资源简介

(共26张PPT)
浙教版数学8年级上册精做课件授课教师：.班级：8年级（）班.时间：.2.8直角三角形全等的判定第2章　特殊三角形2.8直角三角形全等的判定同步练习题一、选择题（每题4分，共20分）1.直角三角形特有的全等判定定理是（）A. SSS B. SAS C. ASA D. HL2. HL判定定理的适用条件是（）A.任意两边对应相等B.斜边和一条直角边对应相等C.两角一边对应相等D.三边对应相等3.下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是（）A.一条直角边和一个锐角对应相等B.斜边和一个锐角对应相等C.两个锐角对应相等D.两条直角边对应相等4.在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C=∠F=90°，AB=DE，AC=DF，则可判定两三角形全等的依据是（）A. HL B. SAS C. AAS D. ASA5.下列说法正确的是（）A.所有直角三角形都全等B.斜边相等的两个直角三角形全等C. HL定理只适用于直角三角形D.直角三角形全等只能用HL判定二、填空题（每题4分，共20分）6.直角三角形全等的特殊判定方法：________和一条________对应相等的两个直角三角形全等，简称HL。7.普通三角形的全等判定方法SSS、SAS、ASA、AAS，________（填“同样适用”或“不适用”）于直角三角形。8.在Rt△ABC和Rt△ABD中，∠ACB=∠ADB=90°，AB为公共斜边，若补充条件________，即可用HL证明两三角形全等。9.判定直角三角形全等时，最少需要________组对应相等的边或角条件。10.两个直角三角形若斜边相等、一条直角边相等，则这两个三角形________。三、解答题（共60分）11.（18分）判断下列条件能否判定两个直角三角形全等，能的写出判定依据，不能的说明理由。（1）两直角边对应相等；（2）斜边和一个锐角对应相等；（3）两个锐角对应相等。12.（20分）已知：如图，AC⊥BC，AD⊥BD，AC=AD。求证：Rt△ABC≌Rt△ABD。要求：书写规范完整的证明过程，标注每一步推理依据。13.（22分）如图，在△ABC中，AD⊥BC，BD=CD，DE⊥AB，DF⊥AC。求证：DE=DF。参考答案及解析选择题：1.D 2.B 3.C 4.A 5.C解析：3.两个锐角对应相等只能证明三角形相似，边长不一定相等，无法判定全等；5.直角三角形既可以用HL判定，也可以用普通三角形四种全等方法判定。填空题：6.斜边、直角边7.同样适用8. AC=AD（或BC=BD）9.两10.全等解答题11.解：（1）能，依据SAS；（2）能，依据AAS；（3）不能，只有角度相等，无边对应相等，无法确定三角形大小，不能判定全等。12.证明：∵AC⊥BC，AD⊥BD（已知），∴∠C=∠D=90°，△ABC、△ABD均为直角三角形。在Rt△ABC和Rt△ABD中，AB=AB（公共斜边），AC=AD（已知），∴Rt△ABC≌Rt△ABD（HL）。13.证明：∵AD⊥BC，BD=CD（已知），∴AD垂直平分BC，AB=AC（线段垂直平分线性质）。在Rt△ABD和Rt△ACD中，AB=AC，AD=AD，∴Rt△ABD≌Rt△ACD（HL），∴∠BAD=∠CAD。又∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF（角平分线的性质）。课堂导入
"工人师傅为什么用三角尺就能判断窗框垂直？测量员仅用直角仪和一条边的长度如何确定距离？这背后的数学原理是什么？"
旧知复习
一般三角形全等的判定方法有哪些？
AAS
ASA
SAS
SSS
直角三角形作为特殊三角形，是否可以用更简化的条件判定全等？
观察三角尺：若两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等（如两把相同三角尺），它们是否一定全等？
新知探究
课堂活动：画图验证HL定理
步骤1：每人画一个直角三角形△ABC，使∠C=90°，AC=5cm，AB=10cm。
10cm
5cm
步骤2：同桌交换图纸，尝试画出另一个△DEF，满足∠F=90°，DF=5cm，DE=10cm。
5cm
10cm
步骤3：剪下三角形重叠比较，观察是否完全重合。
A
返回
1．
如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AD＝BC，则判定Rt△ABD≌Rt△CDB的依据是(　　)
A．HL　
B．ASA
C．SAS
D．SSS
返回
B
2．
[2025金华期末]如图，AB⊥CD，垂足为O.添加下列一组条件后，不能判定Rt△AOC≌Rt△BOD的是(　　)
A．AC＝BD，OA＝OB　　
B．OA＝OD，∠A＝∠B
C．AC＝BD，OC＝OD
D．AC＝BD，AC∥BD
新知探究
已知：如图所示，在△ACB和△A'C'B'中，∠C＝∠C'＝90°，AB＝A'B'，AC＝A'C'。
求证：Rt△ABC≌Rt△A'B'C'
因为 AC＝A'C'，所以可考虑以 AC 为一边作一个直角三角形，使它和 Rt△A'B'C'全等，然后只要证明所作的直角三角形和Rt△ABC全等。
证明：如图，延长 BC至D，使 CD＝B'C'，连结AD。
由AC＝A'C'，∠ACD＝90°＝∠C'，得△ADC≌△A'B'C'（ SAS），
∴AD＝A'B'，∵A'B'＝AB，∴AD＝AB。
又∵AC⊥BD，AC是等腰三角形ABD的高线，
∴BC＝CD。而AC＝AC（公共边），
可得△ADC ≌△ABC（SSS），所以△ABC ≌△A'B'C'。
直角三角形全等的判定定理：
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边” “HL”）。
例1. 在课堂上，李老师发给每人一张印有Rt△ABC（如图1）的卡片，然后要求同学们画一个Rt△A'B'C'，使得Rt△A'B'C'≌Rt△ABC．小宏同学先画出了∠MB'N之后，后续画图的主要过程如图所示．这种画图方法的依据是（ ）
典例分析
A ．SAS B．AAS C．ASA D．HL
D
小宏第一步为截取BC=B'C'
小宏第二步为作线段AC=A'C'
变式训练
用三角尺可按下面方法画角平分线：在已知的∠AOB的两边上，分别取ON=OM，再分别过点M、N作OA、OB的垂线，交点为P，画射线OP，则OP平分∠AOB．做法中用到证明△OMP与△ONP全等的理由是（ ）
D
A ．SAS B．AAS C．ASA D．HL
例2 如图，AD，BC相交于点O，AB=CD，AM⊥BC于点M，DN∥AM，与BC交于点N，BN=CM．求证：∠B=∠C．
典例分析
根据AM⊥BC于点M，DN∥AM得∠AMB=∠DNC=90°。根据BN=CM得BM=CN,进而可依据“HL”判定Rt△ABM和Rt△DCN全等，然后根据全等三角形的性质即可得出结论。
证明：∵AM⊥BC于点M，DN∥AM
∴∠AMB=∠DNC=90°
∵BN=CM，∴BN+MN=CM+MN
∴BM=CN
在Rt△ABM和Rt△DCN中
∴Rt△ABM≌Rt△DCN(HL),∴∠B=∠C
变式训练
如图，DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，BE=CF，连接BD、CD和AD，DB=DC．求证：AD是∠BAC的平分线．
证明：∵DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F
∴∠BED=∠CFD=90°
又∵BE=CF，BD=DC,
∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)
∴DE=DF
∵DE=DF，DE⊥AB，DF⊥AC
∴点D在∠BAC的平分线上
∴AD是∠BAC的平分线
先证明Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)，得到DE=DF，再根据角平分线的判定即可求证，掌握以上知识点是解题的关键
例3 已知：如图所示，P是∠AOB内一点，PD⊥OA，PE⊥OB，D，E分别是垂足，且PD＝PE。求证：点P在∠AOB的平分线上。
做一做
证明：如图，作射线OP。由PD⊥OA，PE⊥OB，
可得∠PDO＝∠PEO＝90°。∵OP＝OP，PD＝PE，
∴Rt△PDO≌Rt△PEO（HL）。
∴∠1＝∠2，即点P在∠AOB的平分线上（角平分线的定义）。
如图所示，要证明点P在∠AOB的平分线上，可以转化为证明射线OP平分∠AOB。
1
2
角平分线性质定理的逆定理：角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上。
3 cm
返回
3．
如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE⊥AB于点D，交AC于点E，连结BE.BC＝BD.若AC＝3 cm ，则AE＋DE＝________.
4．
如图，点D，E分别在AB，AC上，∠ADC＝∠AEB＝90°，BE，CD相交于点O，OB＝OC.求证：∠1＝∠2.
返回
5．
返回
A
已知△ABC，两个完全一样的三角尺如图摆放，它们的一组对应直角边分别在AB，AC上，且这组对应边所对的顶点重合于点M，则点M一定在(　　)
A．∠A的平分线上 　
B．AC边的高上
C．BC边的垂直平分线上 　
D．AB边的中线上
6．
返回
22.5°
如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，D为BC
上一点，DE⊥AB于点E，CD＝BE，则∠BAD等于________．
7．
返回
如图，PA＝PB，∠1＋∠2＝180°.求证：OP平分∠AOB.
8．
返回
D
[2025杭州月考]如图，∠EBF，∠EAC的平分线BP，AP交于点P，PM⊥BE，PN⊥BF，垂足分别为M，N，连结CP，则下列结论中正确的是(　　)
①CP平分∠ACF；②∠ABC＋2∠APC＝180°；
③∠ACB＝2∠APB；④S△PAC＝S△MAP＋S△NCP.
A．①②④ B．①③④
C．②③④ D．①②③④
9．
返回
2或6或8
如图，CA⊥AB于点A，AB＝8，AC＝4，射线BM⊥AB于点B，一动点E从点A出发以2个单位/秒的速度沿射线AN运动，点D为射线BM上一动点始终保持ED＝CB，当点E离开点A后，运动________秒时，
△DEB与△BCA全等．
10．
返回
115°
如图，作△ABC的两内角平分线与两外角平分线，其交点分别为点O与点D，连结OA，已知∠D＝65°，则∠BOC＝________，∠BAO＝________．
25°
11．
在△ABC中，AD是角平分线，DE⊥AB于点E，F在边AC上，BD＝DF.
(1)如图①，若∠C＝90°，求证：△DCF≌△DEB；
(2)如图②，求证：AB－AF＝2EB；
所以△DAF≌△DAG(SAS)．所以DF＝DG.
因为BD＝DF，所以BD＝DG.
又因为DE⊥BG，所以BE＝GE.
所以AB－AG＝BG＝2EB，所以AB－AF＝2EB.
(3)若AC＝8，AB＝10，BC＝6，直接写出DF的长．
返回
课堂小结
普通三角形全等判定中没有“边边角（SSA）”，但直角三角形中，斜边与直角边构成的“SSA”即HL定理成立。
因直角固定了三角形的形状，确保唯一性。
HL定理的独特性
内容：若两个直角三角形的斜边和一条直角边分别对应相等，则它们全等。
特点：
直角三角形独有的判定方法，普通三角形不适用。
本质是“边边角（SSA）”在直角三角形中的特例（因直角固定了三角形的形状）。关系推直角”。
②必须验证最长边的平方是否等于另两边的平方和。
斜边-直角边定理（HL）
01
03
04
02

展开更多......

收起↑