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山东省青岛第十七中学2025-2026第二学期高一年级期末检测数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．设（i为虚数单位），则的虚部是（ ）
A．3 B． C．4 D．
2．若，，若，则的值是（ ）
A． B． C．-3 D．3
3．为调查学生的体育达标情况，用简单随机抽样的方法，了解全校2506名学生的体育达标情况，抽取100名学生作为样本，第个（，，，，）学生的体育达标情况记为变量值，则表示的含义为（ ）
A．全校学生体育达标的人数 B．样本学生体育达标的人数
C．全校学生体育达标率 D．全校学生体育达标率的估计值
4．底面直径和母线长均为2的圆锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
5．现有6道题，其中4道甲类题，2道乙类题，张同学从中任取2道题解答.所取的2道题都是同一类题的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．在中，内角的对边分别为a，b，c，如果，则一定是（ ）
A．等腰或直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形
7．已知平面，，和直线，，，下列命题正确的是（ ）
A．若，，，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
8．已知，是单位向量， 0．若向量满足||＝1，则||的最大值为（　　）
A． B． C． D．
二、多选题
9．给定一组数5，5，4，3，3，3，2，2，2，1，则（ ）
A．平均数为3 B．众数为2和3
C．方差为 D．第85百分位数为4.5
10．已知事件A，B发生的概率分别为，，下列说法正确的是（ ）
A．若，则事件A，B相互独立
B．若事件A，B互斥，则
C．若事件A，B相互独立，则
D．若事件B发生时事件A一定发生，则
11．已知正方体的棱长为2，为上一动点，为棱的中点，则（ ）
A．四面体的体积为定值
B．存在点，使平面
C．二面角的正切值为
D．当为的中点时，四面体的外接球表面积为
三、填空题
12．已知单位向量，满足，在方向上的投影向量等于________（用向量，表示）.
13．若向量是直线的一个方向向量，则直线的倾斜角为________．
14．已知圆台的上下底面半径分别为2，3，侧面积为，则该圆台的体积为___________.
15．在中，角的对边分别为， ，，若有最大值，则实数的取值范围是______.
四、解答题
16．已知复数，.
(1)若复平面内表示复数的点位于第一象限，求的取值范围；
(2)若，求的最小值.
17．2025年4月15日~5月5日春季广交会期间，出口意向成交额249.5亿美元. “一带一路”共建国家成交占比过半，欧美传统市场成交实现增长.现从某出口贸易展馆随机抽取了100名观展人员，统计他们的观展时间（从进入至离开该展馆的时长，单位：分钟，取整数），将时间分成五组， 并绘制成如图所示的频率分布直方图.
(1)求图中a的值；
(2)由频率分布直方图，试估计该样本数据的第75百分位数（保留一位小数）以及该样本数据的平均数（每组数据以区间的中点值为代表）；
(3)展馆举办方为了进一步了解所抽取的100名观展人员对展品的评价，现采用分层抽样的方法（样本量按比例分配），从参观时间在和内的观展人员中抽取5人，再从中随机挑出两人进行详细调研，求两人分别来自于观展时间在和的概率.
18．如图，一艘巡逻船从小岛A出发，沿北偏东的方向航行c海里后到达小岛B，然后从小岛B出发，继续沿某一方向航行a海里后到达小岛C.小岛A与小岛C相距b海里.三个小岛构成.其中A，B，C分别为三角形在顶点A，B，C处的内角.
(1)若满足关系式：，求巡逻船从小岛A直接航行到小岛C时应采用的方向（以北偏东角度表示）；
(2)巡逻船从小岛A向小岛C直线航行，恰好在行驶了一半路程时，巡逻船在M点抛锚.若从小岛B直接前往救援，需行驶2海里到达M点.若满足关系式：，求的最大值.
19．如图所示，四边形为菱形，，平面平面，点是棱的中点．
(1)求证：；
(2)若，求三棱锥的体积．
(3)若，当二面角的正切值为时，求直线与平面所成的角．
20．通过平面直角坐标系，我们可以用有序实数对表示向量.类似的，我们可以把有序复数对（）看作一个向量，记作，称为复向量.类比平面向量的相关运算法则，对于，（），我们定义复向量运算法则：①加法： ；②减法：；③数乘：；④数量积：；⑤模：.
(1)设，，求和；
(2)验证复向量结合律：是否成立；
(3)设，集合，，求的最小值；并证明当取最小值时，对于任意的，.
《山东省青岛第十七中学2025-2026第二学期高一年级期末检测数学试题》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A A D A D A C C ABC ABD
题号 11
答案 ABD
1．A
2．A
3．D
4．A
5．D
6．A
7．C
8．C
9．ABC
10．ABD
11．ABD
12．
13．
14．
15．
16．(1)
(2)
17．(1)
(2)；
(3)
18．(1)北偏东
(2)
19．(1)
如图所示，设点是棱的中点，连接，，，
由及点是棱的中点，可得，
因为平面平面，平面平面，平面，故平面，
又因为平面，所以，
又因为四边形为菱形，所以，
而是的中位线，所以，可得，
又由，且平面，平面，
所以平面，又因为平面，所以．
(2)1
(3)45°
20．(1)，
(2)成立
(3)的最小值为2，证明：
由，，不妨设，
则，
.
（法一）所以，
当且仅当时，等号成立.即的最小值为2.
（法二）因为，
所以，
，
当且仅当时，等号成立.
令，则，
当，即时，等号成立，即的最小值为2.
此时，，，
，
，
.
命题得证.

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