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浙教版新版九上第一单元 新知超前
1.2.3 二次函数的图象③（原卷版）
知识点1 y=a(x-h) +k的顶点式
二次函数的顶点式为________________，其中顶点坐标为__________，对称轴为直线__________。由顶点式可直接读出__________和__________，a的符号决定__________。
知识点2 一般式化为顶点式——配方法
将y=ax +bx+c化为顶点式的步骤：①________________；②________________；③写成________________的形式。其中h=__________，k=__________。
知识点3 从顶点式读性质
由y=a(x-h) +k可知：开口方向看__________；对称轴为__________；顶点__________；a>0时有__________，a<0时有__________；对称轴左侧__________、右侧__________。
知识点4 平移综合
抛物线平移规律：__________（x-h中h变化），__________（常数项变化）。平移后的抛物线可先写__________，再根据新顶点坐标写出解析式。平移只改变__________，不改变__________。
知识点5 待定系数法求顶点式
已知顶点(h,k)和另一点坐标，设________________，代入已知点坐标__________，得到完整解析式。也可设__________，代入三点解__________。
考点1 y=a(x-h) +k顶点式
【解题思路】形如y=a(x-h) +k的解析式为顶点式，顶点(h,k)，对称轴x=h。注意：式中是x-h，若为x+h则h为负数。
例1．抛物线的顶点坐标为（ ）
A． B． C． D．
变式1．二次函数的图象的顶点所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
变式2．二次函数的顶点坐标为________．
考点2 一般式化顶点式
【解题思路】配方步骤：提取a→括号内配一次项系数一半的平方→写成完全平方→整理常数项。也可用公式h=-b/(2a)，k=(4ac-b )/(4a)。
例2．已知抛物线，求该抛物线的顶点坐标和对称轴．
变式1．用配方法求抛物线的顶点坐标和对称轴．
变式2．求下列二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标：
考点3 从顶点式读性质
【解题思路】从顶点式读性质：a>0开口向上有最小值；a<0开口向下有最大值。对称轴x=h两侧增减性相反。
例3．对于抛物线，下列说法正确的是（ ）
A．抛物线的开口向下 B．抛物线的顶点坐标为
C．抛物线的对称轴为直线 D．当时，随的增大而减小
变式1．对于抛物线，下列说法正确的是（ ）．
A．图象与轴无交点
B．当时，随的增大而增大
C．当时，有最小值
D．图象的顶点坐标为
变式2．二次函数的最小值为__________．
考点4 平移综合
【解题思路】平移口诀：左加右减(h变化)，上加下减(k变化)。平移后形状和开口方向不变，只有顶点位置改变。
例4．在平面直角坐标系中，将抛物线先向左平移2个单位，再向上平移6个单位后所得到的抛物线的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
变式1．将抛物线先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，则平移后的抛物线的顶点坐标为_________．
变式2．如果将抛物线向上平移m（）个单位后经过原点，那么m的值是________．
考点5 待定系数法
【解题思路】已知顶点设y=a(x-h) +k，代入另一个已知点求a。若没给顶点给三点，设一般式y=ax +bx+c解方程组。
例5．顶点是，开口方向、形状与抛物线相同的抛物线是（ ）
A． B． C． D．
变式1．已知抛物线的顶点坐标为且经过坐标原点，则这个二次函数的表达式是______．
变式2．已知二次函数的图象经过，且顶点．求二次函数的解析式．
一、选择题
1．（2025·广东广州·二模）已知二次函数，其顶点坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．（25-26八年级下·福建福州·期末）二次函数图象的对称轴是（ ）
A．直线 B．直线 C．直线 D．直线
3．（22-23九年级下·宁夏银川·开学考试）对于二次函数，下列说法中正确的是（ ）
A．图象的开口向上 B．函数的最小值为1
C．当时，y随x的增大而减小 D．图象的对称轴为直线
二、填空题
4．（21-22九年级上·山东临沂·阶段检测）抛物线的顶点坐标是__________．
5．（2026·江苏南通·二模）二次函数，当时，随的增大而增大，写出一个符合条件的的值_______．
6．（25-26九年级下·湖北黄石·阶段检测）写出一个开口向下，顶点坐标为的二次函数解析式，其顶点式可以表示为__________．
三、解答题
7．（25-26九年级上·江西·期末）已知二次函数的表达式为：，写出该二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．
8．（25-26九年级上·河南许昌·期末）已知二次函数．
(1)求该函数图象的顶点坐标；
(2)求该函数图象与y轴的交点坐标．
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浙教版新版九上第一单元 新知超前
1.2.3 二次函数的图象③（解析版）
知识点1 y=a(x-h) +k的顶点式
二次函数的顶点式为y=a(x-h) +k，其中顶点坐标为(h,k)，对称轴为直线x=h。由顶点式可直接读出顶点坐标和对称轴，a的符号决定开口方向。
知识点2 一般式化为顶点式——配方法
将y=ax +bx+c化为顶点式的步骤：①提取二次项系数a；②配方（加上一次项系数一半的平方再减去）；③写成y=a(x-h) +k的形式。其中h=-b/(2a)，k=(4ac-b )/(4a)。
知识点3 从顶点式读性质
由y=a(x-h) +k可知：开口方向看a的符号；对称轴为x=h；顶点(h,k)；a>0时有最小值k，a<0时有最大值k；对称轴左侧增/减、右侧减/增。
知识点4 平移综合
抛物线平移规律：左加右减（x-h中h变化），上加下减（常数项变化）。平移后的抛物线可先写顶点式，再根据新顶点坐标写出解析式。平移只改变顶点，不改变形状和开口。
知识点5 待定系数法求顶点式
已知顶点(h,k)和另一点坐标，设y=a(x-h) +k，代入已知点坐标求出a，得到完整解析式。也可设一般式y=ax +bx+c，代入三点解三元一次方程组。
考点1 y=a(x-h) +k顶点式
【解题思路】形如y=a(x-h) +k的解析式为顶点式，顶点(h,k)，对称轴x=h。注意：式中是x-h，若为x+h则h为负数。
例1．抛物线的顶点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】二次函数顶点式的顶点坐标为．
【详解】解：抛物线顶点坐标为．
变式1．二次函数的图象的顶点所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【分析】根据二次函数顶点式的顶点坐标为，求出该二次函数的顶点坐标，再根据坐标符号判断顶点所在象限即可．
【详解】解：∵二次函数解析式为，可变形为，符合顶点式的形式，
∴该二次函数图象的顶点坐标为，
∵顶点横坐标，纵坐标，符合第二象限内点的坐标特点，
∴顶点在第二象限．
变式2．二次函数的顶点坐标为________．
【答案】
【分析】根据二次函数顶点式的顶点坐标为解答即可．
【详解】解：二次函数符合顶点式的形式，
∴二次函数的顶点坐标为．
考点2 一般式化顶点式
【解题思路】配方步骤：提取a→括号内配一次项系数一半的平方→写成完全平方→整理常数项。也可用公式h=-b/(2a)，k=(4ac-b )/(4a)。
例2．已知抛物线，求该抛物线的顶点坐标和对称轴．
【答案】顶点坐标为，对称轴为直线
【分析】本题主要考查了求抛物线的顶点坐标和对称轴、二次函数的性质等知识点，将抛物线解析式化成顶点式是解题的关键．
先将抛物线解析式化成顶点式，然后根据二次函数的性质求解即可．
【详解】解：
该抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线．
变式1．用配方法求抛物线的顶点坐标和对称轴．
【答案】抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线．
【分析】本题考查将二次函数一般式化为顶点式，二次函数的图象和性质．
按照配方的基本步骤进行即可，注意二次项系数要先提取后化为1，再配一次项系数的一半的平方．
【详解】解：
，
∴抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线．
变式2．求下列二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标：
【答案】开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为
【分析】本题主要考查了把一般式化成顶点式，再根据二次函数的图象和性质求解即可．
【详解】解：，
∴二次函数对称轴为直线，顶点坐标为，
∵，
∴二次函数图象的开口向上．
考点3 从顶点式读性质
【解题思路】从顶点式读性质：a>0开口向上有最小值；a<0开口向下有最大值。对称轴x=h两侧增减性相反。
例3．对于抛物线，下列说法正确的是（ ）
A．抛物线的开口向下 B．抛物线的顶点坐标为
C．抛物线的对称轴为直线 D．当时，随的增大而减小
【答案】B
【分析】根据顶点式的特点，分别判断开口方向、顶点坐标、对称轴和增减性即可．
【详解】解：∵抛物线解析式为，
∴，
∴抛物线开口向上，故错误；
顶点坐标为，故正确；
对称轴为直线，故错误；
∵抛物线开口向上，对称轴为直线，
∴当时，随的增大而增大，故错误．
变式1．对于抛物线，下列说法正确的是（ ）．
A．图象与轴无交点
B．当时，随的增大而增大
C．当时，有最小值
D．图象的顶点坐标为
【答案】C
【分析】根据二次函数的顶点式的性质，逐项分析，即可求解．
【详解】解：对于抛物线，顶点坐标为，对称轴为直线；
∵，
∴抛物线的开口向上，
对A选项：令，则，即抛物线与轴交点为，故A选项说法错误，不符合题意；
对B选项：当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，故B选项说法错误，不符合题意；
对C选项：当时，有最小值；故C选项说法正确，符合题意；
对D选项：抛物线的顶点坐标为，故D选项说法错误，不符合题意．
变式2．二次函数的最小值为__________．
【答案】
【分析】本题二次函数为顶点式，根据二次函数的性质，开口向上的二次函数，顶点纵坐标即为函数的最小值．
【详解】解：由二次函数解析式可知，该解析式为顶点式，二次项系数，
因此抛物线开口向上，函数存在最小值，
该二次函数的顶点坐标为，
因此当时，二次函数取得最小值．
考点4 平移综合
【解题思路】平移口诀：左加右减(h变化)，上加下减(k变化)。平移后形状和开口方向不变，只有顶点位置改变。
例4．在平面直角坐标系中，将抛物线先向左平移2个单位，再向上平移6个单位后所得到的抛物线的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题利用二次函数图像平移的“左加右减，上加下减”法则，先得到平移后的抛物线解析式，再求出顶点坐标即可．
【详解】解：∵原抛物线解析式为 ，根据平移法则，向左平移2个单位，再向上平移6个单位，
∴新抛物线解析式为，
整理得 ，
∴平移后抛物线的顶点坐标为．
变式1．将抛物线先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，则平移后的抛物线的顶点坐标为_________．
【答案】
【分析】先根据顶点式得到原抛物线的顶点坐标，再根据点平移的规律计算得到平移后的顶点坐标即可．
【详解】解：抛物线是顶点式，可得原抛物线的顶点坐标为，
将顶点向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，
平移后的顶点横坐标为，纵坐标为，
因此平移后的抛物线的顶点坐标为．
变式2．如果将抛物线向上平移m（）个单位后经过原点，那么m的值是________．
【答案】3
【分析】先根据抛物线平移规律得到平移后的抛物线解析式，再将原点坐标代入解析式，求解得到的值．
【详解】解：根据抛物线平移的“上加下减”规律，可得平移后抛物线的解析式为
平移后的抛物线经过原点，
，
解得，．
考点5 待定系数法
【解题思路】已知顶点设y=a(x-h) +k，代入另一个已知点求a。若没给顶点给三点，设一般式y=ax +bx+c解方程组。
例5．顶点是，开口方向、形状与抛物线相同的抛物线是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查二次函数顶点式的性质，二次函数顶点式中，决定抛物线的开口方向和形状，顶点坐标为，根据已知条件确定和顶点坐标即可得到解析式．
【详解】解：∵所求抛物线的开口方向、形状与相同，
∴所求抛物线的二次项系数，可排除C、D选项；
∵所求抛物线的顶点为，代入顶点式（顶点坐标为），
得，，，
∴解析式为．
变式1．已知抛物线的顶点坐标为且经过坐标原点，则这个二次函数的表达式是______．
【答案】
【分析】设二次函数的表达式为，再把代入表达式，即可求解．
【详解】解：抛物线的顶点坐标为
设二次函数的表达式为，
抛物线经过坐标原点，
将代入表达式得，
解得 ，
∴抛物线解析式为．
变式2．已知二次函数的图象经过，且顶点．求二次函数的解析式．
【答案】
【分析】本题考查待定系数法确定二次函数解析式，由于已知顶点坐标，可设二次函数的顶点式，再代入已知点求参数即可．掌握并利用二次函数的顶点式确定二次函数的解析式是解题的关键．
【详解】解：∵二次函数的顶点，
∴可设二次函数的解析式为，
又∵该二次函数的图象经过，
∴，
解得：，
∴二次函数的解析式为．
一、选择题
1．（2025·广东广州·二模）已知二次函数，其顶点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查二次函数顶点式的顶点坐标，利用二次函数顶点式的性质即可直接求解．
【详解】解：二次函数顶点式的形式为，其顶点坐标为．
∵已知二次函数为，对比顶点式可得，
∴该二次函数的顶点坐标为．
2．（25-26八年级下·福建福州·期末）二次函数图象的对称轴是（ ）
A．直线 B．直线 C．直线 D．直线
【答案】A
【分析】二次函数顶点式的对称轴为直线，直接根据顶点式即可得出结果．
【详解】解：二次函数的对称轴是直线，
故选：A．
3．（22-23九年级下·宁夏银川·开学考试）对于二次函数，下列说法中正确的是（ ）
A．图象的开口向上 B．函数的最小值为1
C．当时，y随x的增大而减小 D．图象的对称轴为直线
【答案】D
【分析】根据二次项系数判断开口方向与最值，根据顶点式确定对称轴，结合开口方向判断增减性，逐一分析选项即可．
【详解】解：∵，
∴图象开口向下，函数的最大值为，因此A、B选项错误；
∵该函数的对称轴为直线，开口向下，
∴当时，随的增大而增大，因此C选项错误；
该函数图象的对称轴为直线，因此D选项正确．
二、填空题
4．（21-22九年级上·山东临沂·阶段检测）抛物线的顶点坐标是__________．
【答案】
【分析】根据二次函数顶点式的性质，得到顶点坐标．
【详解】解：二次函数的顶点式为，其顶点坐标为，
对比顶点式可得，，
故顶点坐标为．
5．（2026·江苏南通·二模）二次函数，当时，随的增大而增大，写出一个符合条件的的值_______．
【答案】（答案不唯一，任意负数均可）
【分析】根据顶点式得到对称轴，结合给定的增减性判断的取值范围，即可写出符合条件的的值．
【详解】解：二次函数解析式为，
∴对称轴为直线，
当时，随的增大而增大，
二次函数图象开口向下，
，
（答案不唯一）．
6．（25-26九年级下·湖北黄石·阶段检测）写出一个开口向下，顶点坐标为的二次函数解析式，其顶点式可以表示为__________．
【答案】（答案不唯一）
【详解】解：由二次函数的顶点式为，其中 为顶点坐标．
∵抛物线的顶点坐标为 ，
∴二次函数的解析式为，
∵开口向下，
∴，
二次函数的解析式为（答案不唯一）．
三、解答题
7．（25-26九年级上·江西·期末）已知二次函数的表达式为：，写出该二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．
【答案】二次函数的图象开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为
【分析】本题考查了二次函数的顶点式，二次函数的图象，根据二次函数的顶点式即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键．
【详解】解：∵二次函数的表达式为，，
∴二次函数的图象开口向上，对称轴为直线，顶点坐标．
8．（25-26九年级上·河南许昌·期末）已知二次函数．
(1)求该函数图象的顶点坐标；
(2)求该函数图象与y轴的交点坐标．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了二次函数的性质．
（1）将二次函数化为顶点式，进而根据顶点式的性质作答即可；
（2）将代入解析式求出的值即可求出与y轴的交点坐标．
【详解】（1）解：
，
即顶点坐标为；
（2）解：当时，，
即该函数图象与y轴的交点坐标为．
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