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“沅邵联盟”2026年上学期高一年级期末考试数学
时量：120分钟 满分：150分
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1. 已知集合 A 0,1,2,3 ， B x x 3 x 1 0 ，则 A B （ ）
A. 0 B. 0,1 C. 0,1,2 D. 0,1, 2,3
【答案】C
【解析】
【分析】求出集合 B，利用交集的定义可求得集合 A B .
【详解】因为 A 0,1,2,3 ， B x x 3 x 1 0 x 1 x 3 ，故 A B 0,1,2 .
故选：C.
2. 已知函数 f (x) 是定义在区间[0,
1
) 上的函数，且在该区间上单调递增，则满足 f (2x 1) f 的 x
3
的取值范围是（ ）
1 2 1 2 1 2
A. , B. [ , ) C. , D. [
1 , 2)
3 3 3 3 2 3 2 3
【答案】D
【解析】
1
【分析】由已知有0 2x 1 ，即可求取值范围.
3
【详解】因为函数 f (x) 是定义在区间[0, ) 上的增函数，满足 f (2x
1
1) f ，
3
1 1 2
所以0 2x 1 ，解得 x .
3 2 3
故选：D
3. 已知一组数据：3，5，7，1，4，6，9，2，则这组数据的第 75 百分位数是（ ）
A. 6 B. 6.5 C. 7 D. 7.5
【答案】B
【解析】
【详解】将数据从小到大排序为：1，2，3，4，5，6，7，9，数据个数 n 8，
i n p 8 75% 6 6 7，所以这组数据的第 75 百分位数为 6.5 .
2
4. 在 ABC中，点 D在边 AB上， BD 2DA．记CA m，CD n，则CB （ ）
A. 3m 2n 2m B. 3n C. 3m 2n D. 2m 3n
【答案】B
【解析】
【分析】根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出．
【详解】因为点 D在边 AB上， BD 2DA，所以 BD 2DA，即CD CB 2 CA CD ，

所以CB 3CD 2CA 3n 2m 2m
3n ．
故选：B．
5. 某圆锥的轴截面是边长为 2 的等边三角形，则该圆锥的体积为（ ）
π
A. 3π B. 3π C. 3 π D.
3 3
【答案】C
【解析】
【分析】由题可知圆锥底面半径 r 1，高为等边三角形的高为 h 3 ，再利用锥体体积公式即可求解.
【详解】因为圆锥的轴截面是边长为 2 的等边三角形，
所以圆锥底面半径 r 1，高为等边三角形的高为 h 3 ，
1 3
则圆锥的体积V πr 2h π .
3 3
故选：C.
6. 已知 a,b为两条不同的直线， , 为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）
A. 若a∥b,b ，则 a P B. 若a∥b,a ,b∥ ，则
C. 若a∥ ,b∥ , ∥ ，则 a b D. 若 a ,b , ，则 a b
【答案】B
【解析】
【分析】由线面位置关系即可逐一判断各个选项.
【详解】对于 A，若 a∥b,b ，则 a P 或 a ，故 A 错误；
对于 B，若 a∥b,b∥ ，则 a / / 或a ，
若a ， a ，则 ；
若 a / / ，则存在 c 使得 a / /c，又 a ，则 c ，
而 c ，则 ，故 B 正确；
对于 C，若 a∥ ,b∥ , ∥ ，则 a b或 a,b异面或相交，C 错误；
对于 D，若 a ,b , ，则 a b或 a,b异面或 a,b相交，D 错误.
故选：B.
7. 在四面体 ABCD中，E,F分别为棱 AC,BD的中点，AD 6,BC 4,EF 7 ，则异面直线 AD与BC
所成角为（ ）
π π π π
A. B. C. D.
12 6 4 3
【答案】D
【解析】
【分析】取CD的中点G，得到 FG//BC,EG//AD，得到 EGF为异面直线 AD与 BC所成的角，在 EFG
1
中，利用余弦定理，求得 cos EGF ，即可得到答案.
2
【详解】如图所示，取CD的中点G，连接EG， FG，则 FG / /BC，EG//AD，
则 EGF为异面直线 AD与 BC所成的角（或补角），
1
因为 FG BC 2 EG 1 AD 3 cos EGF 4 9 7 1 ， ，所以 ，
2 2 2 2 3 2
π
所以异面直线 AD与 BC所成角为 ．
3
故选：D.

AB AC
8. 已知非零向量 AB与 AC满足 BC 0，且 AB AC 2 2 ， AB AC 6 2 ，点D
AB AC



是 ABC的边 AB上的动点，则DB DC的最小值为（ ）
1 1 7
A. －1 B. C. D.
4 5 8
【答案】C
【解析】
【分析】分析题目条件可得 AB AC，取 BC的中点O，建立平面直角坐标系，利用坐标运算可得结果.

AB , AC【详解】∵

分别表示 与
AB AC AB AC
方向的单位向量，

AB AC AB AC
∴以 , 这两个单位向量为邻边的平行四边形是菱形，故 所在直线为 BAC的平分线
AB AC AB AC
所在直线，

∵
AB AC
BC 0，∴ BAC的平分线与 BC垂直，故 AB AC .

AB AC


取 BC的中点O，连接 AO，则 AO BC，

由题意得， AB AC CB 2 2, AB AC 2 AO 6 2 ，

∴ AO 3 2 .
如图，以O为坐标原点， BC所在直线为 x轴，OA所在直线为 y轴，建立平面直角坐标系，
则 B 2,0 ,C 2,0 , A 0,3 2 ，故 BA 2,3 2 .

设 BD BA 0 1 ，则 BD 2 ,3 2 ，∴D 2 2,3 2 ，

∴DB 2 , 3 2 ，DC 2 2 2 , 3 2 ，

∴DB DC 2 2 2 2 3 2 3 2 20 2 4 ，
-4 1 1
当 l = - = 时，DB DC取得最小值，最小值为 .2 20 10 5
故选：C.
二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分．
9. 已知复数 z 2 i（ i为虚数单位），则以下说法正确的有（ ）
A. 复数 z的虚部为 i B. z 5
C. 复数 z的共轭复数为 z 2 i D. 复数 z在复平面内对应的点在第一象限
【答案】BC
【解析】
【分析】根据复数虚部的概念、模长计算公式、共轭复数的概念以及其几何意义，可得答案
【详解】对于 A，由 z 2 i可得其虚部为 1，故 A 错误；
2
对于 B， z 22 1 5 ，故 B 正确；
对于 C，由 z 2 i可得其共轭复数为 z 2 i ，故 C 正确；
对于 D，由 z 2 i可得其在复平面上的对应点为 2, 1 ，易知该点位于第四象限，故 D 错误.
故选：BC.
10. 函数 f x Asin x A 0, 0, 0, π 的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
π
A.
3
πB.
3
C. 若 f x 在 0,m 17 23上恰好有三个零点，则 m
2 2
D. f 1 f 2 f 3 f 2025 2
【答案】ACD
【解析】
2π π
【分析】A 选项，由图象可得最小正周期T 6，从而求出 ；B 选项， A 2 ，代入 1,2 ，结
T 3
合 0, π π π π π π π π π得到 ；C 选项，先求出 x , m ，进而可得到 m 3π,4π ，求6 3 6 6 3 6 3 6
出答案；D 选项，先求出 f 1 , f 2 , f 3 , f 4 , f 5 , f 6 ，结合函数的最小正周期，得到答案.
2π π
【详解】A 选项，设 f x 的最小正周期为T ，由图象可知，T 2 4 1 6，即 ，A 正确；
T 3
π
B 选项，由图象可知 A 2 ，故 f x 2sin x ，
3
1,2 2sin π将 代入解析式得 2，即 sin
π
3
1，
3
0, π π π π又 ，故 ，解得 ，B 错误；3 2 6
π π
C 选项，由 B 知， f x 2sin x 3 6 ，
x 0,m π x π π π π 当 时， , m ，3 6 6 3 6
f x 在 0,m π π上恰好有三个零点，故 m 3π,4π 17 m 23，解得 ，C 正确；
3 6 2 2
D 选项，由 A 知， f x 的最小正周期为 6，
其中 f 1 2, f 2 2sin 5π 1, f 3 2sin π π

2sin
π
1，
6 6 6
f 4 4π π 5π π π 2sin

2， f 5 2sin



1， f 6 2sin

2π

1，
3 6 3 6 6
故 f 1 f 2 f 3 f 4 f 5 f 6 0，
所以
f 1 f 2 f 3 f 2025
337 f 1 f 2 f 3 f 4 f 5 f 6 f 1 f 2 f 3
0 2 1 1 2，D 正确.
故选：ACD
11. 如图，在正方体 ABCD A1B1C1D1 中，AB 2 ，点 P为线段 AD1 上一动点，则下列说法正确的是（ ）
A. 直线 PB1 // 平面 BC1D
B. 三棱锥 P BC1D
4
的体积为
3
C. 三棱锥D1 BC1D 外接球的表面积为 6π
D. PB 6直线 1与平面 BCC1B1所成角的正弦值的最大值为
3
【答案】ABD
【解析】
【分析】对 A 选项，可先证平面 AB1D1 / / 平面 BC1D，再证线面平行；对 B 选项，可用等积变换的方法求
三棱锥体积；对 C 选项，把三棱锥的外接球转化为正方体的外接球，即可得到答案；对 D 选项，先做出线
面角，再确定线面角的三角函数的最值.
【详解】对 A 选项：如图：
连接 B1D1， AB1，
因为 B1D1 / /BD， BD 平面 BC1D， B1D1 平面 BC1D，所以 B1D1 / / 平面 BC1D；
同理 AB1 / / 平面 BC1D .
又 B1D1 AB1 B1 ， B1D1, AB1 平面 AB1D1 ，所以平面 AB1D1 / / 平面 BC1D .
PB1 平面 AB1D1 ，所以 PB1 //平面 BC1D .故 A 正确；
对选项 B：因为 PB1 // 平面 BC1D，所以：
V 1 1 1 4P BC D VB BC D VD BB C S BB C CD 2 2 2 ，故 B 正确；1 1 1 1 1 3 1 1 3 2 3
对选项 C：因为三棱锥D1 BC1D的外接球就是正方体 ABCD A1B1C1D1 的外接球，所以三棱锥
D1 BC1D的外接球半径为： R 3 ，所以外接球表面积为： S 4πR2 12π ，故 C 错误；
对 D 选项：如图：
过 P做 PH 平面 BCC1B1于 H ，因为平面 ABC1D1 平面 BCC1B1 ，
且平面 ABC1D1 平面 BCC1B1 BC1，所以H BC1，再连接 B1H ，
则在直角 PHB1 中， PHB1 90 ， PB1H 就是直线 PB1与平面 BCC1B1所成角，设为θ .
tan θ PH 2因为 6HB HB ，且
HB1的最小值为 2 ，所以 tan θ 2 ，所以 sin θ ，故 D 正确.
1 1 3
故选：ABD
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分．
2x , x 2
12. 已知函数 f x ，则 f f 7 的值为__________． log3 2 x , x 2
【答案】4
【解析】
【分析】运用代入法，结合对数的运算性质进行求解即可.
【详解】由题意可得， f 7 log3 2 7 2 f f 7 f 2 22，所以 4．
故答案为：4
13. 已知一组数据 x1, x2 , x3 , x4 , x5 分别是 1，4，2，3，a，它们的平均数是 3，则对于以下数据：
2x1 1,2x2 1,2x3 1,2x4 1,2x5 1 的方差是________
【答案】8
【解析】
【分析】根据平均数求法列方程得 a 5 ，方差公式及性质求新数据的方差.
1 4 2 3 a
【详解】由题意 3，故 a 5 ，
5
x x x x x 1 3
2
4 3 2 2 3 2 2 3 3 5 3 2
所以 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 的方差为 2 ，
5
数据 2x1 1， 2x2 1， 2x3 1， 2x4 1， 2x5 1的方差是 4 2 8 .
故答案为：8
1 2 3
14. 甲、乙、丙三人参加“校史知识竞答”比赛，若甲、乙、丙三人荣获一等奖的概率分别为 ，， ，且三
2 3 4
人是否获得一等奖相互独立，则这三人中仅有两人获得一等奖的概率为___________．
11
【答案】
24
【解析】
【分析】根据独立事件的概率公式及互斥事件的加法求解即可.
【详解】设甲、乙、丙三人荣获一等奖分别记为事件 A,B,C，
即 P A 1 ,P B 2 ,P C 3 ，
2 3 4
这三人中仅有两人获得一等奖为事件D，
所以D ABC ABC ABC，
因此有 P D P ABC P ABC P ABC ，
因为事件 A,B,C 相互独立，
所以有 P D P ABC P ABC P ABC
P A P B P C P A P B P C P A P B P C
1 2 1 3 1 2 3 1 2 3 11

1



1

，2 3 4 2 3 4 2 3 4 24
11
所以这三人中仅有两人获得一等奖的概率为 .
24
四、解答题：本题共 6小题，共 77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15. 已知平面向量 a与b 的夹角为 45 ，且 a 1, b 2 .

（1）求 a 2b ；

（2）若a 2b a 与 kb 垂直，求 k的值.
【答案】（1） 13
3
（2）
5
【解析】
【分析】（1）利用向量数量积的定义及运算律，结合模长公式即可求解；

（2）根据向量垂直可得 a 2b a kb 0 ，再结合向量数量积的运算律和公式，即可求解.
【小问 1 详解】
2
由题意，得 a b a b cos45 1 2 1，
2

a

则 2b a2 4a b 4b 2 1 4 8 13 .
【小问 2 详解】

因为 a 2b 与 a kb 垂直，

所以 a 2b a kb a 2 2 k a b 2kb 2 0 ，
即12 2 k 1 4k 0 3，解得 k .
5
16. 黄山雄踞风景秀丽的安徽南部，是我国最著名的山岳风景区之一．为更好地提升旅游品质，黄山风景区
的工作人员随机选择 100 名游客对景区进行满意度评分（满分 100 分），根据这 100 名游客的评分，制成如
图所示的频率分布直方图．
（1）根据频率分布直方图，求 x的值；并估计这 100 名游客对景区满意度评分的平均数（同一组数据用该
区间的中点值做代表）；
（2）景区的工作人员采用按比例分层抽样的方法从评分在 50,60), 60,70) 的两组中共抽取 6 人，再从这 6
人中随机抽取 2 人进行个别交流，求选取的 2 人评分分别在 50,60 和 60,70 内各 1 人的概率．
【答案】（1） x 0.03，84.0
8
（2）
15
【解析】
【小问 1 详解】
由频率分布直方图，得10 0.005 0.01 0.015 x 0.04 1，
解得 x 0.030，
平均数为 x 55 0.05 65 0.10 75 0.15 85 0.3 95 0.4 84.0 ．
【小问 2 详解】
评分在 50,60 ， 60,70 的频率分别为 0.05，0.1，
则在 50,60 0.05中抽取 6 2 人，记为 a,b；
0.05 0.1
在[60,70）中抽取 4 人，记为C,D,E,F ．
从这 6 人中随机抽取 2 人，样本空间：
Ω ab,aC,aD,aE,aF ,bC,bD,bE,bF ,CD,CE,CF ,DE,DF ,EF ，共有 15 个结果，
设选取的 2 人评分分别在[50,60）和[60,70）内各 1 人为事件 A，
则 A aC,aD,aE,aF ,bC,bD,bE,bF ，共有 8 个结果，
8
所以 P A ．
15
17. 在 ABC中，角 A , B , C的对边分别为 a , b , c，且满足 2b c cos A acosC．
(Ⅰ)求角 A；
(Ⅱ)若 a 13， ABC的面积为3 3 ，求 ABC的周长．

【答案】（1） A （2）
3 7 13
【解析】
【分析】(1)本题首先可以通过正弦定理、两角和的正弦公式以及三角形内角和将 2b c cos A acosC转
化为 2sin Bcos A sin B，即可得出角 A的值；
(2)首先可通过余弦定理求出bc的值，再通过解三角形面积公式即可求出b c的值，最后求出周长．
【详解】（1）因为 2b c cosA acosC，
所以 2sinB sinC cosA sinAcosC，
即 2sinBcosA sinAcosC sinCcosA sin A C
由 A B C ，得 2sinBcosA sinB，
得 cosA 1 ，因为0 A ，所以 A ；
2 3
（2）由余弦定理 a2 b2 c2 2bc cosA，
得13 1 b2 c2 2bc ，即 b c 2 3bc 13，
2
因为 S 1 bc sinA 3 bc 3 3 ，所以bc 12 ，
2 4
2
所以 b c 36 13，b c 7 ，
所以ΔABC周长为a b c 7 13 ．
【点睛】本题考查了三角函数的相关性质，主要考查了三角恒等变换以及解三角形的相关公式，解三角形
a b c 1
相关公式有： ，S ab sinC，a2 b2 c2 2bc cos A，考查计算能力，考查化sin A sin B sinC 2
归思想，是中档题．
18. 如图，四棱锥 P-ABCD的侧面 PAD是正三角形，底面 ABCD是正方形，且侧面 PAD 底面
ABCD，AD 4，E为侧棱 PD的中点．
（1）求证：PB∥平面 EAC；
（2）求三棱锥 A PDC的体积；
（3）求二面角 P BC A的正弦值．
【答案】（1）证明：如图，连接 BD交 AC于O，连接 EO，
因为底面 ABCD是正方形，所以O为 BD中点，又 E为侧棱 PD的中点，
所以 EO∥PB，又 EO 平面 EAC，PB 平面 EAC，
所以 PB / / 平面 EAC；
2 16 3（ ）
3
3 21（ ）
7
【解析】
【分析】（1）连接 BD交 AC于 O，连接 EO，根据已知证明EO / /PB，再应用线面平行的判定证明结论；
（2）取 AD的中点为 F ，连接 PF ，由面面垂直的性质定理证明 PF 平面 ABCD，再由棱锥的体积公
式求体积；
（3）取 BC的中点 G，连接 FG，PG，易得 BC FG、PF BC，再由线面垂直的判定和性质定理及二
面角的定义有 PGF为二面角 P BC A的平面角，进而求其正弦值.
【小问 1 详解】
略
【小问 2 详解】
取 AD的中点为 F ，连接 PF ，易知 PF AD，且 PF 2 3 ，
又平面 PAD 底面 ABCD，平面 PAD 底面 ABCD AD，PF 平面 PAD，
所以 PF 平面 ABCD V 1 1 1 16 3，则 A PDC VP ADC S ADC PF 4 4 2 3 ．3 3 2 3
【小问 3 详解】
取 BC的中点 G，连接 FG，PG，
因为底面 ABCD为正方形，F、G分别为 AD、BC的中点，所以 BC FG，
因为 PF 平面 ABCD， BC 平面 ABCD，所以 PF BC，
因为 PF FG F ， PF ,FG 平面 PFG，
所以 BC 平面 PFG，PG 平面 PFG，所以BC PG，
所以 PGF为二面角 P BC A的平面角，
Rt△PFG中， PF 2 3，FG 4 ，
所以 PG2 PF 2 FG2 28，PG 2 7 ，
sin PF 2 3 21 PGF ，二面角 P BC A 21的正弦值为 ．
PG 2 7 7 7
19. 已知在平面直角坐标系中，O为坐标原点，定义函数 f (x) psin x qcos x的“和谐向量”为非零向

量 (p,q),

(p,q)的“和谐函数”为 f (x) psin x qcos x．记平面内所有向量的“和谐函数”构
成的集合为T ．
（1）已知 R, f (x) 2sin x sin(x ) ，若函数 f (x) 为集合T 中的元素，求其“和谐向量”模的取
值范围；
2 | a | | b | 3 OG a

（ ）已知 ，设 b（ 0, 0

），且OG的“和谐函数”为 (x) ，其最大值为 S，

求 ；
S
（3）已知M ( 2,3),N (2,6)，设（1）中的“和谐函数”的模取得最小时的“和谐函数”为

m(x), g(x) 2m x ，试问在 y g(x) 的图象上是否存在一点Q，使得 ，若存在，求出Q
2
MQ NQ 0

点坐标；若不存在，说明理由．
【答案】（1） 1,3
1
（2）
3

（3）不存在，理由：由（1）知，当 cos 1时， 最小，此时 1,0 ，
所以m x sinx,g x 2sin x ，
2
x x
设Q x, 2sin ，令 t 2sin , t 2, 2 ，
2 2

则MQ x 2,t 3 ,NQ x 2,t 6 ，

因为MQ NQ 0，
所以 x 2 x 2 t 3 t 6 0，即 x2 t2 9t 14 0，
9
2
25 9 5
所以 2 t x * ，所以 t ，即 2 t 7，
2 4 2 2
而 t 2,2 ，则 t 2，此时 x π 4kπ k Z ，等式 * 不成立，

所以在 y g x 的图象上不存在一点Q，使MQ NQ 0
【解析】
【分析】（1）求出函数 f x 的“和谐向量”向量，利用向量的模长公式，结合三角函数的有界性求解即可；
a

（2）设 3cos ,3sin ,b 3cos ,3sin ，利用平面向量的线性运算，结合两角和的正弦公式求解
即可；
x
（3）由（1）知，当cos 1时， 最小，此时 1,0 ，令 t 2sin , t 2, 2 ，利用数量积的坐
2
9 2 t 25标运算，可得 x
2 ，导出矛盾即可得到答案.
2 4
【小问 1 详解】
f x 2sinx sin x 2 cos sinx sin cosx，
所以函数 f x 的“和谐向量”向量 2 cos ，sin ，
2 cos 2 sin2 4cos 5 ，
因为 cos 1,1 ，所以 4cos 5 1,9 ，

所以 的取值范围为 1,3
【小问 2 详解】

设 a 3cos ,3sin ,b 3cos ,3sin ，

则OG a

b 3 cos cos ,3 sin sin ，
所以 x 3 cos cos sinx 3 sin sin cosx
3 cos sinx sin cosx 3 cos sinx sin cosx
3 sin x 3 sin x
3 3 ，
x π 0 2k 2 1
π
此时存在 x0 ，满足 ，当且仅当 x x0时取等号，其中 k ,kπ 1 2
Z，
x0 2k π 2 2

所以 2 k1 k2 π，即 a b，所以 2kπ,k Z，
所以 x 的最大值 S 3 3 ，
1
所以
S 3
【小问 3 详解】
略“沅邵联盟”2026年上学期高一年级期末考试数学
时量：120分钟 满分：150分
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1. 已知集合 A 0,1,2,3 ， B x x 3 x 1 0 ，则 A B （ ）
A. 0 B. 0,1 C. 0,1,2 D. 0,1, 2,3
2. 已知函数 f (x) 是定义在区间[0,
1
) 上的函数，且在该区间上单调递增，则满足 f (2x 1) f 3
的 x

的取值范围是（ ）
1 , 2 [1 , 2)
1 2 1 2
A. B. C. , D. [ , )
3 3 3 3 2 3 2 3
3. 已知一组数据：3，5，7，1，4，6，9，2，则这组数据的第 75 百分位数是（ ）
A. 6 B. 6.5 C. 7 D. 7.5

4. 在 ABC 中，点 D在边 AB上， BD 2DA．记CA m，CD n ，则CB （ ）

A. 3m 2n B. 2m 3n C. 3m 2n D. 2m 3n
5. 某圆锥的轴截面是边长为 2 的等边三角形，则该圆锥的体积为（ ）
π
A. 3π B. 3π C. 3 π D.
3 3
6. 已知 a,b为两条不同的直线， , 为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）
A. 若a∥b,b ，则 a P B. 若a∥b,a ,b∥ ，则
C. 若a∥ ,b∥ , ∥ ，则 a b D. 若 a ,b , ，则 a b
7. 在四面体 ABCD中，E,F分别为棱 AC,BD的中点，AD 6,BC 4,EF 7 ，则异面直线 AD与BC
所成角为（ ）
π π π π
A. B. C. D.
12 6 4 3
AB A
8. 已知非零向量 AB与 AC满足
C BC 0，且 AB AC 2 2 ， AB AC 6 2 ，点D

AB AC



是 ABC的边 AB上的动点，则DB DC的最小值为（ ）
1 1 7
A. －1 B. C. D.
4 5 8
二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分．
9. 已知复数 z 2 i（ i为虚数单位），则以下说法正确的有（ ）
A. 复数 z的虚部为 i B. z 5
C. 复数 z的共轭复数为 z 2 i D. 复数 z在复平面内对应的点在第一象限
10. 函数 f x Asin x A 0, 0, 0, π 的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
π
A.
3
π
B.
3
C. 若 f x 在 0,m 17 23上恰好有三个零点，则 m
2 2
D. f 1 f 2 f 3 f 2025 2
11. 如图，在正方体 ABCD A1B1C1D1 中，AB 2 ，点 P为线段 AD1 上一动点，则下列说法正确的是（ ）
A. 直线 PB1 // 平面 BC1D
4
B. 三棱锥 P BC1D的体积为 3
C. 三棱锥D1 BC1D 外接球的表面积为 6π
D. 直线 PB1与平面 BCC1B
6
1所成角的正弦值的最大值为
3
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分．
x
12. 已知函数 f x 2 , x 2 ，则
f f 7 的值为__________．
log3 2 x , x 2
13. 已知一组数据 x1, x2 , x3 , x4 , x5 分别是 1，4，2，3，a，它们的平均数是 3，则对于以下数据：
2x1 1,2x2 1,2x3 1,2x4 1,2x5 1 的方差是________
1 2 3
14. 甲、乙、丙三人参加“校史知识竞答”比赛，若甲、乙、丙三人荣获一等奖的概率分别为 ，， ，且三
2 3 4
人是否获得一等奖相互独立，则这三人中仅有两人获得一等奖的概率为___________．
四、解答题：本题共 6小题，共 77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15. 已知平面向量 a与b 的夹角为 45 ，且 a 1, b 2 .

（1）求 a 2b ；

（2 ）若a 2b a 与 kb 垂直，求 k的值.
16. 黄山雄踞风景秀丽的安徽南部，是我国最著名的山岳风景区之一．为更好地提升旅游品质，黄山风景区
的工作人员随机选择 100 名游客对景区进行满意度评分（满分 100 分），根据这 100 名游客的评分，制成如
图所示的频率分布直方图．
（1）根据频率分布直方图，求 x的值；并估计这 100 名游客对景区满意度评分的平均数（同一组数据用该
区间的中点值做代表）；
（2）景区的工作人员采用按比例分层抽样的方法从评分在 50,60), 60,70) 的两组中共抽取 6 人，再从这 6
人中随机抽取 2 人进行个别交流，求选取的 2 人评分分别在 50,60 和 60,70 内各 1 人的概率．
17. 在 ABC中，角 A , B , C的对边分别为 a , b , c，且满足 2b c cos A acosC．
(Ⅰ)求角 A；
(Ⅱ)若 a 13， ABC的面积为3 3 ，求 ABC的周长．
18. 如图，四棱锥 P-ABCD的侧面 PAD是正三角形，底面 ABCD是正方形，且侧面 PAD 底面
ABCD，AD 4，E为侧棱 PD的中点．
（1）求证：PB∥平面 EAC；
（2）求三棱锥 A PDC的体积；
（3）求二面角 P BC A的正弦值．
19. 已知在平面直角坐标系中，O为坐标原点，定义函数 f (x) psin x qcos x的“和谐向量”为非零向

量 (p,q),

(p,q)的“和谐函数”为 f (x) psin x qcos x．记平面内所有向量的“和谐函数”构
成的集合为T ．
（1）已知 R, f (x) 2sin x sin(x ) ，若函数 f (x) 为集合T 中的元素，求其“和谐向量”模的取
值范围；

（2）已知 | a | | b | 3，设OG a b（ 0, 0），且OG的“和谐函数”为 (x) ，其最大值为 S，

求 ；
S
（3）已知M ( 2,3),N (2,6)，设（1）中的“和谐函数”的模取得最小时的“和谐函数”为
m(x), g(x) 2m x

，试问在 y g(x) 的图象上是否存在一点Q，使得MQ NQ 0，若存在，求出Q
2
点坐标；若不存在，说明理由．

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