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浙教版数学8年级上册精做课件授课教师：.班级：8年级（）班.时间：.2.4等腰三角形的判定定理第2章　特殊三角形2.4等腰三角形的判定定理同步练习题一、选择题（每题4分，共20分）1.等腰三角形的判定定理是（）A.等边对等角B.等角对等边C.三线合一D.两腰相等2.在△ABC中，∠A=∠B=50°，则△ABC的形状是（）A.直角三角形B.等腰三角形C.等边三角形D.钝角三角形3.下列条件中，不能判定三角形是等腰三角形的是（）A.有两个内角相等B.有两条边相等C.三个内角都相等D.有一个内角为60°4.在△ABC中，∠C=90°，∠A=45°，则该三角形一定是（）A.等腰直角三角形B.等边三角形C.钝角三角形D.无法判定5.下列说法正确的是（）A.等角对等边与等边对等角是互逆定理B.有一边相等的三角形是等腰三角形C.等腰三角形只能用边角关系判定D.三个角不等也可能是等腰三角形二、填空题（每题4分，共20分）6.等腰三角形判定定理：在一个三角形中，如果有两个角相等，那么________，简单说成________。7.判定一个三角形为等腰三角形有两种方法：一是________，二是________。8.在△ABC中，∠A=70°，∠B=40°，则△ABC________（填“是”或“不是”）等腰三角形。9.若三角形的一个外角等于与它不相邻的一个内角的2倍，则这个三角形是________三角形。10.等边三角形的判定：三个角都相等的三角形是等边三角形，有一个角是60°的________是等边三角形。三、解答题（共60分）11.（18分）根据角度判断三角形形状。已知△ABC中，∠A=50°，∠B=65°，求证：△ABC是等腰三角形。12.（20分）已知：如图，在△ABC中，AD∥BC，BD平分∠ABC。求证：AB=AD。要求：书写规范完整的证明过程，标注每一步推理依据。13.（22分）如图，在△ABC中，AB=AC，DE∥BC，求证：△ADE是等腰三角形。参考答案及解析选择题：1.B 2.B 3.D 4.A 5.A解析：本节核心区分性质与判定：等边对等角是性质（已知等腰得角相等），等角对等边是判定（已知角相等得等腰），为高频考点。填空题：6.这两个角所对的边相等、等角对等边7.两边相等、两角相等8.是9.等腰10.等腰三角形解析8. ∠C=180°-70°-40°=65°，∠B=∠C，故为等腰三角形。解答题11.证明：∵∠A=50°，∠B=65°（已知），∴∠C=180°-50°-65°=65°。∴∠B=∠C。根据等角对等边，可得AB=AC，∴△ABC是等腰三角形。12.证明：∵BD平分∠ABC（已知），∴∠ABD=∠DBC（角平分线定义）。∵AD∥BC（已知），∴∠ADB=∠DBC（两直线平行，内错角相等）。∴∠ABD=∠ADB。根据等角对等边，∴AB=AD。13.证明：∵AB=AC（已知），∴∠B=∠C（等边对等角）。∵DE∥BC（已知），∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C（两直线平行，同位角相等）。∴∠ADE=∠AED。根据等角对等边，AD=AE，∴△ADE是等腰三角形。课堂导入
“同学们，观察教室的门（或出示图片），当门打开时，门框和门形成的三角形形状如何变化？在什么情况下，这个三角形看起来两边长度相等？”(观察下面视频)
视频
在开门的过程中，两边长度相等，形成等腰三角形。
如何用数学方法验证一个三角形是等腰三角形？除了测量两边长度，还有其他判定方法吗？
新知探究
在纸上任意画线段BC，分别以点B和点C为顶点，以BC为一边，在BC的同侧画两个相等的锐角，两角的另一边相交于点 A。量一量，线段 AB 与AC相等吗？其他同学的结果与你的相同吗？你发现了什么规律？
B
C
A
AB
AC
线段AB与AC 相等
等腰三角形的判定定理： 有两个角相等的三角形是等腰三角形。
新知探究
如图所示，在△ABC中，∠B＝∠C。求证：△ABC是等腰三角形。
证明：如图所示，作△ABC的角平分线AD。
在△ABD和△ACD中，
因为∠1 = ∠2（角平分线的定义），
∠B = ∠C（已知），AD = AD（公共边），
可得△ABD≌△ACD（AAS），
从而有AB＝AC（全等三角形的对应边相等），
所以△ABC是等腰三角形。
上述判定定理可以简单地说成：在同一个三角形中，等角对等边。
D
1
2
B
返回
1．
下列条件中能判定△ABC是等腰三角形的是(　　)
A．∠A＝30°，∠B＝60°
B．∠A＝50°，∠B＝80°
C．∠A＝2∠B＝70°
D．AB＝3，BC＝7，△ABC的周长为16
（教材母题）例1一次数学实践活动的内容是测量河宽，如图 2-25，即测量点 A，B之间的距离。同学们想出了许多方法，其中小聪的方法是：从点 A 出发，沿着与直线 AB 成 60°角的 AC 方向前进至 C，在 C 处测得∠C＝30°。量出 AC的长，它就是河的宽度（即点 A，B之间的距离）。这个方法正确吗？请说明理由。
典例分析
解：这个方法正确。理由如下：
因为∠CAD＝∠B＋∠C（三角形的外角等于
与它不相邻的两个内角的和），
而∠B＝∠CAD－∠C＝60°－30°＝30°，
则∠B＝∠C，
所以AB＝AC（在同一个三角形中，等角对等边）。
返回
B
2．
如图是一个平板支架及其侧面示意图，若∠ACB＝∠ABC，AB＝12 cm，则AC的长为(　　)
A．11 cm
B．12 cm
C．13 cm
D．14 cm
变式训练
在如图的房屋人字梁架中，AB=AC，点D在BC上，下列条件不能说明AD⊥BC的是（ ）
A .∠ADB=∠ADC B . ∠B=∠C C . BD=CD D . AD平分∠BAC
当∠ADB=∠ADC时，
∵点D在BC上，∴∠ADB+∠ADC=180°，∴∠ADB=∠ADC=90°
∴AD⊥BC，故A选项不符合题意
∵AB=AC，∴∠B=∠C，不能得到AD⊥BC，故选项B符合
∵AB=AC。∴当BD=CD或AD平分∠BAC时，AD⊥BC，故选项C、D均不符合题意
B
例2 如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AB于点D，AC于点E，连接BE，如果∠ABE=2∠CBE，那么∠A的度数是_____________．
典例分析
由线段垂直平分线的性质可得EA=EB，则∠ABC=∠A，再由等边对等角得到∠ABC=∠C，根据已知条件可得∠ABC=∠A，据此根据三角形内角和定义建立方程即可求解
解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴EA=EB，∴∠ABE=∠A,
∵AB=AC，∴∠ABE=2∠CBE
∴∠ABC=∠ABE=∠A
∵∠ABC+∠C+∠A=180°
∴∠A+∠A+∠A=180°∴∠A=45°
45°
变式训练
如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC=5，点E、M、F分别是AB、BC、AC上的点，ME∥AC，MF∥AB，则四边形MEAF的周长是___________．
由等腰三角形的性质推出∠B=∠C，由平行线的性质可得∠BME=∠C，因此∠BME=∠B，判定BE=EM，同理CF=MF，得到四边形MEAF的周长等于AB+AC即可
解：∵AB=AC=5，∴∠B=∠C
∵ME∥AC，∴∠BME=∠C
∴∠BME=∠B，∴BE=EM
同理CF=MF，∵AB=AC=5
∴四边形MEAF的周长为
AE+EM+AF+MF=AE+BE+AF+CF=AB+AC=5+5=10
10
新知探究
已知：在△ABC中，∠A = ∠B = ∠C，求证：△ABC是等边三角形（即 AB = BC = CA）
证明：因为 ∠A = ∠B，根据等角对等边，BC = AC。
因为 ∠B = ∠C，根据等角对等边，AC = AB。
因为 ∠A = ∠C，根据等角对等边，AB = BC。
综上，AB = BC = CA，即△ABC的三条边都相等。
在任意三角形中，等角对等边。也就是说，如果两个角相等，那么它们所对的边也相等。
等边三角形的判定定理：三个角都相等的三角形是等边三角形。
新知探究
已知：等腰三角形ABC，∠A=60°，求证：△ABC是等边三角形
证明：①当∠A为底角时，因为△ABC是等腰三角形，所以∠A=∠B=60°，则顶角为180°-60°×2=60°，可得这个等腰三角形的三个角都相等，所以这个等腰三角形是等边三角形。
等边三角形的判定定理：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
因为已知 60°的角可能是等腰三角形的底角，也可能是顶角，所以分两 种情形：
②当∠A为顶角时，因为△ABC是等腰三角形，则底角为（180°-60°）÷2=60°，可得这个等腰三角形的三个角都相等，所以这个等腰三角形是等边三角形。
典例分析
如图所示，在一个房间内，一把长1.5米的梯子CD斜靠在墙上，此时梯子与地面夹角为75°，如果保持梯子底端位置不变，将梯子顶端靠在对面墙上（即变为CE），此时梯子与地面夹角为45°，那么D、E两点间的距离是______米．
解：连接DE
∵∠ACD=75°，∠BCE=45°
∴∠DCE=180°-75°-45°=60°
∵梯子长度不变∴CD=CE=1.5米
∴△DCE是等边三角形 ∴DE=CD=1.5米
连接DE，先计算出∠DCE=60°，结合梯子长度不变得出CD=CE。判定△DCE是等边三角形，再利用等边三角形三边相等的性质，得到DE=CD=1.5米，从而求出D、E两点间距离。
1.5
变式训练
将含30°角的直角三角尺和直尺按如图所示的方式放置，已知α=60°．点B，C对应的刻度分别为1cm，3cm，则线段AC的长为______cm
解：∵直尺的两边平行，
∴∠ACB=∠α=60°，∵含30°角的直角三角尺，
∴∠A=60°，∴△ABC是等边三角形，
∵点B、C表示的刻度分别为1cm、3cm
∴BC=2cm，∴AC=BC=2cm
∴线段AC的长为2cm
根据平行线的性质得出∠ACB=60°，进而可得△ABC是等边三角形，根据等边三角的性质即可求解
2
9
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3．
[2025绍兴月考]如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线相交于点F，过点F作DE∥BC交AB于点D，交AC于点E，若BD＋CE＝9，则线段DE的长为________．
4．
返回
2
如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足为D，交AC于点E，∠A＝∠ABE.若AC＝10，BC＝6，则BD的长为________．
5．
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【证明】因为AD∥BC，
所以∠GFE＝∠FEC.
由折叠的性质可得∠FEG＝∠FEC，所以∠FEG＝∠GFE.
所以GF＝GE.所以△EFG是等腰三角形．
一张长方形纸条ABCD按如图所示折叠，求证：△EFG是等腰三角形．
6．
返回
2
将含30°角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置，已知∠α＝60°，点B，C表示的刻度分别为1 cm，3 cm，则线段AB的长为________ cm.
7．
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【证明】因为AB＝CA，∠BAE＝∠ACD，
AE＝CD，所以△BAE≌△ACD(SAS)．
所以∠ABE＝∠CAD.所以∠ABC＝∠BAC.
所以AC＝BC，又因为AB＝AC，所以AB＝AC＝BC.
所以△ABC为等边三角形．
如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别在BA，CB的延长线上，连结AE，CD，且AE＝CD，∠BAE＝∠ACD.求证：△ABC是等边三角形．
8．
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30°或75°或120°
在△ABC中，∠A＝30°，当∠B＝__________________时，△ABC是等腰三角形．
9．
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C
如图，上午8时，渔船从A处出发，以20海里/时的速度向正西方向航行，9时30分到达B处．从A处测得灯塔C在南偏西30°方向，距A处30海里处，则B处到灯塔C的距离是(　　)
A．20海里
B．25海里
C．30海里
D．35海里
10．
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A
11．
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C
如图，在△ABC中，∠ABC＝70°，∠BAC＝40°.P为直线CB上一动点，若点P与△ABC三个顶点中的两个顶点构成等腰三角形，则满足条件的点P有(　　)
A．4个
B．6个
C．8个
D．9个
12．
4
如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AD⊥BD于点D，DE∥AC交AB于点E，若AB＝8，则DE＝________．
【点拨】
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13．
[2025杭州月考]如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是AB上一点，过点D作DE⊥BC交BC于点E，延长ED，交CA的延长线于点F.
(1)试判断△ADF的形状，并说明理由；
【解】△ADF是等腰三角形．理由如下：
因为AB＝AC，所以∠B＝∠C.
因为FE⊥BC，
所以∠F＋∠C＝90°，∠BDE＋∠B＝90°.
所以∠F＝∠BDE.
又因为∠BDE＝∠FDA，所以∠F＝∠FDA.所以AF＝AD.
所以△ADF是等腰三角形．
(2)若AF＝BE＝4，∠F＝30°，则△ABC的周长为________．
36
课堂小结
在证明题中，通过全等三角形（如AAS、ASA）或平行线性质（如内错角相等）间接证明两角相等，再应用判定定理。
识别常见模型（如“角平分线+平行线→等腰三角形”）。
综合应用与几何模型
核心内容：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（即三角形为等腰三角形）。
符号表示：在△ABC中，若∠B = ∠C，则AB = AC。
关键点：判定定理与性质定理（等边对等角）互为逆命题，需注意区分使用条件。
判定定理：等角对等边
核心内容：通过图形的对称性判断等腰三角形。
垂直平分线：若某一边的垂直平分线经过对角顶点，则三角形为等腰。
角平分线+高/中线：若一个角的平分线与对边的高或中线重合，可推导出等腰三角形。
轴对称性判定
01
03
04
02

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