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2.1.1 有理数的加法
一、单选题
1．西汉时的数学著作《九章算术》在世界数学史上首次正式引入负数．三国时大数学家刘徽在《九章算术注》中用赤、黑色的算筹（注：小棍形状的记数工具）分别表示正数和负数（本试卷用白色表示正数，黑色表示负数），并完善了正负数加减方法，图1所表示的是的计算过程，则图2所表示的计算过程是（ ）
A． B．
C． D．
2．中国人最先使用负数，魏晋时期的数学家刘徽在“正负术”的注文中指出，可将算筹（小棍形状的记数工具）正放表示正数，斜放表示负数，如图，根据刘徽的这种表示方法，观察图①，可推算图②所得到的数值为（ ）
A．8 B． C． D．6
3．已知:，，，则的值是（ ）
A．正数 B．负数 C．非正数 D．0
4．计算的值是（ ）
A． B．6 C． D．12
5．实数3与的和是（ ）
A． B．1 C． D．5
6．若，，，则下列关系正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．在学习有理数的加法时，为了更加直观地展示加法的运算原理，可以用表示，表示．小明画出下图解释了一个式子，这个式子及其结果是（ ）
A． B． C． D．
8．在一条东西方向的跑道上，小亮先向西走了20米，记作“米”，接着又向东走了8米，此时小亮的位置可记作（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
9．数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，如：表示3与1差的绝对值，也可理解为3与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示3与的差的绝对值，也可理解为3与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．若，请利用数轴求出所有符合条件的整数的和（ ）
A． B． C． D．
10．如图所示，将自然数按从小到大的顺序排列成螺旋形，在2处拐第1个弯，在3处拐第二个弯，在5处拐第三个弯 拐第20个弯的地方的数是（　　）
A．91 B．111 C．123 D．132
二、填空题
11．气温从上升后的温度为________．
12．温度由上升了，上升后的温度是_____℃．
13．对于有理数a，b，定义一种新运算“※”，，例如，，利用定义计算___________．
14．学了相反数后，数学老师在黑板上写下了1，2，3，…，40连续40个整数．全班正好有40个同学，老师依次邀请每一个同学来到黑板前进行如下操作：第一个同学把黑板上所有能被1整除的数改写成原数的相反数；第一个同学改写完后，第二个同学把此时黑板上的40个数中能被2整除的数改写成它的相反数；第二个同学操作完后，第三个同学再把此时黑板上能被3整除的数改写成它的相反数，…，以此类推，直到第40个同学在黑板上把前一个同学改写后的40个数中能被40整除的数改写成它的相反数，游戏结束．最后，黑板上出现的所有的负数的和为 ________．
15．某周末，小明家有，，，四项家务要完成，已知完成每项家务都需两个阶段，工作要求如下：
每项家务的第二阶段须在第一阶段完成后进行且各阶段只能由一人或机器完成；
每人同一时间只能进行一项工作：
“家务”与“家务”的第二阶段由机器完成；
每项家务的各阶段所需时间如下表所示：
家务类别阶段用时 第一阶段用时（分） 第二阶段用时（分）
家务
家务
家务
家务
在不考虑其他因素的前提下，若由小明完成家务和家务，则至少需要______分钟；若由小明和哥哥合作完成四项家务，则至少需要______分钟．
三、解答题
16．计算
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)；
(7)；
(8)；
(9)．
17．计算：．
18．如图1，一只小乌龟在方格（每小格边长为1）上沿着网格线运动，它从A处出发到B，C，D处，规定：向上、向右走为正，向下、向左走为负．如果从A到B记为：，从C到D记为：．其中第一个数表示左、右方向，第二个数表示上、下方向．
根据以上信息，解答下列问题：
(1)从A到C记为：（____，____），从C到B记为：（____，____）；
(2)若这只小乌龟的行走路线为，请计算该小乌龟走过的路程；
(3)若这只小乌龟从A处到M处的行走路线依次为，，，，请在图2中画出行走的路线图，并标出M的位置．
19．我们可以利用数、形来表示数量关系．
(1)对于“”，下列黑白方块组成的图形中，可以最直观得到结论的图形是___________（填正确的序号）．
(2)对于“”，请在下面的表格中参考（1）中的图形，使用黑白方块画出可直观得到此结论的图形．
(3)计算：___________．
请利用上面的思想和方法，使用黑白两色的正方形方块画出一个能求（3）式的值的图形．
20．在巴黎奥运会的足球比赛中，某场比赛两队水平相当，根据场上攻守形势，守门员会在门前来回跑动，如果以球门线为基准，向前跑记作正数，返回跑记作负数．一段时间内，某守门员的跑动情况记录如下（单位：）：，，，，，，，．（假定开始计时时，守门员正好在球门线上）
(1)守门员最后是否回到球门线上？
(2)守门员离开球门线的最远距离是多少米？
(3)如果守门员离开球门线的距离超过米，则对方球员挑射极可能造成破门．请问在这一时间段内，对方球员有几次挑射破门的机会？
21．下表是某商店四个季度的盈亏状况（盈利为正，单位：万元）
季度 一 二 三 四
盈利 +128.5 ﹣140 ﹣95.5 +280
求这个商店该年的盈亏状况．
22．两百年前，德国数学家哥德巴赫发现：任何一个不小于6的偶数都可以写成两个奇素数（既是奇数又是素数）之和，简称：“1+1 ”．如，等等．众多数学家用很多偶数进行检验，都说明是正确的，但至今仍无法从理论上加以证明，也没找到一个反例．这就是世界上著名的哥德巴赫猜想．你能检验一下这个伟大的猜想吗？请把偶数42写成两个奇素数之和．42=　　　　，或者42=　　　　．
你是否有更大的发现：把42写成4个奇素数之和？42=　　　　　　　　．
23．
《2.1.1 有理数的加法》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C A C B D D B B B
1．A
【分析】本题考查了有理数的加法运算与阅读理解型问题，解题关键是理解题意，正确列出算式．
【详解】解：黑色部分表示，白色部分表示，
∴左边为，最右边一根白色表示10，
∴为，
故选：A ．
2．C
【分析】由题意可得，竖着表示+2，斜着表示-4，所求即为+2与-4的和．
【详解】解：由题意得：（+2）+（-4）=-2，
故选：C．
【点睛】本题考查正数与负数；理解题意，运用正数与负数的运算法则运算是解题的关键．
3．A
【分析】本题考查有理数的加法，掌握绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．
【详解】解：∵，，，
∴，
故选：A．
4．C
【分析】根据有理数加法法则计算即可.
【详解】解：，
故选：C．
【点睛】本题考查有理数的加法，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
5．B
【分析】本题考查有理数的加法．根据题意，异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值即可．
【详解】解：依题得．
故选：B．
6．D
【分析】此题主要考查了有理数大小比较的方法，由于，，，则，，进而可得答案．
【详解】解：∵，，，
∴，，
∴，
∴，
故选：D．
7．D
【分析】本题主要考查有理数的加法，熟练掌握有理数的加法是解题的关键．根据有理数的加法进行计算即可．
【详解】解：这个式子及其结果是，
故选D．
8．B
【分析】此题考查了正负数的应用，有理数的加法，依题意，向西走为负，则向东走为正，得到，即可得出答案，解题的关键是能准确问题间的数量关系和具有意义相反的量．
【详解】解：根据题意，向西走为负，则向东走为正，
∴，
∴此时小亮的位置可记作米，
故选：B．
9．B
【分析】本题考查了绝对值的几何意义与数轴上的距离问题，关键是理解表示数轴上点到和的距离之和，通过计算两点间距离确定的取值范围，再找出整数解求和．
【详解】解：表示数轴上点到和的距离之和．
∵与的距离为，
∴当且仅当在到之间(包括端点)时，距离之和为．
符合条件的整数为．
计算这些整数的和：．
故选：B．
10．B
【分析】找到拐弯处相邻两数的差，抽象出数字规律，进行求解即可．
【详解】解：拐弯处的数与其序数的关系如下表：
拐湾的序数 0 1 2 3 4 5 6 7 8
拐湾处的数 1 2 3 5 7 10 13 17 21
由此可见拐弯处的数相邻两数的差是，第20个拐弯处的数是．
故选B．
【点睛】本题考查数的规律探究．解题的关键是抽象概括出相应的数字规律．
11．
【分析】本题考查有理数加法的应用，计算即可解答．
【详解】解：，
∴气温从上升后的温度为．
故答案为：
12．/
【分析】本题考查了有理数的加法运算，理解题意，掌握有理数的加法运算是解题的关键．
根据问题上升了，用有理数的加法计算即可求解．
【详解】解：温度由上升了，
∴上升后的温度是，
故答案为： ．
13．
【分析】根据新定义的运算法则列式计算即可．
【详解】解：．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了新定义的有理数运算，根据题意列出算式，是解题的关键．
14．
【分析】本题考查了规律型，找出1，2，3，…，40连续40个整数中含有奇数个因数的数（完全平方数），可得出游戏结束后黑板上出现的负数，再将其相加，即可求出结论．
【详解】解：∵从1到40中，只有1，4，9，16，25，36含有奇数个因数，
∴游戏结束后，黑板上出现的负数是，，，，，，
∴．
故答案为：．
15．
【分析】本题考查了本题考查了逻辑推理与时间统筹，根据加工要求得出加工顺序是解题的关键．
因为家务的第二阶段可以由机器完成，小明在完成家务的第一阶段后，就可以开始完成家务，小明在完成家务的时间段内，机器可以完成家务的第二阶段，所以小明完成家务和家务，则至少需要分钟；
因为家务的第二阶段需要分钟，完成家务需要分钟，所以把家务和分为一组，家务的第二阶段需要分钟，而完成家务需要分钟，所以把家务和分为一组，这样一来，完成家务和需要分钟，完成家务和需要分钟，所以 这四项家务全部完成最少需要分钟．
【详解】解：小明先完成家务的第一阶段，用时分钟，
由机器完成家务的第二阶段，同时小明开始家务的第一阶段，
小明完成家务的第一阶段和第二阶段共用时分钟，
在小明完成家务（第一阶段和第二阶段）时间段内，机器完成了家务的第二阶段，
小明完成家务和家务，则至少需要分钟；
小明和哥哥合作完成四项家务，把和分为一组，和分为一组，
和分为一组，最少需要的时间是分钟，
和分为一组，最少需要的时间是分钟，
小明和哥哥合作完成四项家务，则至少需要分钟．
故答案为：，．
16．(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
【分析】本题主要考查了有理数的加法计算，熟知有理数的加法计算法则是解题的关键．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
；
（5）解：
；
（6）解：
；
（7）解；
；
（8）解：
；
（9）解：
．
17．1
【分析】直接利用有理数加法的交换律与结合律进行计算即可得．
【详解】解：原式
．
【点睛】本题考查了有理数的加法，熟练掌握有理数加法的交换律与结合律是解题关键．
18．(1)，，，
(2)16
(3)见解析
【分析】本题考查了正数和负数，有理数的加法运算，读懂题目信息，理解正负数的意义以及写法的规定是解题的关键．
（1）根据规定结合图形写出即可；
（2）根据小乌龟的运动路线列式计算即可得解；
（3）根据规定的运动路线依次得到各关键点，最后得到点M的位置即可．
【详解】（1）解：，；
故答案为：；；；．
（2）解：，
答：该小乌龟走过的路程为16；
（3）解：点M如图所示．
19．(1)②
(2)见解析
(3)，见解析
【分析】本题考查了图形类规律探索，有理数的加法，采用数形结合的思想是解此题的关键．
（1）斜着看图②中方格数即可得解；
（2）根据式子画出符合题意的图形即可；
（3）先计算出结果，再表示成容易计算的正方形即可．
【详解】（1）解：斜着看图②中方格数，可得方格数的总和为，
故对于“”，可以最直观得到结论的图形②；
故答案为：②；
（2）解：对于“”，画出图形如图所示：
（3）解：
，
画出图形如图所示：
故答案为：．
20．(1)没回到球门线上
(2)米
(3)次
【分析】本题考查正负数的意义，有理数的加法运算的应用，熟练掌握有理数的加法运算法则是正确解答的关键．
（1）求出守门员移动情况数据的和即可；
（2）求出每一次移动后所得到的结果，根据结果的绝对值的大小即可得出答案；
（3）比较每一次移动后所得到的结果，根据结果的绝对值与米比较可得答案．
【详解】（1）解：（米），
答：守门员最后没回到球门线上，而是在球门线前米的地方；
（2）解：（米），
（米，
（米，
（米，
（米，
（米，
（米，
（米，
所以守门员离开球门线的最远距离是米；
（3）解：有次挑射破门的机会，理由：
守门员离开球门线的距离超过米的次数有次，即米，米．
21．盈利173万元
【分析】此题直接把四个季度的盈利数据利用有理数的加法法则求和即可求出这个商店该年的盈亏状况．
【详解】解：
（万元）．
∴这个商店该年的盈利173万元．
【点睛】此题主要考查了有理数的加法法则，利用法则求出已知几个数据的和即可解决问题．
22．5，37；11，31；5，5，13，19
【分析】根据题意利用有理数加法计算即可；
【详解】解：根据题意得：
或；
；（答案不唯一）；
故答案为：5，37；11，31；5，5，13，19．
【点睛】本题主要考查了有理数的加法运算，准确计算是解题的关键．
23．
【分析】把小数化为分数，再通分，再按照有理数的加法运算法则进行运算即可.
【详解】解：
【点睛】本题考查的是有理数的加法运算，掌握“同号的两数相加，取与加数相同的符号，再把它们的绝对值相加”是解本题的关键
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