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(共23张PPT)
第一章 特殊平行四边形
1.2.2菱形的性质与判定（2）
01
教学目标
02
新知导入
03
新知讲解
04
课堂练习
05
课堂小结
06
作业布置
01
教学目标
01
02
1.经历菱形判定定理的探究过程，掌握菱形的判定定理。
2.会用这些菱形的判定方法进行有关的证明和计算。
02
新知导入
根据菱形的定义可知，有一组邻边相等的平行四边形是菱形。
矩形的判定：
有一组邻边相等的平行四边形是菱形。
几何语言：
∵四边形ABCD是平行四边形，AB=AD，
∴四边形ABCD是菱形。
除此之外，你认为还有什么条件可以判定一个四边形是菱形
A
D
C
B
03
新知探究
问题1 由菱形的性质定理可知，如果一个四边形是菱形，那么它的四条边相等。反过来，四条边相等的四边形一定是菱形 为什么？
一定是，因为四边相等意味着两组对边分别相等、邻边相等，
可先判定该四边形为平行四边形，然后根据菱形的定义判定该四边形为菱形。
你能证明一下吗？
03
新知探究
已知:如图，在四边形ABCD 中，AB=BC=CD=DA。
求证:四边形ABCD是菱形。
A
D
C
B
证明：∵AB=BC=CD=AD，
∴AB = CD，AD = BC，
∴四边形ABCD是平行四边形(两组对边分别相等的四边形是平行四边形)。
∵ AB=BC，
∴平行四边形ABCD是菱形(有一组邻边相等的平行四边形是菱形)。
03
新知探究
菱形的对角线互相垂直。
逆命题:对角线互相垂直的平行四边形为菱形。
这个逆命题成立。
问题2 菱形的对角线具有怎样的性质 写出它的逆命题，这个逆命题成立吗
你能说明其中的道理吗？
03
新知讲解
因为对角线互相垂直，且平行四边形的对角线互相平分，
可得对角线互相垂直平分，
进而得到一组邻边相等，
根据菱形的定义可判定该平行四边形为菱形。
问题2 菱形的对角线具有怎样的性质 写出它的逆命题，这个逆命题成立吗
03
新知讲解
已知:如图，在□ABCD中，对角线AC与BD交于点O，AC⊥BD。
求证:□ABCD是菱形。
证明:∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC。
又∵AC⊥BD，
∴直线BD是线段AC的垂直平分线，
∴BA＝BC，
∴□ABCD是菱形(菱形的定义)。
03
新知讲解
提炼概念
定理：四边相等的四边形是菱形。
定理：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
03
新知讲解
问题1 (1)如图，已知线段a，请用尺规作菱形ABCD，使它的对角线AC=a。
(1) 如图，作线段AC=a，分别以 A，C为圆心，以大于 AC 的长为半径作弧，两弧分别相交于点B，D，依次连接AB，BC，CD，DA。
四边形 ABCD即为所求作的菱形。
B
D
a
A
C
03
新知讲解
问题1 (2)满足(1)中条件的菱形唯一吗 如果不唯一，那么你认为添加怎样的条件，就可以使作出的菱形是唯一的
(2)不唯一，
给出菱形的边长且菱形的边长大于对角线AC的长度的一半即可作出唯一的菱形。
B
D
A
C
a
新课探究
例1
已知：如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB＝，OA＝2，OB＝1。
求证： ABCD是菱形。
【方法指导】利用菱形的性质与判定及勾股定理的逆定理，关键是先根据勾股定理的逆定理得出△AOB为直角三角形。
03
新知讲解
证明：在△AOB中，∵AB＝，OA＝2，OB＝1，∴AB2＝OA2＋OB2。
∴△AOB是直角三角形，∠AOB是直角。
∴AC⊥BD。
∴ ABCD是菱形(对角线互相垂直的平行四边形
是菱形)。
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
1.在数学活动课上，为探究四边形瓷砖是否为菱形，以下拟定的测量方案，正确的是( )
A.测量一组对边是否平行且相等
B.测量四个内角是否相等
C.测量两条对角线是否互相垂直
D.测量四条边是否相等
D
04
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
2.在四边形ABCD中，对角线AC，BD互相平分，若添加一个条件使得四边形ABCD是菱形，则这个条件可以是（ 　 ）
A．∠ABC=90°
B．AC⊥BD
C．AB=CD
D．AB∥CD
B
04
课堂练习
【综合拓展类作业】
3.如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB＝BD，∠BAD＝60°。
(1)求证：四边形ABCD是菱形；
(2)若OD＝1，求四边形ABCD的面积。
(1)证明：∵AB＝BD，∠BAD＝60°，∴△ABD为等边三角形。∴AD＝AB。∵四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是菱形。
04
课堂练习
【综合拓展类作业】
(2)解：∵四边形ABCD是菱形，∴BD＝2OD＝2，AC＝2OA，
∠OAD＝∠BAD＝30°，AC⊥BD，∴AD＝2OD＝2。
在Rt△AOD中，由勾股定理，得OA＝＝ ＝，∴AC＝2OA＝2。
∴菱形ABCD的面积为AC·BD＝×2×2＝2。
3.如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB＝BD，∠BAD＝60°。
(1)求证：四边形ABCD是菱形；
(2)若OD＝1，求四边形ABCD的面积。
06
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
1.如图，小聪在作线段AB的垂直平分线时，他的操作步骤如下：分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点C，D，则直线CD即为所求.根据他的作图方法可知四边形ADBC一定是（ ）
A.矩形但不是正方形 B.菱形
C.正方形 D.梯形
B
06
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
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2.下列条件中,不能判定四边形ABCD为菱形的是 （ 　）
A. AC⊥BD ，AC与BD互相平分
B. AB=BC=CD=DA
C. AB=BC，AD=CD，AC ⊥BD
D. AB=CD，AD=BC，AC ⊥BD
C
A
B
C
O
D
06
作业布置
【综合拓展类作业】
3. 如图，在△ABC 中，∠BAC = 90°，AD 是边 BC 上的中线，以 AB，BD 为邻边作□ABDE，DE 交 AC 于点 O，连接 EC。求证：四边形 ADCE 是菱形。
证明：∵四边形 ABDE 是平行四边形，
∴ AE = BD，AE∥BD，AB∥DE。
∵ AD 是△ABC 的边 BC 上的中线，∴ BD = CD，∴ AE = CD。
又∵ AE∥CD，∴ 四边形 ADCE 是平行四边形。
∵ AB∥DE，∠BAC = 90°，∴ ∠COD =∠BAC = 90°，即 AC⊥DE，
∴ □ADCE 是菱形(对角线互相垂直的平行四边形是菱形)。
Thanks!
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