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浙教版数学8年级上册精做课件授课教师：.班级：8年级（）班.时间：.2.3.2等腰三角形性质定理2第2章　特殊三角形2.3.2等腰三角形性质定理2同步练习题一、选择题（每题4分，共20分）1.等腰三角形性质定理2的核心内容是（）A.两底角相等B.三线合一C.两腰相等D.是轴对称图形2.在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，则下列结论错误的是（）A. BD=CD B. AD⊥BC C. ∠B=∠C D. AD=BC3.等腰三角形的对称轴是（）A.腰上的高所在直线B.底边上的中线所在直线C.三角形的中线D.三角形的高4.已知AB=AC，AD⊥BC，BC=10cm，则BD的长为（）A. 5cm B. 10cm C. 20cm D.无法确定5.下列说法正确的是（）A.任意三角形都满足三线合一B.等腰三角形任意中线、高、角平分线都重合C.等腰三角形顶角平分线一定垂直底边D.等腰三角形底角平分线平分对边二、填空题（每题4分，共20分）6.等腰三角形性质定理2：等腰三角形的顶角平分线、________、________互相重合，简称“三线合一”。7.在等腰三角形中，只要具备顶角平分线、底边上的高、底边上的中线中的________，就可以推出另外两个。8.已知等腰△ABC中，AB=AC，AD为BC边上的中线，则∠ADB=________°。9.等腰三角形顶角为80°，顶角平分线与底边的夹角为________°。10. “三线合一”是________三角形特有的重要性质，普通三角形不具备该性质。三、解答题（共60分）11.（18分）在等腰△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，BC=12cm。求BD的长度和∠ADB的度数。12.（20分）已知：如图，AB=AC，AD⊥BC于点D。求证：AD平分∠BAC。要求：书写规范完整的证明过程，标注每一步推理依据。13.（22分）如图，等腰△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，DE⊥AB，DF⊥AC，求证：DE=DF。参考答案及解析选择题：1.B 2.D 3.B 4.A 5.C解析：三线合一仅适用于等腰三角形，且特指顶角平分线、底边上的中线、底边上的高，其余线段不满足重合性质，是本节核心易错点。填空题：6.底边上的中线、底边上的高7.任意一个8. 90 9. 90 10.等腰解答题11.解：∵AB=AC，AD平分∠BAC（已知），根据等腰三角形三线合一性质，∴AD⊥BC，BD=CD。∴∠ADB=90°，BD=BC÷2=12÷2=6cm。12.证明：∵AB=AC，AD⊥BC（已知），根据等腰三角形三线合一性质，底边上的高也是顶角平分线，∴AD平分∠BAC。13.证明：∵AB=AC，AD⊥BC（已知），由三线合一可得AD平分∠BAC。又∵DE⊥AB，DF⊥AC，根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，∴DE=DF。旧知复习
我们上节课学习了等腰三角形性质定理1：等腰三角形的两个底角相等。这个定理也可以说成在同一个三角形中，等边对等角。
已知△ABC是等腰三角形
AB=AC，则∠B=∠C
60°
60°
60°
等边三角形的各个内角都等于60°。
等腰三角形除了有等边对等角的性质还有其他性质吗？
新知探究
每个同学在作业本上利用尺规作图分别画出∠BAC的平分线，BC边上的高以及BC边上的中线。
AD是△ABC的角平分线
∠BAD=∠DAC
AD是△ABC的BC边上的高
AD⊥BC
AD是△ABC的BC边上的中线BD=DC
观察我们所画出的角平分线、中线和高，它们有什么特点呢？
D
D
D
D
返回
1．
如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，下列结论中不一定正确的是(　　)
A．∠B＝∠C
B．AD⊥BC
C．AD平分∠BAC
D．AB＝2BD
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B
2．
木工师傅将一把含45°角的直角三角板和一个重锤如图放置，就能检查横梁是否水平，能解释这一现象的数学知识是(　　)
A．角平分线的性质定理
B．等腰三角形的三线合一
C．线段垂直平分线的性质定理
D．两直线垂直的性质
新知探究
已知：如图所示，AD平分∠BAC，∠ADB＝∠ADC。求证：AD⊥BC。
证明：如图所示，延长AD，交BC于点E。
∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD(角平分线的定义)
∵AD=AD(公共边)，∠ADB=∠ADC（已知）
可得△ABD≌△ACD（ASA）。
所以AB＝AC（全等三角形的对应边相等）。
∴△ABC是等腰三角形（等腰三角形的定义）
∴AE⊥BC（等腰三角形三线合一）
即AD⊥BC
等腰三角形性质定理2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高线互相重合，简称等腰三角形三线合一。
E
例1如图，在△ABC中，AB=BC，BE是△ABC的中线，AD⊥BC于点D，若∠DAB=36°，则∠EBC的度数为__________．
典例分析
根据三角形外角的性质得∠ABC=∠DAB+∠D=126°，由等腰三角形的性质可得BE是∠ABC的平分线，即可求出∠EBC的度数
解：∵AD⊥BC于点D
∴∠D=90°，∵∠DAB=36°
∴∠ABC=∠DAB+∠D=126°
∵AB=BC，BE是△ABC的中线，
∴BE是∠ABC的角平分线
∴∠EBC=∠ABC=63°
63°
等腰三角形“三线合一”的性质
变式训练
如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=80°，AD是△ABC的中线，点E在AC上，AE=AD，则∠DEC等于______．
由等腰三角形中三线合一，可得AD是△ABC的角平分线，再根据AE=AD得出∠ADE=∠AED，结合三角形内角和定理可得出答案
解：∵△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的中线
∴AD是△ABC的角平分线，
∵∠BAC=80°，∴∠DAC=∠BAC=40°
∵AE=AD，∴∠ADE=∠AED，
∴∠AED=(180°-∠DAC)=×（180°-40°）=70°
∴∠DEC=180°-∠AED=180°-70°=110°
110°
等腰三角形三线合一的性质
例2 已知两边及其夹角，求作这个三角形．
已知：如图，线段a和∠α．
求作：△ABC，使AB=AC=a，∠A=∠α．
典例分析
作法：①作射线AD；②以O为圆心，任意长度为半径画弧，弧与两边分别交于两点M、N；③A点为圆心，ON的长度为半径画弧，与AD交于点E；④测量MN的距离，以E为圆心MN为半径画弧，交于点F，连接AF；⑤在∠A两边截取AB=AC=a,连接BC即可
O
M
A
N
D
E
F
B
C
变式训练
（教材母题）已知线段 a，h，用直尺和圆规作等腰三角形ABC，使底边BC＝a，底边BC边上的高线长为h。
作法：如图所示。①作线段BC＝a；②作线段BC的垂直平分线l，交BC于点D；③在直线l上截取DA＝h，连结AB，AC。△ABC就是所求作的等腰三角形。
B
C
D
A
新知探究
例3 . 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB的平分线交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E，连接CE，交AD于点H．求证：AD垂直平分CE
解：∵∠ACB=90°，∴DC⊥AC，
又∵∠CAB的平分线交BC于点D，DE⊥AB.
∴CD=DE，∠AED=90°，∠CAD=∠EAD，
∴∠ADC=180°-∠ACB-∠CAD=180°-90°-∠EAD=90°-∠EAD
∠ADE=180°-∠AED-∠EAD=180°-90°-∠EAD=90°-∠EAD
∴∠ADC=∠ADE，即AD平分∠CDE
又∵CD=DE
∴AD垂直平分CE（等腰三角形的三线合一）
先根据角平分线的性质定义可得CD=DE，再根据三角形的内角和定理求出∠ADC=∠ADE，然后根据等腰三角形的三线合一即可求证
D
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3．
[2025宁波期末]如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠BAC＝40°，中线AD与角平分线CE交于点F，则∠CFD的度数为(　　)
A．25°
B．35°
C．45°
D．55°
4．
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9
[2025温州月考]如图，若△ABC是等边三角形，AB＝6，BD是AC边上的高，延长BC到E，使CE＝CD，连结DE，则BE的长为________．
5．
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【证明】连结AE.
因为EF是AB的垂直平分线，
所以AE＝BE. 因为BE＝AC，所以AE＝AC.
又因为D为线段CE的中点，
所以AD⊥CE，即AD⊥BC.
如图，在△ABC中，AB的垂直平分线EF交BC于点E，交AB于点F，D为线段CE的中点，连结AD，BE＝AC.
求证：AD⊥BC.
6．
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【解】如图所示，△ABC即为所求作的图形．
已知∠α和线段a(如图)，用直尺和圆规作等腰三角形ABC，使顶角∠BAC＝∠α，底边上的高线AM＝a.
7．
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D
8．
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1
如图，△ABC是等边三角形，D为BC边上一个动点(D与B，C均不重合)，AD＝AE，∠DAE＝60°，连结CE.若AB＝2，当四边形ADCE的周长取最小值时，CE的长为________．
9．
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50°
如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝50°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O，将∠C沿EF(E在BC上，F在AC上)折叠，若点C与点O恰好重合，则∠OFA的度数为________．
10．
8
如图，在△ABC中，BA＝BC，BD平分∠ABC，交AC于点D，点M，N分别为BD，BC上的动点，若BC＝10，△ABC的面积为40，则CM＋MN的最小值为________．
【点拨】
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11．
如图所示，在△ABC中，AB＝BC，点D是BC上一点，DE⊥AB于点E，DF⊥BC，交AC于点F，连结BF.
(1)若∠AFD＝155°，求∠EDF的度数；
【解】因为∠AFD＝155°，所以∠DFC＝25°.
因为DF⊥BC，DE⊥AB，所以∠FDC＝∠FDB＝∠BED＝90°.
所以∠C＝90°－25°＝65°.
因为AB＝BC，所以∠C＝∠A＝65°.
所以∠ABC＝180°－2×65°＝50°.
因为∠ABC＋∠BDE＝∠EDF＋∠BDE＝90°，
所以∠EDF＝∠ABC＝50°.
(2)若F是AC的中点，判断∠ABC与∠CFD的数量关系，并说明理由．
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课堂小结
简化证明：快速得出角相等、线段垂直或平分关系（如：若已知高线，则同时得到中线和角平分线）。
辅助线构造：当题目缺少关键条件时，可通过添加等腰三角形的“三线”辅助线转化问题。
三线合一的应用场景
性质表述：等腰三角形中，顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线三条线段互相重合（即“三线合一”）。
关键点：仅适用于等腰三角形（两腰相等）。
三线均从顶角顶点出发指向底边，本质上是同一条线段在不同几何关系中的体现。
三线合一的概念与内容
①轴对称性法：利用等腰三角形是轴对称图形（对称轴为顶角平分线所在的直线），直接推出对称轴上的中线和高线重合。
②全等证明法
三线合一的证明方法
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