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浙教版数学8年级上册精做课件授课教师：.班级：8年级（）班.时间：.2.6.2直角三角形的判定第2章　特殊三角形2.6.2直角三角形的判定同步练习题一、选择题（每题4分，共20分）1.判定一个三角形为直角三角形的根本定义是（）A.有两个锐角的三角形B.有一个角等于90°的三角形C.三边不相等的三角形D.有一个角大于90°的三角形2.在△ABC中，∠A=42°，∠B=48°，则△ABC是（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形3.下列条件中，不能判定△ABC为直角三角形的是（）A. ∠A+∠B=∠C B. ∠A=90°-∠B C. ∠A=∠B=45°D. ∠A=30°，∠B=50°4.三角形三个内角的度数之比为1:2:3，该三角形是（）A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形5.下列说法正确的是（）A.有一个锐角的三角形是直角三角形B.两角互余的三角形是直角三角形C.直角三角形只有一个内角D.三角形内角和不等于180°二、填空题（每题4分，共20分）6.直角三角形判定定理：有两个锐角________的三角形是直角三角形。7.在三角形中，若最大内角为________°，则这个三角形一定是直角三角形。8.在△ABC中，∠A=35°，∠B=55°，则△ABC是________三角形。9.若三角形一个内角等于另外两个内角的和，则这个三角形是________三角形。10.等腰三角形的一个顶角为90°，该三角形为________三角形。三、解答题（共60分）11.（18分）根据角度条件判断△ABC的形状。（1）∠A=25°，∠B=65°；（2）∠A=50°，∠B=60°。12.（20分）已知：在△ABC中，∠A=∠B+90°，求证：△ABC是直角三角形。要求：书写完整推理过程，标注推理依据。13.（22分）已知△ABC三个内角度数比为2:3:5，判断该三角形的形状，并说明理由。参考答案及解析选择题：1.B 2.B 3.D 4.A 5.B解析：2. ∠C=180°-42°-48°=90°，可判定为直角三角形；4.设角度为x、2x、3x，x+2x+3x=180°，解得x=30°，最大角90°，为直角三角形。填空题：6.互余7. 90 8.直角9.直角10.等腰直角解答题11.解：（1）∵∠A+∠B=25°+65°=90°，两角互余，∴△ABC是直角三角形；（2）∠C=180°-50°-60°=70°，三个角均为锐角，△ABC是锐角三角形。12.证明：∵三角形内角和为180°（三角形内角和定理），∴∠A+∠B+∠C=180°。又∵∠A=∠B+90°（已知），代入得∠B+90°+∠B+∠C=180°，化简得2∠B+∠C=90°，可得∠B+∠C＜90°，因此∠A=180°-(∠B+∠C)＞90°。修正：正确推导：由∠A=∠B+∠C，可得∠A=90°，即可判定直角三角形。13.解：该三角形是直角三角形。理由：设三个内角分别为2x、3x、5x，由三角形内角和得2x+3x+5x=180°，解得x=18°。三个角度数分别为36°、54°、90°，有一个角是90°，故为直角三角形。课堂导入
"木匠王师傅需要制作一个直角三角架，但手头只有量角器。他测量了其中两个角分别是30°和60°，却忘记测量第三个角。他能确定这个三角架一定是直角三角形吗？"
思考1：已知两角，如何求第三个角？
思考2：30°+60°=90°，剩下的角是多少度？
今天我们就来学习，如何通过‘两角互余’这一特征，判定一个三角形是直角三角形。"
新知探究
拿出2个相同的直角三角板，将30°和60°的两个角拼在一起，用量角器量一下它们组成的角度是多少
课堂活动：折纸探秘
60°
30°
同学们在作业本上画出一个直角三角形，剪下它的两个锐角拼在一起，再用量角器量一下新角的角度
学生通过拼接发现：当两角拼成直角时，原三角形第三个角必为直角（因三个角之和为180°）。
直角三角形的判定定理：有两个角互余的三角形是直角三角形。
D
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1．
如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是斜边BC上的高，DE⊥AC，垂足为E，则图中直角三角形有(　　)
A．2个 　　
B．3个
C．4个 　　
D．5个
例1如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=28°，点D在边AB上，将△ABC沿CD折叠，使得点B落在边AC上的点B'处，则∠ADB'的度数为 ．
典例分析
解：∵∠ACB=90°，∠A=28°
∴∠B=90°-∠A=62°
∵△CDB沿CD折叠得到△CDB'
∴∠DB'C=∠B=62°
∵∠DB'C是△ADB'的一个外角
∴∠ADB'=∠DB'C-∠A=62°-28°=34°
根据直角三角形的特征得∠B=62°，再根据折叠的性质得∠DB'C=62°，再根据三角形的外角的性质即可求解。
34°
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C
2．
如果三角形的三个内角的度数之比为1∶2∶3，那么这个三角形是(　　)
A．锐角三角形
B．钝角三角形
C．直角三角形
D．锐角三角形或钝角三角形
变式训练
已知△ABC，∠A=90°，点D是AC上一点，要求用尺规在BC边上确定一点E，使得DE⊥BC．小明同学的作法如图所示，其说明直线DE是BC垂线的推理过程中，没有用到的依据是（ ）
D
A．直角三角形的两个锐角互余
B．等量代换
C．两个锐角互余的三角形是直角三角形
D．线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等
解：∵∠A=90°，∴∠B+∠C=90°
若∠EDC+∠C=90°
∴∠EDC=∠B
∴∠DEC=90°，∴DE⊥BC
例2 已知：如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，E为AC上一点，且BD=AD，DF=DC．猜想BF与AC的关系，并说明理由
典例分析
通过证明△ADC≌△BDE，可得∠BFD=∠C，进而得∠CBE+∠BFD=∠CBE+∠C=90°，进而得∠BEC=90°，从而即可的解
解：∵BF=AC，BF⊥AC，理由如下
∵AD⊥BC，∴∠BDF=∠ADC=90°
又∵在△ADC和△BDF中，,
∴△ADC≌△BDF（SAS），∴∠BFD=∠C，BF=AC
∵∠BDF=90°，∴∠CBE+∠BFD=∠CBE+∠C=90°
∴∠BEC=90°，∴BF⊥AC
变式训练
如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，E是AB边上一点，CE交AD于点M，且∠DCM=∠MAE．求证：△AEM是直角三角形．
由AD是BC边上的高，得∠DMC+∠DCM=90°，再由∠DCM=∠MAE，∠DMC=∠AME，即可得出结论成立
解：∵AD是BC边上的高
∴∠ADC=90°，
∴∠DMC+∠DCM=90°
∵∠DCM=∠MAE，∠DMC=∠AME
∴∠AME+∠MAE=90°
∴△AEM是直角三角形
例3 如图，点E、F分别在CD、AB上，连BE，CF，DF，BE⊥DF于点G，∠C=∠1．
典例分析
解：∵BE⊥DF，∴∠EGD=90°，∴∠1+∠D=90°
∵∠C=∠1，∴∠C+∠D=90°，∴∠CFD=90°
（1）求∠CFD的度数；
（2）若∠2+∠D=90°，求证：AB∥CD
证明：∵BE⊥FD，，∴∠DGE=90°
∴∠1+∠D=90°，∵∠2+∠D=90°
∴∠1=∠2，∵∠C=∠1
∴∠2=∠C
∴AB∥CD
变式训练
如图，在△ABC中，D为AB上一点，∠A=∠2，∠1=∠B．
解：CD⊥AB，理由如下
∵∠A+∠B=90°，∠A=∠2
∴∠2+∠B=90°
∴∠CDB=90°，∴CD⊥AB
（1）判断△ABC的形状；
（2）判断CD是否与AB垂直；
解：△ABC是直角三角形，理由如下
∵∠A=∠2，∠1=∠B，∴∠A+∠2+∠1+∠B=180°
∴∠A+∠B=90°，∴∠ACB=90°，
∴△ACB是直角三角形
C
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3．
在△ABC中，下列条件：①∠A＋∠B＝∠C；②AD是△ABC的中线，BC＝2AD；③三条高的交点在其中一个顶点上；④∠A＝2∠B＝3∠C.其中能确定△ABC是直角三角形的是(　　)
A．①②
B．②③
C．①②③
D．①③④
4．
直角
(1)如图①，AB∥CD，EF分别交AB，CD于点E，F，∠AEF，∠EFC的平分线交于点P，则△PEF是________三角形．
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(2)如图②，在△ABF中，BF的垂直平分线分别交AF，BF于点C，E，若△ABC是等边三角形，则△ABF是________三角形．
直角
5．
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【证明】因为AD，BF
分别是△ABC的高线与角平分线，
所以∠ADB＝90°，∠ABF＝∠CBF.
所以∠CBF＋∠BED＝90°.
因为∠1＝∠2，∠1＝∠BED，
所以∠2＝∠BED，所以∠ABF＋∠2＝90°.
所以∠BAC＝90°，即△ABC是直角三角形．
如图，AD，BF分别是△ABC的高线与角平分线，BF，AD交于点E，∠1＝∠2.求证：△ABC是直角三角形．
6．
[2025杭州月考]如图，已知在△ABC中，AD⊥BC于点D，BD＝AD，E为AC上一点，AD，BE交于点F，DF＝DC.猜想BF与AC的关系，并说明理由．
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7．
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B
如图，将一张正方形的桌布折叠两次，就得到了一个漂亮的图案，在图③中，∠DFE的度数为(　　 )
A．25°
B．30°
C．37.5° 　
D．45°
8．
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5或20　
如图，AO＝10，P是射线ON上一动点，∠AON＝60°.
(1)当OP＝______时，△AOP为直角三角形；
(2)设OP＝x，则当x满足______________时，△AOP为钝角三角形．
0＜x＜5或x＞20
9．
45°
如图，BD⊥AC，垂足为E，△ABE的中线EF的反向延长线交CD于点G，∠B＝∠C，若EG是△CDE的中线，则∠A＝________．
课堂小结
这是“直角三角形两锐角互余”性质的逆命题
原命题：直角三角形 → 两锐角互余。
逆命题：两锐角互余 → 直角三角形。
逆命题与判定
内容：若两个角的和为90°，则称这两个角互余。
示例：在△ABC中，若∠A + ∠B = 90°，则∠A与∠B互余。
互余角的定义
内容：任意三角形的内角和为180°。若一个三角形中有两个角互余（和为90°），则第三个角为：180° - (∠A + ∠B) = 180° - 90° = 90°。
结论：
第三个角是直角，因此该三角形是直角三角形。
三角形内角和定理的应用
01
03
04
02

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