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浙教版数学8年级上册精做课件授课教师：.班级：8年级（）班.时间：.2.5逆命题和逆定理第2章　特殊三角形2.5逆命题和逆定理同步练习题一、选择题（每题4分，共20分）1.下列关于逆命题的说法正确的是（）A.所有命题都有逆命题B.真命题的逆命题一定是真命题C.假命题没有逆命题D.定理一定有逆定理2.命题“两直线平行，同位角相等”的条件是（）A.同位角相等B.两直线平行C.两直线不平行D.同位角不相等3.下列定理中，没有逆定理的是（）A.等角对等边B.等边对等角C.对顶角相等D.两直线平行，内错角相等4.已知命题“若a=b，则a =b ”，该命题及其逆命题的真假性为（）5.下列说法错误的是（）A.逆命题是将原命题的条件和结论互换B.逆定理一定是真命题C.假命题的逆命题一定是假命题D.一个命题的逆命题不一定与原命题同真假二、填空题（每题4分，共20分）6.把一个命题的________和________互换，就得到它的逆命题。7.如果一个定理的逆命题是真命题，那么这个逆命题就是原定理的________。8.命题“直角三角形的两个锐角互余”的逆命题是________。9.命题“若两个数相等，则它们的绝对值相等”是________命题，它的逆命题是________命题。10.每个命题都有________，但每个定理不一定有________。三、解答题（共60分）11.（18分）写出下列命题的逆命题，并判断真假。（1）两直线平行，同旁内角互补；（2）等腰三角形两底角相等。12.（20分）写出命题“如果一个三角形是等边三角形，那么它是等腰三角形”的逆命题，判断真假，若是假命题，请举出反例。13.（22分）写出定理“线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”的逆命题，并证明该逆命题为真命题。参考答案及解析选择题：1.A 2.B 3.C 4.B 5.C解析：3.对顶角相等的逆命题“相等的角是对顶角”为假命题，故无逆定理；4.逆命题“若a =b ，则a=b”，反例：2 =(-2) ，但2≠-2，为假命题。填空题：6.条件、结论7.逆定理8.有两个角互余的三角形是直角三角形9.真、假10.逆命题、逆定理解答题11.（1）逆命题：同旁内角互补，两直线平行，真命题；（2）逆命题：有两个角相等的三角形是等腰三角形，真命题。12.逆命题：如果一个三角形是等腰三角形，那么它是等边三角形。假命题，反例：顶角为80°的等腰三角形，两腰相等，但三边不相等，不是等边三角形。13.逆命题：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。证明：已知点P满足PA=PB，过P作PC⊥AB于C，可证△PAC≌△PBC（HL），得AC=BC，又PC⊥AB，故PC垂直平分AB，即点P在线段AB的垂直平分线上，逆命题为真。新知探究
请仔细阅读表中的四个命题，填写并思考：命题（1）和命题（2），命题（3）和命题（4），它们的条件和结论有什么关系？
命题 条件 结论 真假
①如果一个数是偶数，那么它能被2整除。 一个数是偶数 它能被2整除 真命题
②如果一个动物是鸟，那么它会飞。 一个动物是鸟 它会飞 假命题
③如果一个四边形是正方形，那么它的四条边相等。 一个四边形是正方形 它的四条边相等 真命题
④如果今天是晴天，那么地面是湿的。 今天是晴天 地面是湿的 假命题
新知探究
把下面四个命题的条件和结论互换一下，分别写出条件和结论，并判断真假
命题 条件 结论 真假
⑤如果一个数能被2整除，那么它是偶数。 一个数能被2整除 它是偶数 真命题
⑥如果一个动物会飞，那么它是鸟。 一个动物会飞 它是鸟 假命题
⑦如果一个四边形的四条边相等，那么它是正方形。 一个四边形的四条边相等 它是正方形 假命题
⑧如果地面是湿的，那么今天是晴天。 地面是湿的 今天是晴天 假命题
新知探究
每个命题都有它的逆命题，但真命题的逆命题不一定是真命题。如果一个定理的逆命题能被证明是真命题，那么就称之为原定理的逆定理，这两个定理互为逆定理。
对于两个命题，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题互为逆命题。如果把其中一个命题叫作原命题，那么另一个命题就叫作它的逆命题。
上表中①⑤为互逆命题
C
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1．
“等腰三角形两底角相等”的逆命题是(　　)
A．在同一个三角形中，等边对等角
B．有两个角互余的三角形是等腰三角形
C．如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形
D．如果一个三角形有三个角相等，那么这个三角形是等边三角形
返回
D
2．
[2025杭州月考]下列命题的逆命题是真命题的是(　　)
A．钝角三角形中有两个锐角
B．如果a>b>0，那么|a|>|b|
C．若△ABC≌△DEF，则AB＝DE，BC＝EF，∠ACB＝∠DFE
D．若a＝2，则a3＝8
例1 已知命题：等腰三角形底边上的中线和顶角的平分线重合．证明这个命题，并写出它的逆命题，逆命题成立吗？
典例分析
解：已知如图，△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，求证：∠BAD=∠CAD
证明：∵AD是BC边上的中线，∴BD=CD
在△ABD和△ACD中，，∴△ABD≌△ACD(SSS)
∴∠BAD=∠CAD，当AD是∠平分线时
∴BD=CD，∴等腰三角形底边上的中线和顶角的平分线重合
它的逆命题是“一边上的中线和该边所对角的平分线重合的三角形是等腰三角形”，逆命题成立
例2 下列命题的逆命题是真命题的是（ ）
典例分析
A
A．两直线平行，同旁内角互补． B．五边形是多边形
C．如果a＞0，b＞0，则a+b＞0． D．两个全等三角形的面积相等
逆命题：同旁内角互补，两直线平行
多边形是五边形
真
假
逆命题：如果a+b＞0，则a＞0，b＞0
假
逆命题：面积相等的两个三角形是全等三角形
假
新知探究
说出定理“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”的逆命题，并证明这个逆命题是真命题。
证明：（1）当点P在线段AB上时，结论显然成立。
（2）当点P不在线段AB上时，如图所示，
作PC⊥AB于点O。
由PA＝PB，PO⊥AB，可得OA＝OB，
故PC是AB的垂直平分线。
所以点P 在线段AB的垂直平分线上。
这个定理的逆命题是：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上。
已知：AB是一条线段，P是一点，且PA＝PB。 求证：点P在线段AB的垂直平分线上。
B
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3．
命题“如果a＝b，那么|a|＝|b|”的逆命题是假命题，下面可以取反例说明的是(　　)
A．a＝1，b＝1
B．a＝－1，b＝1
C．a＝－1，b＝－1
D．a＝1，b＝2
4．
返回
D
下列命题中，原命题和逆命题都是真命题的是(　　)
A．若a＝b，则a2＝b2
B. 若a>b，则a2>b2
C．若aD. 若a＝±b，则a2＝b2
5．
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同旁内角互补，两直线平行 真命题
写出下列命题的逆命题，并判断其真假．
(1)两直线平行，同旁内角互补．
逆命题：________________________.(　 　)
(2)如果a＝0，b＝0，那么ab＝0.
逆命题：_________________________.(　 　)
如果ab＝0，那么a＝0，b＝0 假命题
6．
按下列要求写出一个符合条件的原命题．
(1)原命题和逆命题都是真命题；
(2)原命题是假命题，但逆命题是真命题；
(3)原命题是真命题，但逆命题是假命题；
(4)原命题和逆命题都是假命题．
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【解】(答案不唯一)
(1)两直线平行，同位角相等．
(2)三角形中如果有两个角为锐角，那么第三个角为钝角．
(3)若一个数是负数，则它的平方是正数．
(4)若a＞b，则a2＞b2.
7．
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C
下列定理中，没有逆定理的是(　　)
A．两直线平行，内错角相等
B．全等三角形的对应边相等
C．对顶角相等
D．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等
8．
返回
B
下列说法错误的是(　　)
A．任何命题都有逆命题
B．任何定理都有逆定理
C．命题的逆命题不一定是真命题
D．定理的逆定理一定是真命题
9．
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B
如图，点D在△ABC的边BC上，且BC＝BD＋AD，则点D在线段(　　)
A．AB的垂直平分线上
B．AC的垂直平分线上
C．BC的垂直平分线上
D．不能确定
10．
如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，AC的垂直平分线分别交AC，AD，AB于点E，O，F，连结OB，OC.
(1)求证：点O在AB的垂直平分线上；
【证明】因为AB＝AC，AD是BC边上的中线，
所以AD⊥BC，BD＝CD.
所以AD是BC的垂直平分线．所以BO＝CO.
因为OE是AC的垂直平分线，所以AO＝CO.
所以BO＝AO，所以点O在AB的垂直平分线上．
(2)若∠CAD＝24°，求∠BOF的度数．
【解】因为AB＝AC，AD是BC边上的中线，
∠CAD＝24°，所以∠BAD＝∠CAD＝24°.
所以∠BAC＝48°.
因为OE⊥AC，所以∠EFA＝90°－48°＝42°.
因为AO＝OB，所以∠OBA＝∠BAO＝24°.
所以∠BOF＝∠EFA－∠OBA＝42°－24°＝18°.
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11．
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C
如图，点D，E分别为△ABC的边AB，AC上的点，BE与CD相交于点O，现有四个条件：
①AB＝AC；②OB＝OC；
③∠ABE＝∠ACD；④BE＝CD，
选择其中2个条件作为题设，余下2个条件作为结论，所有命题中，真命题的个数为(　　)
A．3 B．4 C．5 D．6
12．
【证明】因为OC平分∠AOB，
CD⊥OA，CE⊥OB，
所以∠COE＝∠COD，∠CEO＝∠D＝90°.
又因为CO＝CO，
所以△COE≌△COD(AAS)，所以OD＝OE.
如图，在△AOB中，OC平分∠AOB，CD⊥OA交OA的延长线于点D，CE⊥OB于点E，OB－OA＝2BE.
(1)求证：OD＝OE；
(2)求证：点C在AB的垂直平分线上．
证明：如图，在BO上取点F，使OF＝OA，连结CA，CF，CB.
因为OA＝OF，∠COD＝∠COE，CO＝CO，
所以△ACO≌△FCO(SAS)．所以AC＝FC.
因为OB－OA＝2BE，所以OB－OF＝BF＝2BE.
所以BE＝FE. 又因为CE⊥OB，所以CB＝CF.
所以AC＝CB.所以点C在AB的垂直平分线上．
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13．
(1)如图，在四边形ABCD中，△ABC与△ADC的面积相等，求证：直线AC必平分BD.
(2)写出(1)的逆命题，并判断这个命题是否正确，为什么？
【解】根据题意，其逆命题为：若四边形ABCD的对角线AC平分对角线BD，则AC必将四边形分成面积相等的两个三角形．这个命题正确．理由：
过点B作BE⊥AC于点E，过点D作DF⊥AC于点F，设AC与BD的交点为点G.
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课堂小结
实际应用：
利用逆定理简化证明（如通过角平分线逆定理确定点在角平分线上）。
互逆命题与定理的逻辑关系
定义：将原命题的条件和结论互换，得到的新命题称为逆命题。
示例：
原命题 "若两直线平行，则同位角相等"
逆命题 "若同位角相等，则两直线平行"
关键点：
逆命题的真假与原命题无关（原命题为真，逆命题可能为假，反之亦然）。
需通过逻辑推理或反例验证其真假。
逆命题的构造与真假判断
定义：若一个命题的逆命题为真，则该逆命题可称为逆定理（即原定理与逆定理互为逆命题）。
逆定理的识别与证明
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