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2025-2026学年上海市静安区彭浦中学高一（上）期中数学试卷
一、填空题
1．已知常数且，假设无论为何值，函数的图象恒经过一个定点，则这个点的坐标为　 ．
2．如果不等式的解集为，那么的取值范围是　 ．
3．设全集，1，2，4，6，，集合，4，，，1，，则　 ．
4．化简：　 ．
5．已知，，且是的充分非必要条件，则实数的取值范围是　 ．
6．已知，，则用，表示　 ．
7．已知，函数的大致图像如图所示，则　 ．
8．已知关于的不等式解集为，则实数的取值范围是　 ．
9．已知，，都是实数，一元二次方程有两个非零实根，，且，则　 ．
10．关于的不等式的解集中恰有4个正整数，实数的取值范围为　 ．
11．已知，均为正数，，则的最小值是　 ．
12．课内我们已经学习了一元二次方程的韦达定理．实际上，一元三次方程也有对应的韦达定理：一元三次方程的三根为，，满足：．已知，，满足：和，其中互不相等，则　 ．
二、选择题
13．已知、、都是实数，则下列命题中，真命题是（　　）
A．若，则． B．若，则．
C．若，则． D．若，则．
14．若，，，，下列运算正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
15．已知集合，，，，，，，则集合的子集个数为（　　）
A．3 B．4 C．8 D．7
16．“学如逆水行舟，不进则退；心似平原跑马，易放难收”（明《增广贤文》是勉励人们专心学习的．假设初始值为1，如果每天的“进步率”都是，那么一年后是；如果每天的“退步率”都是，那么一年后是．一年后“进步者”是“退步者”的倍．照此计算，大约经过天“进步者”是“退步者”的2倍．（参考数据：，，
A．33 B．35 C．37 D．39
三、解答题
17．已知集合，，集合．
（1）若，求；
（2）若，求实数的取值范围．
18．（1）已知，比较和的大小并说明理由；
（2）设，用反证法证明：若，则或．
19．如图，动物园要围成相同的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．
（1）现有可围长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？
（2）若使每间虎笼面积为，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋总长度最小？
20．（18分）（1）当时，解关于的方程；
（2）当时，要使对数有意义，求实数的取值范围；
（3）若关于的方程有且仅有一个解，求实数的取值范围．
21．（18分）对于直角坐标平面上的两个点，、，，记．
（1）若点，，求满足的的集合；
（2）若点在函数图像上，点的坐标为，求满足的的集合；
（3）若、，点是直角坐标平面上的任意一点，求，，的最小值并指出取得最小值时的点的集合．
参考答案
一、填空题
1．．
2．．
3．．
4．．
5．，．
6．．
7．．
8．，．
9．．
10．，．
11．4．
12．．
二、选择题
13．．
14．．
15．．
16．．
三、解答题
17．解：（1）．
（2）的取值范围是，．
18．解：（1）；
（2）证明：假设且，则，
与已知条件矛盾，
所以假设不成立，即或．
19．解：（1）每间虎笼长，宽时，虎笼面积最大．
（2）每间虎笼长，宽4米时，钢筋总长度最小．
20．解：（1）；
（2），，；
（3）的取值范围是，或或．
21．解：（1）；
（2）；
（3），，的最小值为3，此时点的集合为且．

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