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3.1《勾股定理的探究》暑假预习
一、单选题
1．若直角三角形的两边长分别为3，4，则第三边长可以是（ ）
A．4 B． C．5 D．
2．劳技课上，小明用同样长度的小木棒去搭建直角三角形，他搭建两条直角边分别用了3根和4根小木棒，那么他搭建斜边用的小木棒数量是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
3．如图，在中，是边上一点．若，则的长为（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
4．如图，在中，，，，以为一边向外作正方形，则正方形的面积为（ ）
A．5 B．10 C．25 D．50
5．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为m，．若小正方形面积为7，，则大正方形的边长为（ ）
A． B． C． D．
6．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A、B、C、D的边长分别为3、5、2、3，则最大正方形E的面积是（ ）

A．13 B．29 C．47 D．94
7．如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，若，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．5 B． C．4 D．
8．如图，，则线段的长为（ ）

A． B．2 C． D．
9．如图，在中，，，，，平分交于，于，则为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，将上下两边互相平行的纸片折叠后得到阴影部分及折痕．若，，则阴影部分的面积为（ ）
A．2 B． C． D．
二、填空题
11．如图，在中，，点D是的中点，，，则______．
12．如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”．他们仅仅少走了_______，却踩伤了花草．
13．将的直角三角板与有刻度的直尺按如图所示的方式放置，点，表示的刻度分别为，当时，线段的长为______．
14．在中，，，，则边上的中线长是__________．
15．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的面积为36，则正方形A、B、C、D、E、F的面积之和为______．
16．如图，中，，，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，．过，两点作直线，分别交，于点，，连接．若，则_________．
17．如图，在中，，将的一部分折叠，点落在边上的点处，折痕交于点，测得的周长为12，，则边__________．
18．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，若，，则___________．
19．如图，一长方体容器，长、宽均为3，高为7，里面盛有水，水面高为5，若沿底面一棱进行旋转倾斜，倾斜后的长方体容器的主视图如图2所示，若倾斜容器使水恰好倒出容器，则_______．
20．如图，中，，，，E是内一点且平分，若的面积为，则的面积为__________．
三、解答题
21．如图，所有的四边形都是正方形，三角形是直角三角形，试求正方形A的面积？
22．如图，把摆钟的摆锤看作一个点，当它摆动到最低点时，摆锤离底座的垂直高度，当它摆动到最高点时，摆锤离底座的垂直高度，且与摆锤在最低点时的水平距离为．
(1)图2中______；
(2)求钟摆的长度．
23．如图，在中，，垂足为，，，，求的长．
24．（1）在中，，，，求．
（2）在中，，，，求的长．
25．已知：如图，在中，，，垂足为平分交分别于点，点为的中点，过点作交于，
(1)求证：；
(2)求的长．
26．已知：如图，在中，，，，与相交于点
(1)求证：．
(2)若，，求的长．
27．如图，已知．
(1)请在图中用无刻度的直尺和圆规作图：过点作的垂线，在上求作点，使得；（不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，若，，，则点到的距离为 ．（如需画草图，请使用备用图）
28．出入相补（又称以盈补虚）原理是我国三国时期数学家刘徽创建．“令出入相补，各从其类，因就其余不移动也．”用现代语言来说，就是指这样的事实：一个平面图形从一处转换至他处，面积不变；又若把图形分割成若干块，那么各部分面积的和等于原来图形的面积．
【教学实例】计算如图1的图形面积，把图1看作一个大正方形，它的面积是，如果把图1看作是由2个长方形和2个小正方形组成的，它的面积为．
(1)由此得到等式________；
(2)【探索研究】数学小组研究发现：四个可以重合的直角三角形，直角边长分别为、，斜边长为，这四个直角三角形可以拼成如图2的大正方形，且中间的为边长为的正方形．运用“出入相补”原理，得到一个关于直角三角形三边、、的等式，整理后发现，，请说明此等式成立；
【推广应用】数学小组研究发现，所有的直角三角形中，两直角边、，斜边都存在的等量关系，利用此发现，解决下面问题：
(3)如图3，是直角三角形，，大于，将绕点顺时针旋转得点的对应点为，点的对应点为，连接，若，，，，的面积为10，求的面积．
29．如图，在中，，点B在的延长线上，，连接．
(1)求的长；
(2)动点P从点A出发，沿射线运动，速度为1个单位/秒，运动时间为t秒．
①当t为何值时，；
②当t为何值时，是等腰三角形？
30．综合与实践：
【问题情境】
（1）八上课本中有这样一道习题：
如图，，，，，垂足分别为，，，，的长为______；
【变式思考】
（2）如图，，，，于，，，求的长；
【拓展运用】
（3）如图，在中，，是高．若，求长的最小值．
参考答案
一、单选题
1．C
解：当3，4是直角边长时，由勾股定理得第三边长；
当4是斜边长时，由勾股定理得第三边长．
2．C
解：∵两直角边分别用了3根、4根长度相同的小木棒，
∴由勾股定理，得到斜边需要：（根），
故选：C．
3．C
解：过点A作于点E，
∵，
∴，
∴，
∴．
故选：C．
4．C
解：在中，，，，
∴，
∴正方形的面积，
故选：C．
5．D
解：∵小正方形面积为7，
∴，
∴
又∵，
∴
∴得，
∴，
∴大正方形的面积为，
∴大正方形的边长为．
故选：D．
6．C
解：如图

根据勾股定理的几何意义，可得、的面积和为，、的面积和为，，
．
故选：C．
7．A
解：在中，这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，
由勾股定理得：，即，
，
，
∵阴影部分的面积为，
∴阴影部分的面积为，
故选：A．
8．B
解：∵，
∴在中，由勾股定理可得：，
同理可得：，；
故选B．
9．B
解：平分交于，
，
在和中，
，
，
，
，
设，则，
在中，，
解得，
即．
10．C
解：如图，过点作于点，
依题意，
∴，，
∴
∵折叠
∴
∴，
又∵
∴
∴是等边三角形，
∴，
在中，
∴
∴
∴
∴阴影部分的面积为，
故选：C．
二、填空题
11．
解：∵在中，，，，
∴由勾股定理得，
∵点D是的中点，
∴．
12．4
解：由勾股定理可得：
“捷径”长度，
∴，
即他们仅仅少走了，却踩伤了花草．
13．
解：由题可知，
，
，
，的刻度分别为，，
，
，
在中，．
故答案为：．
14．
解：∵在中，，，
∴，
∴边上的中线长为：，
故答案为：．
15．72
解：根据勾股定理知：，，，
∴．
故答案为：．
16．
解：连接，
由作图可得是的垂直平分线，
∴点F是的中点，，
∵，，
∴，
∴在中，．
设，则，
∵在中，，
∴，
解得
∴．
17．6
解：∵将的一部分折叠，点落在边上的点处，折痕交于点，
， ，
的周长为12，
，
，
，
，即，
设，则，，
在中，， 由勾股定理得
∴，解得：，
．
18．
解：由题意可得：，
∴，，，，
∴
．
19．5
解：如图所示：
设，则，
根据题意得：，
解得：，
∴，
∵，
由勾股定理得：．
20．
解：作，垂足分别为和，
平分，
，
，，，
，
∵S BCE=，
，
，
，
∴S ABE= ×AB×EF= ×5×1=，
故答案为：．
三、解答题
21．解：三角形是直角三角形，
两直角边的平方和等于斜边的平方，
即，
．
故答案为： ．
22．（1）解：由题意可知：，
∴，
故答案为：2；
（2）解：设，依题意得：，
∵，
∴，即，
解得：，
答：钟摆的长．
23．解：∵，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
解得，
∴．
24．解：（1）∵中，，，，
∴；
（2）∵中，，，，
∴．
25．（1）证明：∵，，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：如图，连接，
∵，点为的中点，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
26．(1)证明：∵，
∴，
∴
∴
∵，
∴
∴
在和中，
，
∴．
（2）解：∵
∴，，
在中，，
∴，
∴．
27．（1）如图，直线，点即为所求；
（2）解：连接，设直线交于点．
，
面积＝，，
，
，
，
垂直平分线段，
＝，
设，则有，
解得，
，
，
点到距离为．
28．（1）解：由题意得；
（2）解：图2中大正方形的边长为，因此大正方形的面积为，
拼成图2的五部分的面积和为，
所以有，
即，
；
（3）解：是直角三角形，，
，
由旋转可知，，，
，
，
即，
，
，
即，
，
，
，
．
29．（1）解：∵，
∴；
（2）解：①∵，
∴即，
解得，
所以当时，；
②当时，是等腰三角形，
∴，
∴，
此时；
当时，是等腰三角形，
∴，
此时；
当点P与点D重合时，是等腰三角形，
∴，
此时；
当点P在线段的延长线上时，当时，是等腰三角形，
∴，
此时．
所以当或或2或时，是等腰三角形．
30．
解：（）∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：；
（）如图，过点作于点，
∵，
∴，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，则，
∵，
∴，
∴，
∴；
（）过点作，使，过点作于点，连接，，则，
∴，，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴长的最小值为．

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