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第2章《实数的初步认识》单元检测2026-2027学年苏科版八年级数学上册（解析版）
第一部分 选择题
一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题只有一项是符合题目要求的．
1．9的算术平方根是（ ）
A．﹣3 B．±3 C．3 D．
【答案】C
【详解】试题分析：9的算术平方根是3，
故选C．
2．在, , , ， , 0中，无理数的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【详解】试题分析：本题考查无理数的定义：无限不循环小数是无理数.显然，，，是有理数，所以只有，是无理数.故选B.
3．下列近似数中，说法正确的是（ ）
A．0.2与0.20精确度相同 B．精确到了十万位
C．精确到了十分位 D．1.2万精确到了万位
【答案】B
【分析】本题考查近似数的精确度判断，需根据各选项还原数值并确定其最后一位有效数字所在的数位；根据题目要求逐项判断即可．
【详解】A. 0.2精确到十分位，0.20精确到百分位，精确度不同，错误；
B. 还原为10,700,000，末位7位于十万位，故精确到十万位，正确；
C. 还原为1100，末位0位于十位，精确到十位，而非十分位，错误；
D. 1.2万还原为12000，末位2位于千位，精确到千位，而非万位，错误；
故选：B
4．学完平方根后，当堂检测环节周老师布置了4道填空题，下面是嘉嘉的完成情况：
①0的平方根是0；②16的平方根是；③9的算术平方根是3；④的平方根是．
若每做对一道题得25分，则该次检测嘉嘉应得分（ ）
A．25分 B．50分 C．75分 D．100分
【答案】C
【分析】本题考查算术平方根及平方根，熟练掌握其定义是解题的关键．根据算术平方根及平方根的定义即可求得答案．
【详解】解：①0的平方根是0，正确；
②16的平方根是，正确；
③9的算术平方根是3，正确；
④，其平方根是，则④错误；
那么该次检测嘉嘉应得分为（分，
故选：C
5．如图是我国古代所用的指南针，古人称它为司南．当它静止的时候，勺柄就会指向南方，
已知司南的长度与最大宽度的比值为．请估计这个比值在（ ）
A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间
【答案】B
【详解】解：，
，
即，
，
即
该比值在4和5之间．
6.实数a、b在数轴上的位置如图所示，且|a|＞|b|，则化简的结果为（ ）
A．2a＋b B．－2a＋b C．b D．2a－b
【答案】C
【分析】利用数轴得出a＋b的符号，进而利用绝对值和二次根式的性质得出即可．
【详解】∵由数轴可知，b＞0＞a，且|a|＞|b|，
∴．
故选：C．
7．利用计算器计算出下表中各数的算术平方根如下：
… …
… 0.15 0.4743 1.5 4.743 …
根据以上规律，（ ）
A．47.43 B．15 C．474.3 D．150
【答案】A
【分析】先观察表格数据，总结被开方数与对应算术平方根的小数点移动规律，再根据规律计算所求结果.
【详解】解：由表格数据可得规律：被开方数的小数点向左或向右每移动2位，算术平方根的小数点向相同方向移动1位，
∵的小数点向右移动2位得到，且，
∴的结果是将的小数点向右移动1位，即
8.任何实数，可用表示不超过的最大整数，如，
现对72进行如下操作：，
这样对72只需进行3次操作后变为1，
类似地，对2023只需进行（ ）次操作后变为1．
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】确定2023的范围，即可求得，再依次下去，通过4次操作后可变为1．
【详解】解：∵，
∴；
∵，
∴；
∵，
∴，
∴；
经过4次操作可以变为1；
故答案为：B
如图，用边长为5的两个小正方形拼成一个大正方形，在大正方形中放入一个直径d为整数的圆，
则d的最大值为（ ）
A．2 B．5 C．7 D．10
【答案】C
【分析】根据算术平方根的概念结合正方形的性质得出其边长，再对无理数进行估算即可求解．
【详解】解：∵用边长为5的两个小正方形拼成一个大正方形，
∴大正方形的面积为：，
则大正方形的边长为：，即，
∵，
∴，
∴大正方形的边长最接近的整数是7，即d的最大值为7．
已知为实数，规定运算：，．
按上述规定，当时，的值等于（ ）
A． B． C． D．0
【答案】C
【分析】本题考查数式规律问题，根据规定列式计算后总结规律，然后计算的值即可．
【详解】解：当时，
，
，
，
，
，
…… ,
，
，
，
故选: C．
第二部分 非选择题
二、填空题：本大题共6个小题．每小题3分，共18分．把答案填在答题卡的横线上．
11．计算：______．
【答案】
【分析】根据立方根和算数平方根的性质计算，即可得到答案．
【详解】
故答案为：．
12．比较大小（填“”或“”）： ．
【答案】
【分析】本题考查了实数的大小比较，熟知实数比较大小的方法是解题的关键．
先求出，进而得出，进而得出，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，即．
故答案为：．
13．已知一个正数的两个平方根分别是和，则的值为______．
【答案】
【分析】根据已知得出方程即可求出．本题考查了平方根，能根据题意得出关于的方程是解此题的关键，注意：一个正数有两个平方根，它们互为相反数．
【详解】根据题意知，
解得：，
故答案为：．
14．如图，从一个大正方形中裁去面积为和的两个小正方形，则阴影部分的面积为______．

【答案】
【分析】先求出两个小正方形的边长，，再计算大正方形的边长，用大正方形的面积减去小正方形的面积即可得到阴影的面积．
本题考查了正方形的面积与算术平方根，熟练掌握算术平方根的计算是解题的关键．
【详解】解：根据题意，得两个小正方形的边长，，
故大正方形的边长，
故阴影面积为：，
故答案为：．
15．在如图所示的运算程序中，输入的值是时，输出的值是_____
【答案】
【分析】本题考查了程序运算，算术平方根、立方根及有理数和无理数，按照运算程序逐步运算即可得到答案，看懂运算程序是解题的关键．
【详解】解：当时，算术平方根为，是有理数，再取立方根，是有理数，倒回再取的算术平方根为，是无理数，
∴输出的值为，
故答案为：
我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：
某正整数的立方是59319，求这个正整数．华罗庚脱口而出：39．
华罗庚迅速求出立方根的过程如下：
①由，可以确定是两位数；
②由可知，的十位上的数字是3；
③考虑到1至9的立方中，只有9的立方的个位上的数字是9，
所以确定的个位上的数字是9，所以．
请你根据上述步骤求出74088的立方根是_______．
【答案】42
【分析】本题考查立方根，理解题干中的解题方法是解题的关键．根据题干中求立方根的方法和步骤，推理出相应的结果即可．
【详解】解：设74088的立方根是，
，
∴可以确定是两位数，
，
∴的十位数字是4，
∵至9的立方中，个位数字为8的只有2的立方，
∴确定的个位数字是2，即．
故答案为：42 ．
三、解答题：本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．计算：
【答案】
【分析】先根据算术平方根和立方根的运算法则计算，再进行加减计算即可；
【详解】解：
．
18．把下列各数分别填入相应的圈内：
，0，15，，，，，，，．
【答案】见详解
【分析】本题考查了立方根，算术平方根，实数的分类，根据整数和分数统称为有理数，无限不循环小数即为无理数，大于的实数为正实数，小于的实数为负实数，进行逐个分析，即可作答．
【详解】解：，，
19．根据平方根、立方根的定义解方程
（1） （2）
【答案】（1）；（2）或
【分析】（1）先移项，化为 再利用立方根的含义可得答案；
（2）先移项，再两边都除以化为：，再利用平方根的含义解方程即可.
【详解】解：（1）
（2）
移项得：
或
或
20．已知：和是某正数的两个不相等的平方根，的立方根为．
(1) 求、的值；
(2) 求的算术平方根．
【答案】(1)
(2)2
【分析】本题考查平方根与立方根，解题的关键是熟练掌握平方根与立方根的定义，本题的易错点在于平方根和算术平方根的区分．
（1）根据平方根与立方根的定义即可求出答案．根据和是某正数的两个不相等的平方根，可得和互为相反数，其和为；由的立方根为得，即可求出答案．
（2）根据第一问求出的值代入得，再由算术平方根的定义求出答案．
【详解】（1）解：由题意和是某正数的两个不相等的平方根可得，
，
，
，
由于的立方根为，
，
；
（2）当时，
∴的算术平方根是
21．先阅读，再解决问题：
在二次根式的世界里，有一类特别“有规律”的等式，比如：
；
观察以上的“魔法等式”，直接写出结果：
________________；
运用以上你发现的规律计算：
．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根据材料提示的方法计算即可；
（2）根据材料提示的方法展开，最后计算加减即可．
【详解】（1）解：根据题意，；
（2）解：
．
22．【阅读与思考】请阅读下面材料，并完成相应的任务．
在学习完实数的相关运算之后，某数学兴趣小组提出了一个有趣的问题：
两个数的积的算术平方根与这两个数的算术平方根的积存在什么关系？
小聪和小明分别用自己的方法进行了验证：
小聪：，．所以．
小明：，．
这就说明和都是的算术平方根，而的算术平方根只有一个，
所以．
任务：
猜想：当，时，和之间存在怎样的关系？
运用以上结论，计算：
① ；
② ；
(3) 解决实际问题：已知一个长方形的长为，宽为，求这个长方形的面积．
【答案】(1)
(2)①；②；
(3)
【分析】本题考查了两个数的积的算术平方根与这两个数的算术平方根的积的关系；根据关系进行计算，即可求解；
（1）根据已知可得，即可求解；
（2）①根据关系得，即可求解；
②根据关系得，即可求解；
（3）可得面积为，即可求解．
【详解】（1）解：由题意得
；
（2）解：①
；
②
；
（3）解：由题意得
，
答：这个长方形的面积为.
23 .对于实数a，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为a的根整数，
例如：，=3．
仿照以上方法计算：=_______；=_____．
(2) 若，写出满足题意的x的整数值_____________．
如果我们对a连续求根整数，直到结果为1为止．
例如：对10连续求根整数2次=1，这时候结果为1．
对100连续求根整数，多少次之后结果为1，请写出你的求解过程．
(4) 只需进行3次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的是_________．
【答案】(1)2；5
(2)1，2，3
(3)3次，过程见解析
(4)255
【分析】（1）根据题意得，，，则，即可得；
（2）根据，，即可得；
（3）根据题意得，第一次：；第二次：；第三次：，即可得；
（4）由（2）得，进行1次求根整数运算后结果为1的正整数最大为3，进行1次求根整数运算后结果为3的正整数最大为15，则进行1次求根整数运算后结果为15的正整数最大为255，即可得．
【详解】（1）解：∵，，，
∴，
∴，，
故答案为：2，5．
（2）解：∵，，，
∴或或，
故答案为：1，2，3．
（3）解：第一次：，
第二次：，
第三次：，
∴第3次之后结果为1．
（4）最大的是255，理由如下，
解：由（2）得，进行1次求根整数运算后结果为1的正整数最大为3，
∵，，
∴进行1次求根整数运算后结果为3的正整数最大为15，
∵，，
∴进行1次求根整数运算后结果为15的正整数最大为255，
∴只对一个正整数进行3次连续求根整数运算后结果为1，则这个正整数最大值是255．
24.综合与实践．
【初步操作】
如图1，把两个面积为的小正方形沿对角线剪开，
拼成一个面积为的大正方形，可得小正方形的对角线长（大正方形的边长）为________；
【类比操作】
把长为2、宽为1的两个小长方形沿对角线剪开，
拼成如图2所示的一个大正方形（内部空白是一个小正方形），
仿照上面的探究方法求小长方形的对角线长；
【计算拓展】
若3是的一个平方根，的立方根是2，为图2中小正方形边长的小数部分，
请计算的平方根．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了算术平方根的应用，求一个数的平方根，根据立方根和平方根求原数，实数的运算，无理数的估算等等， 熟知相关知识是解题的关键．
（1）根据正方形面积计算公式求解即可；
（2）大正方形面积等于四个小长方形面积加上中间的小正方形面积，则，解方程即可得到答案；
（3）根据平方根和立方根的定义求出a、b的值，再根据（2）所求求出c的值，进而求出的值，最后根据平方根的定义可得答案．
【详解】（1）解：∵大正方形的面积为，
∴大正方形的边长为，即小正方形的对角线的长为；
（2）解：由题意得，，
∵，
∴，
∴小长方形的对角线长为；
（3）解：∵3是的一个平方根，的立方根是2，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵为图2中小正方形边长的小数部分，
∴，
∴，
∴的平方根为．
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第2章《实数的初步认识》单元检测2026-2027学年苏科版八年级数学上册
第一部分 选择题
一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题只有一项是符合题目要求的．
1．9的算术平方根是（ ）
A．﹣3 B．±3 C．3 D．
2．在, , , ， , 0中，无理数的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．下列近似数中，说法正确的是（ ）
A．0.2与0.20精确度相同 B．精确到了十万位
C．精确到了十分位 D．1.2万精确到了万位
4．学完平方根后，当堂检测环节周老师布置了4道填空题，下面是嘉嘉的完成情况：
①0的平方根是0；②16的平方根是；③9的算术平方根是3；④的平方根是．
若每做对一道题得25分，则该次检测嘉嘉应得分（ ）
A．25分 B．50分 C．75分 D．100分
5．如图是我国古代所用的指南针，古人称它为司南．当它静止的时候，勺柄就会指向南方，
已知司南的长度与最大宽度的比值为．请估计这个比值在（ ）
A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间
6.实数a、b在数轴上的位置如图所示，且|a|＞|b|，则化简的结果为（ ）
A．2a＋b B．－2a＋b C．b D．2a－b
7．利用计算器计算出下表中各数的算术平方根如下：
… …
… 0.15 0.4743 1.5 4.743 …
根据以上规律，（ ）
A．47.43 B．15 C．474.3 D．150
8.任何实数，可用表示不超过的最大整数，如，
现对72进行如下操作：，
这样对72只需进行3次操作后变为1，
类似地，对2023只需进行（ ）次操作后变为1．
A．3 B．4 C．5 D．6
如图，用边长为5的两个小正方形拼成一个大正方形，在大正方形中放入一个直径d为整数的圆，
则d的最大值为（ ）
A．2 B．5 C．7 D．10
已知为实数，规定运算：，．
按上述规定，当时，的值等于（ ）
A． B． C． D．0
第二部分 非选择题
二、填空题：本大题共6个小题．每小题3分，共18分．把答案填在答题卡的横线上．
11．计算：______．
12．比较大小（填“”或“”）： ．
13．已知一个正数的两个平方根分别是和，则的值为______．
14．如图，从一个大正方形中裁去面积为和的两个小正方形，则阴影部分的面积为______．

15．在如图所示的运算程序中，输入的值是时，输出的值是_____
我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：
某正整数的立方是59319，求这个正整数．华罗庚脱口而出：39．
华罗庚迅速求出立方根的过程如下：
①由，可以确定是两位数；
②由可知，的十位上的数字是3；
③考虑到1至9的立方中，只有9的立方的个位上的数字是9，
所以确定的个位上的数字是9，所以．
请你根据上述步骤求出74088的立方根是_______．
三、解答题：本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．计算：
18．把下列各数分别填入相应的圈内：
，0，15，，，，，，，．
19．根据平方根、立方根的定义解方程
（1） （2）
20．已知：和是某正数的两个不相等的平方根，的立方根为．
(1) 求、的值；
(2) 求的算术平方根．
21．先阅读，再解决问题：
在二次根式的世界里，有一类特别“有规律”的等式，比如：
；
观察以上的“魔法等式”，直接写出结果：
________________；
运用以上你发现的规律计算：
．
22．【阅读与思考】请阅读下面材料，并完成相应的任务．
在学习完实数的相关运算之后，某数学兴趣小组提出了一个有趣的问题：
两个数的积的算术平方根与这两个数的算术平方根的积存在什么关系？
小聪和小明分别用自己的方法进行了验证：
小聪：，．所以．
小明：，．
这就说明和都是的算术平方根，而的算术平方根只有一个，
所以．
任务：
猜想：当，时，和之间存在怎样的关系？
运用以上结论，计算：
① ；
② ；
(3) 解决实际问题：已知一个长方形的长为，宽为，求这个长方形的面积．
23 .对于实数a，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为a的根整数，
例如：，=3．
仿照以上方法计算：=_______；=_____．
(2) 若，写出满足题意的x的整数值_____________．
如果我们对a连续求根整数，直到结果为1为止．
例如：对10连续求根整数2次=1，这时候结果为1．
对100连续求根整数，多少次之后结果为1，请写出你的求解过程．
(4) 只需进行3次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的是_________．
24.综合与实践．
【初步操作】
如图1，把两个面积为的小正方形沿对角线剪开，
拼成一个面积为的大正方形，可得小正方形的对角线长（大正方形的边长）为________；
【类比操作】
把长为2、宽为1的两个小长方形沿对角线剪开，
拼成如图2所示的一个大正方形（内部空白是一个小正方形），
仿照上面的探究方法求小长方形的对角线长；
【计算拓展】
若3是的一个平方根，的立方根是2，为图2中小正方形边长的小数部分，
请计算的平方根．
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