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3.3《 勾股定理的简单应用》暑假预习
一、单选题
1．我国古代数学著作《孙子算经》中有“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？（1丈10尺），该问题可利用勾股定理求解，折后竹尖离地面的高度为（ ）
A．4.55尺 B．5.45尺 C．6.45尺 D．7.55尺
2．如图，有一个池塘，其底面是边长为10尺的正方形，一个芦苇生长在它的中央，高出水面部分为1尺．如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边的．则这根芦苇的长度是（ ）
A．11尺 B．12尺 C．13尺 D．14尺
3．如图，圆柱的高为，底面周长为，在圆柱外的下底面点处有一只蚂蚁，它想吃到与点相对、离外上底面的点处的食物，那么它沿圆柱侧面爬行的最短路径示意图是（ ）
A． B．
C． D．
4．《四元玉鉴》是我国传统数学中重要的著作之一，《四元玉鉴》中记载：“池方一丈，葭生中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭各几何？”大意：有一边长为一丈的正方形池塘，一棵芦苇（“葭”）生长在池塘的正中央，露出水面一尺．将芦苇的顶端拉向岸边，顶端刚好和岸边的水面平齐．问池塘的水深和芦苇的总长度各是多少？利用方程思想，设水深为尺，则依题意所列方程为（1丈尺，1尺寸）（ ）
A． B．
C． D．
5．如图是台阶的示意图，已知每个台阶的宽度都是，每个台阶的高度是，则两点之间的距离是（　　）
A． B． C． D．
6．如图，一个长方体形状的饮料盒的底面长为，宽为，高为，在它的一角处开一个插吸管的小孔，将一根吸管最大限度插入盒中，露在外面的长度为，则此吸管的总长度为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在中，，，，如果点、分别为，上的动点，那么的最小值是（ ）
A．12 B． C． D．
8．如图，公路上A、B两点相距，C、D为两村庄，已知，，于A，于B，现要在上建一个服务站E，使得C、D两村庄到E站的距离相等，则的长是（ ）．
A．4 B．5 C．6 D．2
9．如图所示，有一个长、宽各米，高为米且封闭的长方体纸盒，一只昆虫从顶点要爬到顶点，那么这只昆虫爬行的最短路程为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
10．如图，点A，B在直线的同侧，A到的距离，B到的距离，已知，P是直线上的一个动点，记的最小值为a，的最大值为b，则的值为（　　）
A．160 B．150 C．140 D．130
二、填空题
11．如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行_____米．
12．如图，《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问折者高几何．意思是：现有一根竹子，原高一丈（尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部尺远，求折断处离地面的高度．设竹子折断处离地面的高度尺．根据题意，可列方程为__________．
13．如图，长方形木板的长为，宽为，在木板的一角顶点A处有一只小虫，另一角顶点B处有食物，小虫沿木板表面向B处爬行觅食，则小虫爬行的最短路径长度为_______（木板厚度忽略不计）
14．如图，一个梯子斜靠在一竖直的墙上，且，若梯子的顶端沿墙下滑到点处，这时梯子的底端也向右移动到点处，则的长度为_____．
15．如图，数学兴趣小组要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到地面并多出一段（如图1），聪明的小红发现：先测出垂到地面的绳子长，再将绳子拉直（如图2），测出绳子末端C到旗杆底部B的距离n，利用所学知识就能求出旗杆的长，若米，米，则旗杆的长为 ___________ 米．
16．如图，一棵大树在离地面3米（即米）处断裂，大树顶部落在离大树底部点米的处（即米），已知，大树折断部分的长度是_____米．
17．如图，一只小蚂蚁在墙面上的点P处，若米，米，点P到的距离是3米，蚂蚁从点P爬到点B的最短行程是_______米（墙面与地面垂直）
18．数形结合是数学的重要思想和解题方法，如：“当时，求代数式的最小值”，其中可看作两直角边分别为x和2的的斜边长，可看作两直角边分别是和3的的斜边长．于是将问题转化为求的最小值，如图所示，当与共线时，为最小．请你解决问题：当时，则代数式的最小值是_____．
19．消防车上的云梯示意图如图1所示，云梯最多只能伸长到25米，消防车高4米，如图2，某栋楼发生火灾，在这栋楼的B处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置A与楼房的距离为15米，完成B处的救援后，消防员发现在B处的上方4米的D处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，消防车从A处向着火的楼房靠近移动到C，请问______米．
20．在一个长为2米，宽为1米的矩形草地上，如图堆放着一根长方体的木块，它的棱长和场地宽平行且大于，木块的正视图是边长为0.2米的正方形，一只蚂蚁从点A处，到达C处需要走的最短路程是___________米．（精确到0.01米）
三、解答题
21．八年级11班松松同学学习了“勾股定理”之后，为了测量如图的风筝的高度，测得如下数据：
①测得的长度为8米：（注：）
②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17米；
③牵线放风筝的松松身高1.6米．
(1)求风筝的高度．
(2)若松松同学想风筝沿方向下降9米，则他应该往回收线多少米？
22．学习了“勾股定理”后，某校数学兴趣小组的同学把“测量风筝离地面的垂直高度”作为一项课题活动，利用课余时间完成了实际测量，并形成了如下的活动报告．
活动课题 在放风筝时测量风筝离地面的垂直高度
测量工具 测角仪、测距仪等
测量数据及示意图 兴趣小组的甲同学站在地面上的点E处，牵风筝的手位于点B处，风筝位于点A处，乙同学利用测距仪测得水平距离米，根据甲同学手中剩余线的长度，计算出风筝线的长为34米，牵线的手到地面的距离米
说明 已知，，于点C
请你根据活动报告中的内容，计算风筝离地面的垂直高度．
23．2024年9月第13号台风“贝碧嘉”登陆，使我国长三角很多地区受到严重影响，这是今年以来对我国影响最大的台风，风力影响半径（即距离台风中心小于或等于区域内都会受台风影响）．如图，线段是台风“贝碧嘉”中心从上海市（记为点B）向西北方向移动到常州市（记为点D）的大致路线，无锡市惠山区（记为点C）大致在线段上，南通市记为点A，且．若A，C之间相距，A，B之间相距．
(1)判断南通市（记为点A）是否会受到台风“贝碧嘉”的影响，并说明理由．
(2)若台风“贝碧嘉”中心的移动速度为，则台风影响南通市（记为点A）持续时间有多长？
24．如图是小明家中的三个房间甲、乙、丙的截面图，他将一个梯子斜靠在墙上，梯子顶端距离地面的垂直距离记作，如果梯子的底端不动，顶端靠在对面墙上，此时梯子的顶端距离地面的垂直距离记作．
(1)当小明在甲房间时，梯子靠在对面墙上，顶端刚好落在对面墙角处，若米，米，则甲房间的宽度 米．
(2)当他在乙房间时，测得米，米，且，求乙房间的宽；
(3)当他在丙房间时，测得米，且，，求丙房间的宽．
25．如下图，实验中学位于一条南北向公路l的一侧A处，门前有两条长度均为100米的小路、通往公路l，与公路l交于B，C两点，且B，C两点相距120米．
(1)为方便学生出入，现在打算修一条从实验中学到公路l的新路（点D在l上），使得学生从学校走到公路路程最短，应该如何修路（请在图中画出） 并计算新路的长度．
(2)为保证学生的安全，在公路l上的点E和点C处设置了一组区间测速装置，点E在点B的北侧，且距实验中学A处170米．一辆汽车经过区间共用时21秒，若此段公路限速为（约），请判断该车是否超速，并说明理由．
26．消防车上的云梯示意图如图1所示，云梯最多只能伸长到25米，消防车高4米，如图2，某栋楼发生火灾，在这栋楼的处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置与楼房的距离为15米．
(1)求处与地面的距离．
(2)完成处的救援后，消防员发现在处的上方4米的处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，消防车从处向着火的楼房靠近的距离为多少米？
27．如图，小亮与小红进行遥控赛车游戏，终点为点A，小亮的赛车从点C出发，以4米/秒的速度由西向东行驶，同时小红的赛车从点B出发，以3米/秒的速度由南向北行驶，已知整个过程两辆赛车均沿直线行驶，米，米．
(1)经过4秒，两赛车之间的距离是多少米？
(2)已知赛车之间的距离小于或等于25米时，遥控信号会产生相互干扰，若某一时刻，这两辆赛车距点A的距离之和为35米，则此时遥控信号是否会产生相互干扰？
28．【问题情境】如图①，已知圆柱底面的周长为，圆柱的高为，在圆柱的侧面上，过上底面的点A和下底面上与点A相对的点C嵌有一圈长度最短的金属丝，下底面的点B在点A的正下方．
(1)【操作发现】现将圆柱侧面沿剪开，所得的圆柱侧面展开图是 ．（填字母）
(2)【变式探究】如图②，若将金属丝从点B沿圆柱侧面绕四圈到达点A，求所需金属丝的最短长度．
(3)【拓展应用】如图③，现有一个长、宽、高分别为，，（即，，）的无盖长方体木箱．现在箱外的点A处有一只蚂蚁，箱内的点C处有一滴蜂蜜．请你为蚂蚁设计一条路线，使其能以最短的路程吃到蜂蜜，并求出此最短路程．木板的厚度忽略不计
29．勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一，它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷．
(1)应用一：最短路径问题
如图1，一只蚂蚁从点沿圆柱侧面爬到相对一侧中点处，如果圆柱的高为，圆柱的底面半径为，那么最短的路线长是___________；
(2)应用二：解决实际问题．
小明在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度，通过如图2勘测，得到如下记录：
①测得水平距离的长为12米；
②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为13米；
③小明牵线放风筝的手到地面的距离长为1.5米，如果小明想让风筝沿方向再上升4米，和的长度不变（理想状态下）．则他应该再放出___________米线．
30．【模型建立】
“数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答后面的问题．
例：求代数式的最小值．
分析：和是勾股定理的形式，是直角边分别是和的直角三角形的斜边，是直角边分别是和的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角和，并使直角边和在同一直线上（图），向右平移直角使点和重合（图），这时，，，问题就变成“点在线段的何处时，最短？”根据两点间线段最短，得到线段就是它们的最小值．
（1）代数式的最小值为______；
（2）变式训练：求代数式的最小值；
【模型拓展】
（3）已知正数满足，则______．
（4）的最大值是______；
参考答案
一、单选题
1．A
解：设折后竹尖离地面高度为x尺，则折断部分长度为尺，
由勾股定理得：，
即 ，
解得．
故折后竹尖离地面高度为4.55尺．
故选A．
2．C
解：由题意得：，，（尺），尺，
设尺，则尺，
在中，，即，
解得，
即这根芦苇的长度是13尺，
故选：C．
3．A
解：如图所示，蚂蚁需爬行的最短距离为线段，
故选：A．
4．B
解：∵水深为x尺，则芦苇长为尺，
∵池塘边长为10尺，中心到岸边的距离为5尺，
∴由勾股定理，得：，
故所列方程为．
故选：B．
5．B
解：如图，
由题意得：，
故，
故选：B．
6．C
解：长和宽组成的长方形的对角线长为，
这根吸管经过矩形的高，以及长和宽组成的长方形的对角线组成了直角三角形，
吸管的总长度为．
故选：C．
7．B
8．C
解：设，则，
由勾股定理得：在中，，
在中，，
由题意可知：，
∴，
解得：，
∴的长是，
∴，
故选：C；
9．C
解：由题意得，
沿正面和下面的对角线时：
米；
沿正面和左面的对角线时：
米；
沿左面和下面的对角线时：
米；
米米，
米为最短路径．
故选：C．
10．A
解：如图，作点A关于直线的对称点，连接交直线于点P，则点P即为所求点，过点作于点E，
线段的长为的最小值，
、、,
、、，
即的最小值；
延长交于点，
、
当点P运动到时，有最大值，
、、，
过点B作于点F，则，
即有最大值，
，
故选：A．
二、填空题
11．10
解：两棵树的高度差为（米）
两树水平距离为8米，根据勾股定理，小鸟飞行的最短距离为:
（米）.
故答案为：10．
12．
解：根据题意得，，，，
根据勾股定理得．
13．
解：如图，连接，
由题意得，，，，
∴，
∴小虫爬行的最短路径长度为．
故答案为：．
14．
解：设，
由题意得：，，，
在中，根据勾股定理得：，
在中，根据勾股定理得：，
∵，
∴，
解得：，
故答案为：．
15．
解：由题意得：米，米，，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：，
则旗杆的长为米．
故答案为：．
16．4
解：由题意可知：，，，
∴，
故答案为： 4．
17．
解：如图，将墙面与地面展开到同一平面，过作于，连接，
此时的长为这只蚂蚁从点爬到点的最短行程，
∵米，米，点到的距离是3米，
米，
（米），
（米），
（米），
∴这只蚂蚁的最短行程应该是米．
故答案为：米．
18．
解：如图，由题意得，可以看作两直角边分别是x和1的的斜边长，可以看作两直角边分别是和3的的斜边长，
故问题转化为求的最小值，则当与共线时，有最小值，最小值为的长，
则，，，，，
∴，
∴，
∴代数式的最小值是．
故答案为：．
19．8
解：在△中，
米，米，
（米，
米，米，
（米，
（米，
（米．
故答案为：8．
20．2.60
解：如图，将木块展开，
可知蚂蚁从A点到达C点时，在横向上移动的距离为：（米），
在纵向上移动的距离为：（米），
由两点之间线段最短可知，从点A处到达C处需要走的最短路程为：（米）．
故答案为：2.60．
三、解答题
21．（1）解：在中，
由勾股定理得，
所以，（负值舍去），
所以，（米），
答：风筝的高度为米；
（2）如图：由题意得，米，∴米，
∴，
∴米，
∴（米），
∴他应该往回收线7米．
22．解：依题意，如图所示：
∵，米，
∴米，
∵于点C，风筝线的长为34米，
∴在中，（米），
∵米，，
∴（米）．
23．（1）解：过点作于点，
∵，A，C之间相距，A，B之间相距．
∴，
根据题意，得，
∴，
∵，
∴南通市会受到台风“贝碧嘉”的影响．
（2）解：以点A为圆心，为半径作圆，交于点E、F，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴台风影响南通市持续时间为．
答：台风影响南通市持续时间为．
24．（1）解：在中，，米，米，
，
，
甲房间的宽度米，
故答案为：3.2；
（2），
，
∵∠APM+∠AMP=90 ，
．
在△与△中，
，
△△，
米，
，
；
（3）过点作垂线，垂足点，连接．
设，且．
梯子的倾斜角为，
△为等腰直角三角形，△为等边三角形，梯子长度相同），．
∵∠APM=75 ，
．
，
△为等边三角形，
．
△△，
，
米，
即丙房间的宽是3.3米．
25．（1）解：过点A作，交l于点D，则即为所求，如图所示：
∵，，，
∴，，
∴在中，，
由勾股定理得，
∵，，
∴，
∴新路长度是80米．
（2）解：该车没有超速．
理由：在中，，
由勾股定理得，
∴，，
∴，
∴，
该车经过区间用时，
∴该车的速度为，
∵．
∴该车没有超速．
26．（1）解：由题意可得，米，米，米，
由勾股定理可得，（米），
（米），
则点处与地面的距离为米；
（2）解：由题意可得，（米），米，
根据勾股定理可得，（米），
∴（米），
则消防车从处向着火的楼房靠近的距离为米．
27．（1）解：如图，
出发秒钟时，米，米
米，米
米，米
（米）
答：两赛车之间的距离是30米．
（2）解：设出发秒钟时，两赛车距 A 点的距离之和为 35 米，
由题意得，，解得
此时，
此时，
即两赛车间的距离是25米，所以遥控信号将会受到干扰，
答：当两赛车的距离之和为米时，遥控信号将会产生干扰．
28．（1）解：∵两点之间线段最短，
故选：A；
（2）解：若将金属丝从点B沿圆柱侧面绕四圈到达点A，则所需金属丝的最短长度与底面周长的4倍及高构成直角三角形．由勾股定理，得．
答：所需金属丝的最短长度为；
（3）解：如图，先将长方体的侧面和侧面展开，再作点C关于的对称点N，连接交于点M，则．
所以；
根据两点之间线段最短可知，当A，M，N三点共线时，的值最小，即的值最小，此时就是蚂蚁爬行的路线，线段AN的长即为最短路程．
在中，，根据勾股定理，得：
．
所以最短路程为．
29．（1）解：将圆柱侧面展开，如图所示，连接．
∵圆柱的底面半径为，
∴，
∵点为中点，
∴．
在中，．
故答案为：
（2）解：如图，
由题意得，
在中，米，
当风筝沿方向再上升4米时，米，
在中，米，
米．
故答案为：2
30．解：（）如图，过点作，交延长线于点，连接，
设，，点在的上方，且，，点在的下方，且，，
则，，
∴表示，
∵，
∴的最小值为的长， 即代数式的最小值为的长，
在中，由勾股定理得，，
∴的最小值为，
故答案为：；
（）如图，过点作，交延长线于点，连接，
设，，点在的上方，且，，点在的下方，且，，
则，，
∴表示，
∵，
∴的最小值为的长， 即代数式的最小值为的长，
在中，由勾股定理得，，
∴的最小值为；
（）如图，构造，于点，，，
设，
∴，，
∴，
设，则，
∴，
∴，
∴，
∴方程的解是，
故答案为：；
（）构造，，，，，，，如图所示，
过点作，交延长线于点，
则，，，
设，则，，，
∴代数式表示，
∵，
∴的最大值为的长， 即代数式的最大值为的长，
在中,由勾股定理得：，
∴的最大值为，
故答案为：．

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