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2025-2026学年上海市长宁区延安中学高一（上）期中数学试卷
一、填空题（共有12题，满分42分，第1至6题每题3分，第7至12题每题4分）.
1．用符号或填空：　 　
2．已知集合，0，2，，若，，则　 　．
3．若实数，且，，则　 　．
4．某班有50名同学，参加数学竞赛的有36人，参加化学竞赛的有20人，两种竞赛都不参加的有8人，则两种竞赛都参加的有　 　人．
5．已知关于的不等式的解集为，则　 　．
6．已知，，且，则的最大值为　 　．
7．已知集合，，则　 　．
8．若实数，满足，则不等式的解集为　 　．
9．若不等式对一切都成立，则实数的取值范围是　 　．
10．已知，若存在，，使得不等式成立，则的取值范围是　 　．
11．已知集合有整数解，非空集合满足条件：①，②若，则，则所有这样的集合的个数为　 　．
12．已知实数，满足且，则的最大值是　 　．
二、选择题（共4题，满分12分，每题3分）.
13．下列命题中正确的是（　　）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
14．用反证法证明命题：“，，若可被5整除，那么，中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应该是（　　）
A．，不都能被5整除 B．，都能被5整除
C．，都不能被5整除 D．能被5整除
15．香农公式是被广泛公认的通信理论基础和研究依据，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大数据传输速率取决于信道带宽、信道内信号的平均功率、信道内部的高斯噪声功率的大小，其中叫做信噪比．根据香农公式，若当，时，最大数据传输速率记为；当，时，最大数据传输速率记为，则（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
16．对三个正实数、、，下列说法正确的是（　　）
A．存在，，的一组值，使得、、均小于2
B．存在，，的一组值，使得、、中恰有两个小于2
C．对，，的任意值，、、都不小于2
D．对，，的任意值，、、中至多有两个不小于2
三、解答题（共5题，满分46分）.
17．已知，．
（1）求的值；
（2）用，表示．
18．设集合，集合．
（1）若，求；
（2）设命题，命题，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．
19．已知幂函数在上单调递增．
（1）求实数的值；
（2）若，求实数的取值范围．
20．小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业．经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为3万元，每生产万件，需另投入流动成本为万元，在年产量不足8万件时，（万元）．在年产量不小于8万件时，（万元）．每件产品售价为5元．通过市场分析，小王生产的商品能当年全部售完．
（1）写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式；（注：年利润年销售收入固定成本流动成本）
（2）年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？
21．问题：正实数，满足，求的最小值．其中一种解法是：
，当且仅当且时，即且时取等号，学习上述解法并解决下列问题：
（1）若正实数，满足，求的最小值；
（2）若实数，，正实数，满足，求证：；
（3）求代数式的最小值，并求出使得取最小值的的值．
参考答案
一、填空题
(
1
)
1．．
2．，．
3．．
4．14．
5．．
6．．
7．，．
8．，，．
9．，．
10．，．
11．31
12．．
二、选择题
13．．
14．．
15．．
16．．
三、解答题
17．解：（1）因为，，即，，
则；
（2）．
18．解：（1），
当时，集合，
因此；
（2），，
因为是成立的必要不充分条件，
所以集合是集合的真子集，因此有，解得，
19．解：（1）因为是幂函数，所以，解得，或，
又因为在上单调递增．
所以，即，所以．
（2）由于在区间，上都是减函数，且．
分三种情况讨论：
①当，即时，原不等式成立；
②当，且时，有，即，解集为空集．
③当，且时，有，解得．
综上所述：的取值范围是，，．
20．解：（1）由题意知每件商品售价为5元，故得到万件商品销售收入为万元，
所以当时，，
且当时，，
故；
（2）①当时，，易知当时，取得最大值（2）万元，
②当时，，当且仅当时，取得最大值15万元，
因为，故年产量为10万件时，所获利润最大，最大利润为15万元．
21．解：（1）因为，，，
所以，
当且仅当，即，时，取得最小值；
（2）证明：因为，
所以，
因为，
当且仅当且、同号时取等号，
所以．
（3）令，，所以，，
由，解得，
由，则，
所以，利用（2）中结论，有，
当且仅当且，时，即取等号，
解得时，取最小值．

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