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3.2《勾股定理的逆定理》暑假预习
一、单选题
1．下列各组数为勾股数的是（ ）
A． B．6，8，10 C．8，24，25 D．，，
2．若一个三角形的三边长分别为，，，且满足等式，则该三角形是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法判定
3．下列由线段a，b，c组成的三角形是直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．，，
4．小明准备选用一些小棒作为三角形的边长制作直角三角形模型．现有长度为和的小棒，能与它们制成直角三角形模型的小棒长度可以是（ ）
A．13 B．12 C．8 D．6
5．已知一个三角形的三边长分别为2，3，，则该三角形最长边上的中线长为（ ）
A． B．1 C． D．无法确定
6．如图，四边形中，．则四边形的面积是（ ）
A．72 B．66 C．42 D．36
7．如图是一种“羊头”形图案，其做法是：从正方形①开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作正方形②和②'，…，然后依此类推，若正方形①的面积为64，则第4个正方形的边长为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，每个小正方形的边长为1，在中，点D为的中点，则线段的长为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在中，，点是的中点，连接，则的长为（ ）
A．6 B． C．7 D．
10．如图，在四边形中，，，，，，四边形的面积为（ ）
A．12 B． C． D．
二、填空题
11．已知的三边，，满足，则的形状为________．
12．在中，，，，则的度数为______．
13．如图，在中，，，，根据尺规作图痕迹，线段的长为______．
14．为增长学生自然科学知识，培养学生的劳动技能与责任感，实验中学分给各班级一块地，让学生学习种菜．八（1）班分得一块三角形菜地，测得三角形菜地的三边长分别为，则三角形菜地的面积是________．
15．如图，学校前面有一条笔直的公路，学生放学后走，两条路可到达公路．经测量，，，现需新修建一条从学校到公路的路，则学校到公路的最短距离为______．
16．手工课上，小明做了一个如图①所示的剪刀套，抽象成模型如图②所示．已知，，，，且．若连接，则的度数为______．
17．如图是某品牌婴儿车及其简化结构示意图．根据安全标准需满足，现测得，，，其中与之间由一个固定为的零件连接（即），则该车_____（填“符合”或“不符合”）安全标准．
18．如图所示，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，顶点为格点，点，，，均是格点，则的度数为_____．
19．如图，阴影部分是八年级某班的班级菜园的示意图，经测量，，，，，则阴影部分面积为_________．
20．如图，在中，，，为的中点，已知．
（1）如图①，____________；
（2）如图②，将沿折叠，使点落在外点处，连接，则线段的长为___________．
三、解答题
21．如图，在的网格中，已知格点线段（格点为网格线的交点）．
(1)利用网格画出格点线段，使（点不在网格的边框上）；
(2)在（1）的条件下，_____°，并证明此结论．
22．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小方格的顶点叫格点，以格点为顶点按下列要求画三角形：
(1)以格点为顶点画一个三角形，使三边长分别为2，3，
(2)判断（1）中的三角形是否为直角三角形？
23．如图，在四边形中，．
(1)连接，求的长；
(2)求四边形的面积．
24．为落实教育部中小学生劳动教育要求，某学校将校内如图所示的四边形空地改造成校园劳动实践基地．为了精准规划种植区域，需先测算空地相关数据．经测量，米，米，米，米，．
(1)为方便分区管理，学校计划在、两点之间搭建篱笆，至少需要多少米的篱笆．
(2)请计算出这块劳动实践基地的总面积，为后续的种植规划提供数据支持．
25．如图，在三角形支架中，
(1)求的长；
(2)判断支架外框的形状，并说明理由．
26．如图，在四边形中，，，，，．
(1)求证：；
(2)求四边形的面积．
27．如图所示，某小区的两个喷泉，之间的距离为，现要为喷泉铺设供水管道，，供水点在小路上，供水点到的距离的长为，的长为．
(1)求供水点到喷泉需要铺设的管道的长；
(2)试判断与的位置关系，并说明理由．
28．如图，中，，，边上的中线，延长到点E，使得，连接．
(1)求证：；
(2)求的长；
(3)求的面积．
29．【问题情境】如图①，在中，为边上的高．
【特例研究】
(1)若，，，求证：；
【问题解决】
(2)如图②是某木质房梁的侧面图，小华照此结构设计出右侧房梁示意图如图③，已知斜梁，斜梁，，横梁．若横梁与竖梁不垂直则为不安全房梁，请判断小华设计的房梁是否安全？并说明理由．
30．如图，在中，是上的高，平分，已知，，．
(1)求证：是直角三角形．
(2)求的长．
参考答案
一、单选题
1．B
解：∵勾股数要求三个数都是正整数，选项A的数都是小数，选项D的数不是正整数，∴排除A、D；
对选项B，∵，，
∴，三个数都是正整数，是勾股数，符合题意；
对选项C，∵，，，∴不是勾股数，不符合题意;
2．B
解：∵ ，
∴ ，
整理得：，
∴该三角形是直角三角形．
3．B
解：A、选项中最长边为6，，，，∴该三角形不是直角三角形，故本选项不符合题意．
B、选项中最长边为17，，，，∴该三角形是直角三角形，故本选项符合题意．
C、选项中最长边为15，，，，∴该三角形不是直角三角形，故本选项不符合题意．
D、选项中最长边为，，，，∴该三角形不是直角三角形，故本选项不符合题意．
故选：B．
4．A
解：设第三根小棒长度为
∵ 直角三角形中，（c为斜边），
情况1：当为斜边时，，
∴ 解得：（取正值）
情况2：当12为斜边时，，
∴ ，解得：，不在选项中
∴ 只有满足条件，
故选：A.
5．C
解：由题知，
∴该三角形是直角三角形，3是斜边长，
∴最长边上的中线长为，
故选：C．
6．D
解：连接，如图：
在中，
，
，
，
在中，
，
，
，
∴是直角三角形，
，
∴四边形的面积为．
7．C
解：根据勾股定理得：
正方形①的面积=正方形②的面积+正方形的面积正方形②的面积，
∵正方形①的面积为64，
∴正方形②的面积为，
同理，正方形③的面积为，
正方形④的面积为，
∴正方形④的边长为，即第4个正方形的边长．
故选：C．
8．C
解：由图可得，，
，
为直角三角形．，
又为中点，
，
．
9．D
解：∵，，，
∴，
，
∴，
∴．
∵点是的中点，
∴．
∴在中，
．
10．B
解：连接，如图所示：
在 中，
，
∴ 在中，，
即，
∴为直角三角形，
∴.
二、填空题
11．直角三角形
解：∵，
∴，
∴是直角三角形．
12．
解：∵在中，，，，
∴，，
∴，
∴
13．
解：在中，，，，
，
是直角三角形，，
由作图可知，，
，
．
14．7.5
解：.
该三角形为直角三角形，两条直角边长分别为和.
三角形菜地的面积为．
15．24
解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
16．
解：∵
∴，
∵
∴，
∴是直角三角形， 且．
17．符合
解：在中，，dm，dm，
由勾股定理，得
因为dm，dm，
所以，
所以，
所以，即，
所以该婴儿车符合安全标准．
18．
解：如图，将线段向右平移1个单位长度，向上平移1个单位长度，至，
则点的对应点为点，点的对应点为，，
，
，，，
，，
为等腰直角三角形，
．
19．
解：如图，作，交于点，
，，，即，
，则是的直角三角形，
，
，，，
，
在中，，
，
，
则阴影部分面积为．
20． 90 7.2
解：（1）∵为的中点，
∴，
∵，，，
∴，
∴是直角三角形，且，
∴；
（2）连接交于O．
∵，为的中点，
∴．
∵（折叠的性质），
∴，
∴是线段的垂直平分线，
∴，．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴．
三、解答题
21．（1）解：如图：
∴．
（2）证明：连接，
由画法知，
由勾股定理得，
是直角三角形，且
∵，
．
22．解：（1）如图：即为所求，
（2）由勾股定理可知，三边正好为勾股弦，即，
（1）中的三角形是直角三角形．
23.（1）解：∵在中，，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴
．
24．（1）解：如图，连接，
在中，，
∵，，
∴；
答：至少需要10米的篱笆；
（2）解：∵，，，
，，
∴，
∴是直角三角形，，
∴，
∵，
∴．
答：这块劳动实践基地的总面积为平方米．
25．（1）解：∵，
∴，
在中，，，
∴
在中，，
∴
∴的长为；
(2)为直角三角形，理由如下：
由（1）知，，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴
∴是直角三角形．
26．(1)证明：，，．
由勾股定理，得，
，，
，
为直角三角形，
（2）解：．
27．（1）解：∵，
∴，
∵的长为，的长为，
∴，
∵，
∴，
∴，
答：供水点M到喷泉A需要铺设的管道的长为；
(2)解：，
理由：∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
28．(1)证明：∵是的中线，
∴，
又∵，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴；
在中，由勾股定理得，
∵是的中线，
∴；
（3）解：∵，
∴，
∴
．
29．（1）解：∵．
∴，
∴，，
∵，，
∴，即，
∴，
∴是直角三角形，且．
（2）解：小华设计的房梁不安全，理由如下：
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，即，
∴与不垂直，
∴小华设计的房梁不安全．
30．(1)证明：是上的高，
．
在中，，
在中，，
，
，
，
，
是直角三角形；
（2）如图，过点作于点．
平分，由（1）得，
，
，
，
，
．

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