资源简介

1.5《等腰三角形》暑假预习
一、单选题
1．等腰三角形的两边长分别是4、8，则第三边长为（ ）
A．4 B．8 C．4或8 D．4或12
2．如图，中，，，点在边上，的周长为13，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，中，，，，D是的中点，则的长为（ ）
A． B．1 C． D．2
4．如图，在中，，以点为圆心、为半径作弧，交的延长线于点，若，，则的周长是（ ）
A．7 B．9 C．12 D．15
5．如图，在中，，为的角平分线，，于点E，若，则的长为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
6．如图，，P是内部的一点，点P关于的对称点是M，点P关于的对称点是N，连接．若，则的周长是（　　）
A． B． C． D．
7．如图，点在的角平分线上，于点，．若，，则的面积等于（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
8．如图，在中，、的角平分线交于点O，过点O，且，分别交、于点M、N．若，，则的长是（ ）．
A．5 B．4 C．3 D．2
9．如图，在中，，是的角平分线，过点作，垂足为点．若，则的长为（）
A．2 B．3 C．4 D．5
10．如图，在中，，点在上，点在的垂直平分线上，连接，且与交于点．若，则的长是（ ）
A．4 B．3.5 C．3 D．2
二、填空题
11．如图，将直角三角尺放置在刻度尺上，斜边上三个点，，对应的刻度分别为1，4，7（单位：cm），则的长度为________．
12．如图，绕点A按逆时针方向旋转到，连接，，写出一个与相等的角是：__________．
13．如图，在中，，，的平分线交于点，若，则的长是_________．
14．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则等腰三角形的顶角度数为___________．
15．如图，已知为等边三角形，为中线，延长至点，使，连接，则_______．
16．如图，在四边形中 ，，点 E 在边上，连接，将四边形 沿 折叠，使得B点落在D点处，连接，则 ________．
17．如图，在中，，，垂直平分线段，是直线上的任意一点，当的周长取最小值时，的度数为______°．
18．如图，在中，，将沿折叠，使得点恰好落在边上的点处，折痕为，若点为上一动点，则的周长最小值为_____________．
19．如图，中，，的平分线交于点D，已知，，则的长为______．
20．如图，已知在中，，，，点D是边上的一点，，点E是边上一个动点，连接，以为一边在右侧作等边，连接，在点E运动过程中，线段的最小值为__ ．
三、解答题
21．如图，在直角中，，是的高，，求与，的度数．
22．如图，，交于点，，．
(1)求证：；
(2)若，则_______°．
23．（1）如图1，是等边三角形，，分别交于点．求证：是等边三角形．
课本中给出一种证明方法如下： 证明：是等边三角形， ． ， ， ， 是等边三角形． “想一想，本题还有其他证法吗？” 给出的另外一种证明方法，请补全： 证明：是等边三角形， ． ， ________， ， ，（④________） 是等腰三角形． 又是等边三角形．
（2）如图2，等边三角形的两条角平分线相交于点D，延长至点E，使得，求证：是等边三角形．
24．如图，在中，，D是边上一点，连接，且，与交于点F．
(1)求证：；
(2)当时，求的度数．
25．如图，，，．
(1)求证：．
(2)若，求证是等边三角形．
26．如图，在中，和的角平分线交于点，过点作交于点，交于点．若，
(1)求的长度；
(2)若的周长为25，，求的周长．
27．【模型提出】“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的角度为，于是有三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直”模型，当模型中有一组对应边长相等时，模型中必定存在全等三角形．
【模型初探】
(1)如图1，点在直线上，，过点作于点，过点作于点，则线段之间的数量关系为________________．
【变式运用】
(2)如图2，在中，，过点作直线，过点作于点，过点作于点，若，求的长．
【拓展应用】
(3)小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图3所示，以的边向外作和，其中，，，是边上的高．延长交于点，若，，．直接写出的面积_______．
28．如图，在中，，垂直平分交、于点、，点在上，且．
(1)求证：是等边三角形；
(2)若，求的长．
29．如图，在△中，，，，垂足分别为、，且点是的中点．
(1)求证：；
(2)若，，求的周长．
30．新定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做“邻等对补四边形”．
【概念辨析】
(1)用三角板拼出如图1所示的4个四边形，其中是“邻等对补四边形”的有_____(填序号)；
【问题探究】
(2)如图2，四边形是“邻等对补四边形”，，连结，求证：平分；
【拓展应用】
(3)如图3，在中，，，分别在边、上取点、，使四边形是邻等对补四边形，求的度数．
参考答案
一、单选题
1．B
解：等腰三角形两边长为、
分两种情况讨论
①若第三边长为，则三边为、、
，不满足三角形两边之和大于第三边的关系
此情况不成立
②若第三边长为，则三边为、、
，，满足三角形三边关系
此情况成立
第三边长为
故选：B．
2．C
解：∵，，点在边上，的周长为13，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，故C选项正确；
根据题干无法得到的大小关系，故A，B选项错误；
且题干中没有给出的大小，故D选项错误；
故选：C
3．B
解：∵中，，，，
∴，
∵D是的中点，
∴．
4．C
解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵以点为圆心、为半径作弧交延长线于点，
∴，
∴的周长，
故选：．
5.B
解：∵，
∴，
∵ 为的角平分线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故选： B．
6．D
解：如图，连接，
∵点P关于的对称点是M，点P关于的对称点是N，
∴，，，，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∵，
∴，
∴的周长是．
7．B
解： 如图， 过点作， 交于点， 如图所示：
由条件可知， ，
∵， ，
∴.
∵，
∴，
∴，
∴的面积是
故选：B．
8．A
解：∵，
∴，
∵、的角平分线交于点，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故选：A．
9．C
解：过点D作，如图所示：
∵是的角平分线，，，
∴，
∵，
∴．
故选：C．
10．D
解：如图：连接交于点O，
∵点在的垂直平分线上，
∴，
∵，
∴垂直平分， ，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
故选：D．
二、填空题
11．
解：由题意可知，．
在中，，是斜边上的中线，
．
12．（答案不唯一）
解：由旋转的性质可知，，，．
在中，
，
为等腰三角形．
．
在中，
，
为等腰三角形．
．
，
．
．
．
又，，
．
即与相等的角是：（答案不唯一）．
13．6
解：∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∴．
故答案为：6．
14．或
解：在等腰中，，为腰上的高，，
当在内部时，如图1，
为高，
，
，
当在外部时，如图2，

为高，
，
，
∴，
综上所述，这个等腰三角形顶角的度数为或．
故答案为：或．
15．3
解：∵为等边三角形，为中线，
∴，，
∴，
∵，
∴．
故答案为：3．
16．
解：如图所示，连接，
∵，
∴为等边三角形，，，
∵，即，
∴，
∵折叠，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
17．
解：如下图所示，连接，
则的周长为，
是的垂直平分线，
，
的周长为，
，
当点、、三点共线时的值最小，
此时点与点重合，
在中，，，
，
是的垂直平分线，
，
，
，
当的周长取最小值时，．
18．
解：连接，交于，如图所示：
∵沿折叠和重合，
，
垂直平分，即和关于对称，
，
∴当和重合时，的值最小，即可此时的周长最小，最小值是，
的周长的最小值是．
19．7
解：如图，在上截取，连接，
∵的平分线交于点D，
∴．
在与中，
，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
20．4
解：如图所示，以为边在上方作等边三角形，连接，过点M作于点P，于点N，如图所示：
∵和为等边三角形，
∴，，，
∴，
即，
∴，
∴，
∴当最小时，最小，
∵垂线段最短，
∴当点E与点N重合时，最小，即最小，最小值为的长，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，即，
∴，
又∵，
∴（平行线间间距相等），
∴的最小值为4，
故答案为：4.
三、解答题
21．解：∵，，
∴，
∵是的高，
∴，
∴；
．
22．（1）解：∵，
∴和都是直角三角形，
在和中，
∴；
（2）解：由（1）知，
∴，
在中，，，
∴，
又∵，，
∴，即，
解得；
故答案为：．
23．（1）证明：是等边三角形，
．
，
，
，
，（等角对等边）
是等腰三角形．
又是等边三角形．
（2）证明：由题意得：，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴是等边三角形．
24．（1）证明：∵，
，
∵，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴；
（2）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，，
，
∴，
∴，
∵，
∴．
25．（1）解：在和中，
，
．
（2）解：在中，
，
又 ，，
，
，
是等边三角形．
26．（1）解：是的平分线，
．
，
，
即，
；
同理是的平分线 ，
；
，
；
即，
,
；
（2）解：的周长为25，，
，
的周长．
27．（1）解：，理由如下，
，
．
，，
．
．
．
在和中
．
，．
，
．
（2）解：，，
．
．
∵∠ACB=∠ACD+∠BCE=90 ，
．
在和中
．
，．
，
；
（3）解∶过点D作交的延长线于点M，过点E作于点N，如图所示∶
．
是边上的高，
．
．
，
．
．
在和中，
．
∴DM=AG．
同理可证明∶．
．
．
．
28．（1）证明：是线段的垂直平分线，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是等边三角形；
（2）解：如图，过点O作于F，
在中，，
则，
，
，
，
，
，
．
29.（1）证明：，，
，
是的中点，
，
∴；
（2）解：，，
点是的中点，
，
，
，
的周长．
30．（1）解：根据邻等对补四边形的定义并结合图形可得：是邻等对补四边形的有①②④；
故答案为：①②④；
(2)证明：法：如图，过作于点，作，交于点，
，
四边形是邻等对补四边形，
，
，
，
在和中，
，
，
，
点在角平分线上，
平分；
法：如图，四边形是邻等对补四边形，延长至点，使，连接，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
平分；
（3）解：在中，，，
，
四边形是邻等对补四边形，
①当，时，如图，
，
，
，
，
；
②当，时，如图，
，，
和是直角三角形，
在和中，
，
，
，，
；
③当时，如图，同②；
④当，时，如图，
；
综上所述，的大小为或或．

展开更多......

收起↑