资源简介

1.4《线段垂直平分线与角平分线》暑假预习
一、单选题
1．到三角形各顶点距离相等的点是三角形（　　）
A．三条中线的交点 B．三边垂直平分线的交点
C．三条角平分线的交点 D．三条高线的交点
2．如图，在中，是边的垂直平分线，，．则的长为（ ）
A．7 B．5 C．3 D．2
3．如图，在中，的垂直平分线分别交，于点，，连接.若，，则的长为（ ）
A．10 B．6 C．4 D．2
4．如图，，平分，，，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
5．正方形网格中，位置如图，点O、A、B三点都是格点，则格点C、D、E、F中到两边距离相等的点是（ ）
A．C点 B．D点 C．E点 D．F点
6．如图，在中，，垂足为点，垂直平分，交于点，交于点，连接，若，的周长为，，则的长为（ ）

A． B． C． D．
7．以下说法中错误的是（　　）
A．如果直线l是线段的垂直平分线，点P在l上，那么
B．如果点P到线段两个端点的距离相等，那么点P在线段的垂直平分线上
C．如果点P是内一点，M、N分别在、上，且，那么射线是的平分线
D．如果是的平分线，P是上一点，那么点P到、的距离相等
8．如图，中，，，，，点D是，的角平分线的交点，则点D到的距离为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．3.5
9．如图，中，，直线垂直平分，点是上一点，点是上一点，连接，，若的面积为10，，则的最小值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
10．如图，三角形中，的平分线交于点D，过点D作，垂足分别为E，F，下面四个结论：①；②垂直平分；③；④一定平行．其中正确的是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④
二、填空题
11．如图，垂直平分线段，若，，则四边形的周长为______．
12．如图，在中，，是的角平分线，，，则点D到的距离是______．
13．如图，在中，的垂直平分线与边分别交于点D，E，已知与的周长分别为和，则的长为_______．

14．如图，在中，线段，的垂直平分线，分别交于点G，H，，相交于点F，若线段的长为8，则的周长为______．
15．如图，在中，，线段的垂直平分线交于点，交于点，若的周长为7，则_______．
16．如图，点分别在的垂直平分线上，，，三点在同一条直线上，如果，，那么四边形的周长为___．
17．如图，在中，，，，将沿折叠，使得点 B恰好落在边上的点E处，折痕为，若点F为上一动点，则的周长最小值为____________
18．在中，，的垂直平分线与的垂直平分线分别交边于点，且，则______．
19．如图中，，平分，于，给出下列结论：①；②平分；③平分；④；⑤．其中正确的是______．
20．如图，中，点在边上，连接，的角平分线与的角平分线交于点，连接．若，，，则_____．
三、解答题
21．如图，在中， ，线段的垂直平分线交于点E，交于点D，求的周长．
22．如图，已知：，，，垂足为E，，垂足为F．
(1)求证：；
(2)已知，求的长．
23．如图，在中，，垂直平分，交于点F，交于点E，且，连接．
(1)求证：；
(2)若的周长为，，求周长．
24．如图所示，在中，，点G为的中点，DG BC交的平分线于点D，于点E，交的延长线于点F．
(1)求证：；
(2)直接写出的长 ．
25．如图，的平分线与的垂直平分线交于点D，，，垂足分别是E，F．
(1)求证：；
(2)若在中，，，求BE的长．
26．如图，在中，分别垂直平分和，交于M，N两点，与相交于点F．
(1)若的周长为，求的长；
(2)试判断点F是否在边的垂直平分线上，并说明理由．
27．尺规作图：
如图，在三角形中，，请仅用无刻度的直尺和圆规完成下列作图，并完成填空．
(1)作的平分线，交边于点D；
(2)作点C关于直线的对称点E；
(3)连接，则的周长=______．
28．如图，的角平分线和边的垂直平分线相交于点E，，，垂足分别为点M、N．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
29．如图，聪明好学的小海同学看到课本第页第题：
经过简单的整理，小海同学由这道题，得出一个结论：三角形一个内角平分线分对边得到的两线段的比，等于这个角的两邻边的比．
过点作于点于点，过点作于点．
平分，且点，于点，
∴___________，
∴___________，
又∵___________，
∴．
(1)请你补全小海同学的证明过程；
(2)如图2，小海同学又进行了深度思考，如果将“内角的平分线”换成“外角的角平分线”，是否仍成立？请你根据提供的图形帮助小海同学完成该命题的证明！
30．如图，在和中，，，，过作，垂足为，交的延长线于点，连接．
(1)求证：；
(2)求证：平分；
(3)若四边形的面积为12，，求的长．
参考答案
一、单选题
1．B
∵线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，
∴到三角形任意两个顶点距离相等的点，在这两个顶点所在边的垂直平分线上，
∴同时到三个顶点距离相等的点，是三角形三边垂直平分线的交点．
2．A
解：∵是边的垂直平分线，
∴，
∴．
3．D
解：∵垂直平分线段，
∴，
∴，
故选：D．
4．B
解：如图，过点作于，
∵平分，且，
∴，
∴
．
5．C
解：由题意，可知该点在的平分线上，
通过图象可知，点E在的平分线上，
故选： C．
6．B
解：∵，，
∴垂直平分，
∴，
∵垂直平分，
∴，，
∴，，
∵的周长为，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
7．C
解：∵直线l是线段的垂直平分线，点P在l上，则，
∴ A正确，故不符合题意；
∵点P到线段两个端点的距离相等，则点P在线段的垂直平分线上，
∴ B正确，故不符合题意；
∵ 角平分线的判定要求点到和的垂直距离相等，但选项C中和是点到和上点M、N的距离，不一定垂直，
∴ 不能推出是的平分线，
∴ C错误，故符合题意；
∵是的平分线，P是上一点，则点P到、的距离相等，
∴ D正确，故不符合题意．
故选：C．
8．A
解：如图所示，过点D作分别垂直于，垂足分别为E、F、G，连接，
∵，的角平分线交于点D，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点D到的距离为1，
故选：A．
9．B
解：连接，如图
直线垂直平分，
，
当、、共线且时，取得最小值，即的长．
由的面积，，得，解得，
故的最小值为5．
故选：B．
10．A
解：①∵三角形中，的平分线交于点D，过点D作，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
故①正确；
②∵，，
∴点D在的垂直平分线上，点A在的垂直平分线上，
∴垂直平分，
故②正确；
③∵，，，
∴；
故③正确；
④∵不一定等于，
∴不一定平行．
故④错误．
综上所述，正确的有①②③．
故选：A．
二、填空题
11．14
解：∵垂直平分线段，
∴，．
∴四边形的周长．
故答案为：14．
12．6
解：如图，过点作于点，
，，
，
，是的角平分线，，
，即点D到的距离是．
13．4
解：是的垂直平分线，
，，
的周长是，
，即，
的周长是，
，
，
．
14．8
解：∵分别是的垂直平分线，
∴，，
∴的周长．
15．
解：垂直平分，
，
，
．
16．20
解：点A，D分别在，的垂直平分线上，
，，
，
，
．
17．8
解：由折叠的性质可知，，
，，
垂直平分，
，
，
，
的周长为，
当点B、F、C在同一条直线上时，的值最小，最小值为 ，
，
的周长最小值为．
18．7或13
解：∵的垂直平分线交于点D，的垂直平分线交于点E，
∴，
当点D在点E左侧时，；
当点D在点E右侧时，；
故的值为7或13．
19．①②④⑤
解：∵，平分，，
∴，故①正确；
在和中，
∴，
∴ ，
∴平分，故②正确
，故④正确；
∵
∴，故⑤正确；
∵，而，
∴，
∴平分错误，故③错误；
综上所述，正确的有①②④⑤．
20．
解：如图，过点分别作、、的垂线，交延长线于点，交延长线于点，交于点．
平分，平分，
，，
，
已知，，，
，
解得，即，
．
故答案为：．
三、解答题
21．解：∵线段的垂直平分线交于点E，交于点D，
∴，
∴的周长．
22．（1）证明：在与中，
，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，垂足为E，，垂足为F，
∴，
∵，
∴．
23．（1）证明：∵垂直平分，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（2）解：∵的周长为，
∴，
∵，
∴，
由（1）知，
∴周长．
24．（1）证明：连接，
∵点G是的中点，且，
∴是的垂直平分线，
∴．
∵平分，且，
∴，
∴，
∴；
（2）解：8；
∵，
∴，
∴，
即．
∵，
∴，
解得，
∴．
故答案为：8．
25．（1）证明：如图，连接，,
点D在的垂直平分线上
，，平分
，
在和中，
；
（2）解：在和中，
．
答：BE的长为．
26．（1）解：∵分别垂直平分和，
∴，
∵的周长为，
∴，
∴，即；
（2）解：点F是在边的垂直平分线上，理由如下：
如图所示，连接，
∵分别垂直平分和，
∴，
∴，
∴点F是在边的垂直平分线．
27．（1）解：的平分线如图所示：
（2）解：点C关于直线的对称点E如图所示：
（3）解：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴C、E关于直线对称，即垂直平分，，
∴，
∴的周长．
28．（1）证明：连接，．
是的角平分线，，，
．
是的垂直平分线，
．
，，
．
在和中，
，
，
．
．
（2）解：，
．
，
，
，，
．
在和中，
，
，
．
．
．
的长为36．
29．（1）解：过点作于点于点，过点作于点，如图所示：
平分，且于点，于点，
∴，
∴，
又∵，
∴．
故答案为：，，；
（2）解：成立．
已知：如图，在中，平分一个外角，交所在直线于点．
求证：．
证明：过点作于点于点，过点作于点，如图所示：
平分，，，
∴，
∴，
又∵，
∴＝．
30．（1）证明：在与中，
，
．
（2）过点作于，如图所示：
，
，，
又，即，
，
又，，
，
平分．
（3）在和中，，
，
同理：，
，
，
的面积，
，
，
解得：；
故答案为：3．

展开更多......

收起↑