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2.1.2 有理数的减法
一、单选题
1．计算的结果是（　　）
A． B．6 C． D．5
2．计算：（ ）
A． B．3 C． D．7
3．在我国古代数学名著《九章算术》中，曾有关于“正负术”的记载，体现了古人对有理数运算的智慧．现定义运算符号“ &”，当时，；当时，；当时，，根据这种运算．则等于（ ）
A．7 B． C．3 D．
4．仁怀市某镇年月日这一天的最高气温和最低气温分别是和，这一天的温差是（ ）
A．　 B．　 C．　 D．　
5．2020年1月12日，夏津县白天的最高气温，夜间气温最低时，则这天的温差为（ ）
A． B． C． D．
6．有4个数：，，，3，任意取其中两个数求差记为a，剩下的两个数求差记为b，再求a与b的差，这样的过程称之为“连差操作”．例如：，，即为一种“连差操作”．给出下列说法：
①不存在“连差操作”，使其结果为0
②至少存在一种“连差操作”，使其结果为10
③所有的“连差操作”，共有5种不同的结果
以上说法正确的是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
7．若数轴上点表示的数是，则与点相距5个单位长度的点表示的数是（ ）
A． B． C．或9 D．1或
8．与相差是（ ）
A．75 B．5 C．400 D．395
9．直尺中处对应数轴上的数是( )

A． B． C． D．0
10．地的海拔高度是4600米，地的海拔高度是米，则地比地高（ ）
A．4600米 B．100米 C．4500米 D．4700米
二、填空题
11．某超市出售的一种品牌大米袋上，标有质量为（10±0.25）kg的字样，从超市中任意拿出该品牌大米两袋，它们的质量最多相差______kg．
12．生命在于运动，张强每天坚持练习跳绳．某一天，张强以1分钟跳160个为标准，记录了他6次1分钟跳绳的数量（单位：个），请将表格补充完整．
序号 1 2 3 4 5 6
跳绳个数 151 ______ ______ 166 ______ 171
与标准的差值 ______ 0 ______
13．北京某天的最高气温是，最低气温是，则这天的温差是______．
14．为了让学生更好的掌握第二章有理数的运算知识，七年（1）班数学老师在班级里组织了一次知识竞赛，有10道选择题，每道题答对得5分，答错或不答扣1分．
（1）小明答对了8道题，答错了2道题，他的总得分是______分；
（2）若该班的学生中至少有4人的得分相同，则这个班级的学生至少有______人．
15．在课后延时服务中，某数学小组在一张白纸上制作一条数轴，如图．
折叠纸面，使表示的点与表示3的点重合，若数轴上两点之间的距离为9（点在点的左侧），且两点折叠后重合，则点表示的数是________，点表示的数是________．
三、解答题
16．计算：．
17．计算
(1)；
(2).
18．快递员骑车从转运中心出发，先向西骑行1km到达A小区，继续向西骑行2km到达B小区，后向东骑行6km到达C小区，最后回到转运中心．
(1)以转运中心为原点，以向东方向为正方向，用1cm表示1km画出数轴，并在该数轴上表示出A，B，C三个小区的位置．
(2)C村离A村有多少千米？
(3)邮递员一共骑行了多少千米？
19．2021年7月，我国河南省由于受台风等因素的影响，出现了千年难遇的特大洪涝灾害．国家防总部署强降雨防范，各级水利部门加强了检测预报预警，及时发布洪水预警信息，为调度决策、防范应对和抢险救灾提供了有力支撑．
下表是我国河南省某水库一周内的水位变化情况 单位：（米）
星期 一 二 三 四 五 六 日
水位记录 +2.5 +1.2 +2.1 -0.3 -0.5 +0.2 -0.8
（注：该水库的警戒水位是35.5米，表格中“+”表示比警戒水位高，“—”表示比警戒水位低）
（1）该水库本周水位最高的一天是星期______，这一天的实际水位是______米．
（2）若规定水位比前一天上升用“+”，比前一天下降用“—”，不升不降用“0”，请补全下面的本周水位变化表：单位（米）
星期 一 二 三 四 五 六 日
水位变化 +2.3 -0.2 -1
（3）与上周末相比，本周末该水库水位是上升了，还是下降了？变化了多少？
20．生活中，通常用24时计时法表示具体时间与之相关，全球共分为24个时区，相邻两个时区的时间相差1小时，以英国格林威治所在的本初子午线为基准，在格林威治以东的地区，时差以“”标记，在格林威治以西的地区，时差以“”标记，下表是各城市与格林威治的时差：
城市 北京 纽约 悉尼 莫斯科
与格林威治时差（时）
例如：格林威治12时，对应北京当地时间20时，对应纽约当地时间8时．
(1)莫斯科和纽约的时差是多少小时？
(2)若在悉尼的小明22时打电话给在纽约的小亮，则纽约当地时间是几时？
(3)小明将在11月14日21时乘坐北京直飞悉尼的飞机，经过12小时抵达，此时悉尼当地时间为11月几日的几时？
21．2024年国庆节放假期间，高速公路免费通行，各地风景区游人如织．其中，福鼎市太姥山风景名胜区，9月30日的游客人数为万人，10月1日至10月7日，每天的游客人数变化如下表（正号表示人数比前一天多，负号表示人数比前一天少）：
日期 10月1日 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 10月6日 10月7日
人数变化（万人）
(1)10月4日的人数为_____万人．
(2)七天假期，游客人数最多的是10月_____日，达到_____万人．游客人数最少的是10月_____日，达到_____万人．
(3)请求出太姥山风景名胜区在国庆假期七天内一共接待了多少游客？
22．已知点A、B、C、D为数轴上的四个点，请回答下列问题：

(1)如果把点A先向右平移3个单位长度，再向左平移6个单位长度到达点B，则点B表示的数是　　；
(2)若点D到原点距离是点C到原点距离的2倍，则点D表示的数是多少？请加以说明．
23．下面的结论是否正确？为什么？
(1)两数的差一定小于被减数．
(2)被减数一定大于减数．
(3)0是最小的有理数．
(4)一个数的倒数一定小于它本身
《2.1.2 有理数的减法》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C A B D A C D D C D
1．C
【分析】根据有理数的减法法则计算即可．
【详解】解：，
故选：C．
【点睛】本题考查有理数的减法，熟练掌握运算法则是解题的关键．
2．A
【分析】本题主要考查了有理数的减法运算，熟练掌握其运算法则是解决此题的关键．先去括号，再进行计算即可得解．
【详解】解：
，
故选：A ．
3．B
【分析】本题考查了新定义下的实数运算，根据运算符号“&”的定义，先计算内部的值，再计算与的和，最后对结果应用“&”运算即可；
【详解】解：∵ ，
∴ ；
∴ ；
∵ ，
∴ ；
∴ ；
故选：B
4．D
【分析】首先要弄清温差的含义是最高气温与最低气温的差，那么这个实际问题就可以转化为减法运算即可．
【详解】这一天的温差是： ，
故选：．
【点睛】此题考查了有理数的减法，解题的关键在于掌握运算法则．
5．A
【分析】根据题意列式，利用有理数的减法法则计算即可．
【详解】解：温差为，
故选：A．
【点睛】本题考查有理数减法的实际应用，根据题意列出算式是解题的关键．
6．C
【分析】本题主要考查有理数减法，先确定所有可能的“连差操作”情况，计算每种情况的结果，再根据结果判断三个说法的正确性．
【详解】解：四个数中任取两个数作为第一组，剩下的两个作为第二组，共有3种分组方式（无序分组），每种分组方式中，组内两数顺序不同会导致差值不同，需分别计算第一组差值a和第二组差值b，再计算．
分组方式1：组，组或组，组
情况1：；
情况2：；
情况3：；
情况4：；
情况5：；
情况6：；
情况7：；
情况8：；
分组方式2：组，组或组，组
情况1：；
情况2：；
情况3：；
情况4：；
情况5：；
情况6：；
情况7：；
情况8：；
分组方式3：组，组或组，组
情况1：；
情况2：；
情况3：；
情况4：；
情况5：；
情况6：；
情况7：；
情况8：；
所有结果： (共5种不同结果)，
存在结果为0的情况，故说法①错误，
结果中包含10，故说法②正确，
不同结果为，共5种，故说法③正确，
所以说法正确的有2个，
故选：C．
7．D
【分析】本题考查了数轴，有理数的加减运算，根据在数轴上与点相距5个单位长度分情况列式计算即可．
【详解】解：数轴上点表示的数是，
与点相距5个单位长度的点表示的数为或，
故选：D．
8．D
【分析】本题主要考查代数的运算，根据题意列出等式进行运算即可．
【详解】解：
，
故选∶D．
9．C
【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离，先确定出单位长度1表示，尺中处与处相差2个单位长度，从而得解，然后解题的关键是推导出单位长度1表示．
【详解】解：∵表示1与2的亮点分别在直尺的，处，，
∴单位长度1表示，
直尺中处与处相差，
这点距离有个单位长度．
∴直尺中处对应数轴上的数是：，
故选：C．
10．D
【分析】此题考查了有理数减法的实际应用以及正负数的实际应用，用A地的高度减去B地的高度，列减法算式计算即可．
【详解】解：米，
则地比地高4700米，
故选：D．
11．0.5
【分析】根据题意求出该大米的最大重量和最小重量，作差即可得．
【详解】解：根据题意可知，大米最大重量为：（千克），
大米最小重量为：（千克），
则它们的质量最多相差：（千克），
故答案为：0.5．
【点睛】本题考查了正负数的意义和有理数的减法，解题的关键是掌握正负数的意义．
12．163，158，，，
【分析】本题考查了正负数的应用，明确超出标准的个数记作正数，低于标准的个数记作负数是解题的关键．
【详解】根据题意，填表如下：
序号 1 2 3 4 5 6
跳绳个数 151 １６３ 158 166 160 171
与标准的差值 0
故答案为：163，158，，，．
13．
【分析】本题考查了有理数的减法运算的应用．温差是最高气温与最低气温的差，应用有理数减法运算，据此进行列式计算，即可作答．
【详解】解：∵北京某天的最高气温是，最低气温是，
∴，
即这天的温差是，
故答案为：．
14． 38 34
【分析】本题考查有理数乘法运算及加减运算的实际应用，理解题意是解题的关键．
（1）根据“正负分数的和等于总积分”列式求值；
（2）根据题意先求出一共有种分数，再根据该班的学生中至少有4人的得分相同列式求解即可．
【详解】解：（1）（分），
故答案为：；
（2）最高得分为分，最低得分为分，一共有种分数，
∴参加竞赛的学生至少有（人）；
故答案为：．
15．
【分析】本题考查的是数轴两点之间的距离，由折叠纸面，使表示的点与表示3的点重合，确定折痕点对应的数，再计算，利用点在数轴上的移动可得答案．
【详解】解：由折叠纸面，使表示的点与表示3的点重合，
所以折点对应的数为：，
又 ，
点对应的数为：
点对应的数为： ，
故答案为：，
16．13
【分析】本题考查了有理数的减法，熟记其运算法则是解题的关键．减去一个数，等于加上这个数的相反数，由此计算即可．
【详解】解：
．
17．(1)
(2)
【分析】本题考查了有理数的加法运算，混合运算．
（1）根据有理数加法运算法则计算即可．
（2）逆用分配律计算即可．
【详解】（1）
．
（2）
．
18．(1)画图见解析
(2)C村离A村有4千米.
(3)邮递员一共骑行了12千米.
【分析】（1）以转运中心为原点，向东为正方向，1km为单位长度建立数轴，再根据骑行距离依次再数轴上标出A，B，C即可；
（2）利用数轴上两点间的距离公式列式 再计算即可得到答案；
（3）把骑行的路程相加即可得到答案.
【详解】（1）解：如图，
（2）解：
所以C村离A村有4千米.
（3）解：
所以邮递员一共骑行了12千米.
【点睛】本题考查的是数轴的含义，利用数轴表示有理数，正负数的实际应用，数轴上两点之间的距离，绝对值的含义，有理数的加减运算，利用数形结合解决问题是解本题的关键.
19．（1）一，38；（2）补全表格见解析；（3）下降了，下降了1米．
【分析】（1）找出表格中的最大数即为该水库本周水位最高的一天，再将其加上即可得到这一天的实际水位；
（2）根据题干中表格的数据，利用星期二的水位记录减去星期一的水位记录可得星期二的水位变化值，同样的方法求出其他时间的即可；
（3）先根据星期一的水位变化值求出上周末的水位记录，再根据本周末的水位记录进行比较即可得出答案．
【详解】解：（1）因为，
所以该水库本周水位最高的一天是星期一，
这一天的实际水位是（米），
故答案为：一，38；
（2）星期二的水位变化值：（米），
星期三的水位变化值：（米），
星期四的水位变化值：（米），
星期六的水位变化值：（米），
补全本周水位变化表如下：单位（米）
星期 一 二 三 四 五 六 日
水位变化
（3）上周末的水位记录为（米），
则（米），
答：与上周末相比，本周末该水库水位是下降了，下降了1米．
【点睛】本题考查了正负数的实际应用、有理数加减法的应用，理解正负数的意义和正确列出各运算式子是解题关键．
20．(1)莫斯科和纽约的时差是7小时
(2)纽约当地时间是7时
(3)经过12小时抵达，此时悉尼当地时间为11月15的12时
【分析】本题考查的是正负数的实际应用，有理数的加减运算的实际应用，理解时差中的正号与负号的含义是解本题的关键．
（1）利用莫斯科与格林威治的时差减去纽约与格林威治的时差，即可作答；
（2）先求出纽约与悉尼的时差，再用悉尼的时刻减去所求的时差，即可作答；
（3）先求出飞机抵达悉尼的北京时刻，再求出北京与悉尼的时差，再用所得的北京时刻加上该时差，即可作答．
【详解】（1）解：（小时），
答：莫斯科和纽约的时差是7小时；
（2）解：悉尼和纽约的时差为（小时），
（时）
答：纽约当地时间是7时；
（3）解：11月14日21时乘坐北京直飞悉尼的飞机，经过12小时后是北京时间11月15日9时，北京和悉尼的时差为（小时），
∴（时），
答：经过12小时抵达，此时悉尼当地时间为11月15的12时．
21．(1)1
(2)3，，7，
(3)万人
【分析】本题主要考查有理数的加减法混合运算，读懂题意是解题的关键．
（1）将加上10月1，2，3，4日的变化量可求解；
（2）分别计算每天的游客数量即可求解；
（3）将每天的游客数相加可求出总游客数．
【详解】（1）解：（万人），
故10月4日的人数为万人；
故答案为：1
（2）解：10月1日游客人数为：（万人）；
10月2日游客人数为：（万人）；
10月3日游客人数为：（万人）；
10月4日游客人数为：（万人）；
10月5日游客人数为：（万人）；
10月6日游客人数为：（万人）；
10月7日游客人数为：（万人）；
故七天假期里，游客人数最多的是10月3日，达到万人．游客人数最少的是10月7日，达到万人．
故答案为：3；；；；
（3）解：（万人）
答：太姥山风景名胜区在国庆假期七天内一共接待了万游客．
22．(1)
(2)点D表示的数为，理由见解析
【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算：
（1）根据向右移动为加，向左移动为减，结合数轴上两点距离计算公式求解即可；
（2）先求出点C到原点的距离为3，再求出点D到原点距离是6，据此可得答案．
【详解】（1）解：∵点A表示的数是1，把点A先向右平移3个单位长度，再向左平移6个单位长度到达点B，
∴点B表示的数是，
故答案为：；
（2）解：点D表示的数为，理由如下：
点C表示的数为，
∴点C到原点的距离为3，
∵点D到原点距离是点C到原点距离的2倍，
∴点D到原点距离是6，
∴点D表示的数为．
23．(1)错误，理由见详解
(2)错误，理由见详解
(3)错误，理由见详解
(4)错误，理由见详解
【分析】本题考查了倒数，有理数的减法运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）根据举例进行说明，即可作答．
（2）根据举例进行说明，即可作答．
（3）根据不存在最小的有理数，进行分析，即可作答．
（4）根据举例进行说明，即可作答．
【详解】（1）解：该结论是错误的，理由如下：
依题意，，此时被减数是，差是，
∵，
∴两数的差一定小于被减数是错误的；
（2）解：该结论是错误的，理由如下：
依题意，，此时被减数是，减数是，
∵，
∴被减数一定大于减数是错误的；
（3）解：该结论是错误的，理由如下：
依题意，不存在最小的有理数，
故0是最小的有理数是错误的；
（4）解：该结论是错误的，理由如下：
依题意，的倒数是，而，
∴一个数的倒数一定小于它本身是错误的．
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