因此可以想象通过作两个全等三角形来作出点D。
1.以点A为圆心，适当长为半径作弧，与角的两边分别交于E，F两点。
2.分别以 E、F 为圆心，大于 EF 长为半径作弧，两条弧交于∠BAC 内一点D。
3.作射线AD。射线AD就是所求作的∠BAC的平分线。
新知探究
同学们自己在作业本上画出一个角的角平分线，在角平分线上分别取三个点P1、P2、P3，通过P1、P2、P3作OA垂线，垂足为A1、A2、A3，作OB的垂线，垂足为B1、B2、B3，将测量数据填入下面表格。
第一次 第二次 第三次
P1A1 P2A2 P3A3
P1B1 P2B2 P3B3
P1A1=P1B1 , P2A2=P2B2 , P3A3=P3B3
新知探究
任意作一个角，记为∠BAC，P 是∠BAC 的平分线上的一点，PB⊥AB 于点 B，PC⊥AC 于点 C。比较PB和PC的大小，并证明你的结论。
证明：∵AP是∠CAB的平分线 ∴∠CAP=∠PAB，
又∵PB⊥AB，PC⊥AC，∴∠PCA=∠PBA=90°
在△APC和△APB，
∴△APC≌△APB,∴PC=PB
角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等。
C
返回
1．
观察下列作图痕迹，所作线段CD为△ABC的角平分线的是(　　)
返回
A
2．
如图，已知在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝76°，按如下步骤作图：①以点A为圆心，1个单位长度为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N；②分别以点M，N为圆心，1.5个单位长度为半径画弧，两弧交于点P；③作射线AP，交CN于D，则∠CDA的大小是(　　 )
A．82° B．87°
C．93° D．98°
例1如图，某电信部门要在公路m、n之间修建一座电视信号发射塔，按照设计要求，发射塔到两个村庄A、B的距离相等，到公路m、n的距离也相等，问：发射塔应建在什么位置？请用尺规作图法，在图中用点P表示出发射塔应建的置．（保留作图痕迹，不写作法）
典例分析
发射塔的位置
垂直平分线性质：垂直平分线上的点到两端点的距离相等，所以作垂直平分线
角平分线的性质：角平分线上的点到两边的距离相等，所以作角平分线
变式训练
如图，在△ABC中，∠C=80°，∠B=40°，请用尺规作图法在边BC上确定点D，连接AD，使得∠ADC=70°．（保留作图痕迹，不写作法）
D
作∠BAC的平分线交BC于点D，可得∠BAD=∠BAC=30°，则∠ADC=∠B+∠BAD=70°，则点D即为所求。
解：如图，作∠BAC的平分线BC于点D，
∵∠C=80°，∠B=40°，
∴∠BAC=60°，
∴∠BAD=∠BAC=30°
∴∠ADC=∠B+∠BAD=70°
则点D即为所求
例2 如图，AB，AC，BC是三条相互交叉的公路，现要在三条公路围成的三角形区域内修建一座加油站，要求加油站到三条公路的距离相等，则加油站应修建在（ ）
典例分析
A．三条角平分线的交点位置 B．三条高的交点位置
C．三边的中垂线的交点位置 D．三条中线的交点位置
到三边的距离相等应该是角平分线上的点
A
变式训练
如图，有三条笔直的公路AB、AC、BC两两相交围成一个三角形的建筑工地．若现在要在建筑工地外建一个沙石周转站，使周转站到三条公路的距离相等，则周转站可供选择的位置有 个．
解题思路：根据角平分线上的点到角两边的距离相等，分别作三角形的内角与外角平分线可得到答案
4
P2
P1
P3
P4
例3 如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，若DC=6，AB=24，求△ADB的面积
典例分析
解题思路：由于AD平分∠BAC，所以点D到AC、AB距离相等，过点D作DE⊥AB，DE即为AB边上△ABD的高，DE等于CE，由此可求△ABD的面积
解：过点D作DE⊥AB，DE即为AB边上△ABD的高，如图所示
∵∠C=90°,∴DC⊥AC，
∵AD平分∠BAC，
∴DE=CD=6，
∴△ABD的面积为×AB×DE=×24×6=72
∟
E
变式训练
如图，在四边形ABCD中，∠B=∠C=90°，∠BAD=100°，DE平分∠ADC交BC于点E，连接AE，若点E是BC边的中点，求∠EAB的度数。
解题思路：过点E作EF⊥AD，利用角的平分线的性质和判定解答即可。
解：如图所示，过点E作EF⊥AD于点F，∵∠C=90°，DE平分∠ADC，∴EF=EC
∵点E是BC边的中点，
∴BE=EC,∴EF=BE
∵∠B=90°，EF⊥AD，
∴AE平分∠BAD
∴∠EAB=∠BAD=×100°=50°
∟
F
B
返回
3．
如图，△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC，CD＝2，点D到AB的距离为(　　)
A．1
B．2
C．3
D．4
4．
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C
三角形的三条角平分线相交于一点，这一点到(　　)
A．三角形三个顶点的距离相等
B．三边中点的距离相等
C．三边距离相等
D．以上都对
5．
下面是嘉嘉作业本上的一道习题及解答过程：
如图，AB＝AC，BD＝CD，DE⊥AB交AB的延长线于点E，DF⊥AC交AC的延长线于点F.求证：DE＝DF.
SSS
∠BAD＝∠CAD　
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6．
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PQ≥10
[2025绍兴月考]点P在∠AOB的平分线上，点P到OA
边的距离等于10，点Q是OB边上任意一点，则PQ的取值范围是________．
7．
[2025温州期末]如图，OM是∠AOB的平分线，C是OM上一点，CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D，E，点F是OM上的另一点，连结DF，EF.求证：∠DFO＝∠EFO.
返回
【证明】因为OM是∠AOB的平分线，CD⊥OA，CE⊥OB，
所以∠DOC＝∠EOC，∠ODC＝∠OEC＝90°，DC＝CE，
所以∠DOC＋∠ODC＝∠EOC＋∠OEC，
即∠DCF＝∠ECF.
又因为CF＝CF，所以△DFC≌△EFC(SAS)，
所以∠DFO＝∠EFO.
8．
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B
如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝2，BC＝5，BD是∠ABC的平分线，设△ABD和△BDC的面积分别是S1，S2，则S1：S2等于(　　)
A．5：2
B．2：5
C．1：2
D．1：5
9．
返回
3
如图，△ABC的外角∠CBJ的平分线BD与△ABC的外角∠BCI的平分线CE相交于点P.若点P到AC的距离为3，则点P到AB的距离为________．
10．
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72°
如图，在△ABC中，∠A＝52°，∠ACB的平分线CF与BC的垂直平分线DE交于点O，连结OB.若∠ABO＝20°，则∠ACB＝________．
11．
【解】作图如图所示．
[2025宁波期末]如图，在Rt△ABC中．
(1)利用尺规作图，在BC边上找到一点P，使得点P到AC，AB的距离相等．(不写作法，保留作图痕迹)
(2)在(1)的条件下，过点P作PD⊥AB，垂足为D，若AC＝5，AB＝13，求BD的长．
【解】因为AP平分∠CAB，PC⊥AC，PD⊥AB，
所以PC＝PD，∠CAP＝∠DAP，∠C＝∠PDA＝90°，
所以△CAP≌△DAP，所以AD＝AC＝5，
所以BD＝AB－AD＝13－5＝8.
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12．
在△ABC中，DE垂直平分AC，连结CE，CE平分∠ACB.
(1)若∠CEB＝46°，求∠B的度数．
(2)若BC＝4，△ABC的周长比△EBC的周长多8，△EBC的面积为6，则△AEC的面积为多少？
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课堂小结
全等三角形：通过角平分线性质构造垂线段，进而推导边或角相等。
综合题型：结合垂直平分线、等腰三角形等知识，解决线段比例或角度关系问题
几何证明中的运用
定义：角平分线是从角的顶点出发，将角分成两个度数相等的角的射线。
核心性质：角平分线上的任意一点到角两边的距离相等（可通过构造垂线并证明全等三角形得出）
定义与基本性质
作图方法：能用尺规准确作出已知角的平分线（以顶点为圆心画弧，再以交点为圆心作等半径弧，连接交点与顶点）
尺规作图与应用
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