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浙教版新版九上第一单元 新知超前
1.3 二次函数的性质（解析版）
知识点1 对称轴与顶点坐标
二次函数y=ax +bx+c的对称轴为直线x=-b/(2a)，顶点坐标为(-b/(2a), (4ac-b )/(4a))。配方成y=a(x-h) +k后，可直接读出顶点(h,k)和对称轴x=h。
知识点2 增减性
当a>0时，在对称轴左侧y随x增大而减小，右侧y随x增大而增大；当a<0时，在对称轴左侧y随x增大而增大，右侧y随x增大而减小。增减性的分界是对称轴。
知识点3 最值
当a>0（开口向上）时，函数在顶点处取得最小值，最小值为顶点纵坐标k；当a<0（开口向下）时，函数在顶点处取得最大值，最大值为顶点纵坐标k。
知识点4 a、b、c的符号与图象的关系
a决定开口方向（a>0向上，a<0向下）；b与a共同决定对称轴位置（左同右异）；c是图象与y轴交点的纵坐标。结合图象可判断a、b、c的正负号。
考点1 对称轴与顶点坐标
【解题思路】对称轴公式x=-b/(2a)，顶点坐标(-b/(2a),(4ac-b )/(4a))。也可用配方法将一般式化为顶点式直接读出。
例1．抛物线的顶点坐标是__________．
【答案】
【分析】将抛物线的一般式通过配方法转化为顶点式，即可得到顶点坐标，也可利用顶点坐标公式求解．
【详解】解：
抛物线顶点坐标为．
变式1．二次函数的对称轴为直线_______．
【答案】/
【分析】本题考查了求二次函数的对称轴，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．直接利用对称轴公式进行计算即可．
【详解】解：二次函数 中，, ，对称轴公式为 ，
代入得 ，
故对称轴为直线 ；
故答案为：．
变式2．抛物线的对称轴是直线______．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是关键．直接根据二次函数的对称轴公式求解即可．
【详解】解：对于抛物线，，，
对称轴为直线．
故答案为：．
考点2 增减性
【解题思路】先确定对称轴和开口方向，再判断增减性。a>0开口向上:左减右增；a<0开口向下:左增右减。
例2．已知二次函数，当时随的增大而减小，则的取值范围是_____．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数的性质，熟知二次函数的性质是解题的关键．根据二次函数的性质即可得到m的取值．
【详解】解：二次函数为，，
函数图像开口向上，在对称轴左侧随的增大而减小．
对称轴为 ，
，解得 ．
故答案为：．
变式1．已知二次函数（为实数，），当时，随的增大而增大，则的取值范围是__________．
【答案】
【分析】本题考查二次函数的性质，先求出二次函数的对称轴，再根据二次函数单调性结合题目条件推导得到的取值范围．
【详解】解：已知二次函数，，
根据二次函数对称轴公式，其中二次项系数为，一次项系数，
∴对称轴为：，
∵当时，随的增大而增大，
∴抛物线开口向上，即，此时对称轴右侧，当时，随的增大而增大；
∴．
故答案为：．
变式2．已知点都在函数的图象上，则的大小关系是__________．(填“”，“”或“”)
【答案】
【分析】本题考查比较二次函数的函数值大小，根据二次函数的增减性，进行判断即可．
【详解】解：∵，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线，当时，随的增大而减小，
∵，
∴；
故答案为：．
考点3 最值
【解题思路】最值在顶点处取得。a>0最小值=顶点纵坐标；a<0最大值=顶点纵坐标。先求顶点坐标即可得到最值。
例3．抛物线的顶点坐标是___________
【答案】
【分析】本题考查二次函数的顶点坐标，掌握顶点坐标横坐标对应函数对称轴所在直线是解题的关键．
观察函数表达式，易知其对称轴为直线，将代入表达式，可求出函数值，即可得出顶点坐标．
【详解】解：对于二次函数 ，
其对称轴为直线，
本题中，，，代入公式，
得对称轴为直线，故顶点横坐标为0，
纵坐标为，
所以顶点坐标为 ．
故答案为： ．
变式1．对于二次函数，下列说法正确的是（ ）
A．图象开口向下 B．对称轴是直线
C．与轴的交点是和 D．当时，随的增大而增大
【答案】B
【分析】先将给定二次函数整理为顶点式，再根据二次函数的性质，依次判断各选项的说法，即可得到正确结果．
【详解】解：∵ ，二次项系数，
∴ 抛物线开口向上，选项A错误；
∵ 整理得到的顶点式为，
∴ 图象的对称轴是直线，选项B正确；
令，得，解得，
∴ 抛物线与轴的交点坐标是和，选项C错误；
∵ 抛物线开口向上，对称轴为直线，
∴ 当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，选项D错误．
变式2．已知二次函数．
(1)求函数图象的对称轴与顶点坐标．
(2)将函数图象向下平移个单位长度，若平移后的图象经过点，求的值．
【答案】(1)对称轴为直线，顶点坐标为
(2)
【分析】（1）将二次函数解析式化为顶点式，即可求解；
（2）根据二次函数的平移规律即可求解．
本题考查了二次函数的平移，二次函数的顶点式，掌握二次函数图象的性质是解题的关键．
【详解】（1）解：∵，
∴对称轴为直线，
∴顶点坐标为，
故答案为：对称轴直线为,顶点坐标为；
（2）∵向下平移个单位长度，
则平移后函数为，
将代入函数，
得，
则，
故答案为：．
考点4 a、b、c的符号与图象
【解题思路】开口方向看a；对称轴位置由a,b共同决定(左同右异)；与y轴交点(0,c)；Δ=b -4ac判断与x轴交点个数。
例4．二次函数图象开口向上，对称轴在y轴左侧，与y轴交于负半轴，则a、b、c符号判断正确的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【答案】A
【分析】根据二次函数的图象与性质，分别通过开口方向、对称轴位置、与y轴交点位置判断a、b、c的符号，从而得到正确选项．
【详解】解：∵二次函数的图象开口向上，
∴，
∵对称轴在y轴左侧，二次函数对称轴为直线，
∴，
∴，
∵二次函数图象与y轴交于负半轴，当时，，
∴，
综上，，，，故选项A符合题意．
变式1．如图，若，，，则抛物线的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由可以得出抛物线的开口向下，由得出抛物线与轴的交点在轴的负半轴上，由，可以得出抛物线的对称轴，即抛物线的对称轴在轴右侧，据此即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴抛物线的开口向下，故C选项错误；
∵，
∴抛物线与轴的交点在轴的负半轴上，故A选项错误；
∵，，
故抛物线的对称轴为，
∴抛物线的对称轴在轴右侧，故D选项错误．
变式2．已知二次函数的图象如图所示，则下列结论：①；②；③当时，y随x的增大而增大；④，其中正确的个数有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】C
【分析】首先根据开口方向，对称轴和与y轴的交点位置判断出a，b，c的正负，然后结合图象逐项判断即可．
【详解】解：①∵二次函数图象开口向下
∴
∵二次函数的对称轴在y轴左边
∴
∴
∵二次函数图象与y轴交于正半轴
∴
∴，故①错误；
②由图象可得，当时，，故②错误；
③由图象可得，当时，y随x的增大而增大，故③正确；
由二次函数图象的对称性可得，当时，，故④正确；
综上所述：正确的有2个．
一、选择题
1．（2026·广东珠海·三模）抛物线，其中，a，b，c能决定抛物线的增减性的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查二次函数的性质，需明确抛物线增减性的影响因素，抛物线增减性由开口方向和对称轴位置共同决定，根据二次函数性质分析各参数的作用即可得到结果；
【详解】解：∵抛物线的开口方向由决定，开口方向决定整体增减趋势；抛物线的对称轴为直线，对称轴位置由和共同决定；抛物线的增减性以对称轴为分界，因此增减性由共同决定；只决定抛物线与轴的交点位置，仅上下平移抛物线，不改变开口方向和对称轴位置，不影响增减性∴能决定抛物线增减性的是．
2．（2026·四川成都·一模）如图，二次函数的图象经过，，三点，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．当时，函数值y随自变量x的增大而增大
C．当时，x的取值范围是
D．方程有两个不相等的实数解
【答案】A
【分析】先由题意求出二次函数的解析式为，然后根据二次函数的图象与性质依次排除选项即可．
【详解】解：由二次函数的图象经过，，三点，可得：
，解得：，
∴二次函数的解析式为，故A正确；
∴对称轴为直线，开口向上，当时，函数有最小值，最小值为，
∴当时，函数值y随自变量x的增大而减小，故B错误；
由图象可知：当时，x的取值范围是或，故C错误；
由可变形为，所以该方程有两个相等的实数根为，故D错误．
3．（2026·陕西榆林·模拟预测）二次函数在平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】先求出二次函数与轴的交点坐标为，即可排除A选项，再分两种情况，分别分析对称轴的位置，即可得出结果．
【详解】解：在中，当时，，故二次函数与轴的交点坐标为，故A选项不符合题意；
当时，对称轴为直线，在轴的右侧，故B选项不符合题意；
当时，对称轴为直线，在轴的左侧，故C选项不符合题意，D选项符合题意．
二、填空题
4．（2026·浙江杭州·一模）二次函数的图象的对称轴是直线________．
【答案】3
【详解】解：在二次函数中，，，则对称轴为直线．
5．（25-26九年级上·浙江绍兴·期末）若抛物线的对称轴为直线，则_____．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数的性质．利用抛物线对称轴公式代入已知条件求解
【详解】解：抛物线 的对称轴公式为 ，已知对称轴为 且 ，
代入公式得 ，即 ，
解得
故答案为：．
6．（25-26九年级上·浙江温州·阶段检测）抛物线经过点，，则b的值为_______．
【答案】
【分析】此题考查了二次函数的性质，根据对称轴公式和二次函数的对称性列方程求解即可．
【详解】解：∵抛物线经过点，，
∴对称轴为直线
解得．
故答案为：．
三、解答题
7．（25-26八年级下·浙江宁波·期中）如图，已知二次函数图象经过点和．
(1)求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标；
(2)当时，求函数的取值范围；
(3)当时，利用图象，直接写出的取值范围．
【答案】(1)，
(2)
(3)或
【分析】（1）利用待定系数法求出对应的函数的表达式，再把表达式化为顶点式求出顶点坐标即可；
（2）根据（1）所求可得函数的增减性和对称轴，求出时的函数值，结合顶点坐标即可得到答案；
（3）由对称性可得点在该函数的图象上，再结合函数图象即可得到答案．
【详解】（1）解：∵二次函数图象经过点和，
∴，
∴，
∴该二次函数的表达式为，
∴顶点坐标为；
（2）解：由（1）得该二次函数的表达式为，
∴二次函数的图象开口向上，对称轴为直线，
∴离对称轴越远，函数值越大，
当时，，且，
∴当时，函数的最大值小于7，
∵顶点坐标为，即当时，函数的最小值为，
∴当时，；
（3）解：由（2）可知，对称轴为直线，
∵，
∴由对称性可知，点在该函数的图象上，
由函数图象可知，当时，或．
8．（25-26九年级上·浙江金华·期末）已知二次函数的图象经过，两点．求二次函数解析式并试判断点是否在此函数图象上．
【答案】，点不在此函数图象上
【分析】本题考查了待定系数法、二次函数的解析式，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
根据待定系数法求出函数解析式，验证当时的纵坐标即可解题．
【详解】解：将，代入，
得，
解得，
∴二次函数的解析式为，
当时，，
∴不在函数图象上．
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1.3 二次函数的性质（原卷版）
知识点1 对称轴与顶点坐标
二次函数y=ax +bx+c的对称轴为直线________________，顶点坐标为________________。配方成________________后，可直接读出顶点__________和对称轴__________。
知识点2 增减性
当__________时，在对称轴________________，________________；当__________时，在对称轴________________，________________。增减性的分界是__________。
知识点3 最值
当__________（开口向上）时，函数在顶点处取得__________，最小值为__________；当__________（开口向下）时，函数在顶点处取得__________，最大值为__________。
知识点4 a、b、c的符号与图象的关系
__________决定开口方向（a>0向上，a<0向下）；__________与a共同决定对称轴位置（__________）；__________是图象与__________的纵坐标。结合图象可判断a、b、c的__________。
考点1 对称轴与顶点坐标
【解题思路】对称轴公式x=-b/(2a)，顶点坐标(-b/(2a),(4ac-b )/(4a))。也可用配方法将一般式化为顶点式直接读出。
例1．抛物线的顶点坐标是__________．
变式1．二次函数的对称轴为直线_______．
变式2．抛物线的对称轴是直线______．
考点2 增减性
【解题思路】先确定对称轴和开口方向，再判断增减性。a>0开口向上:左减右增；a<0开口向下:左增右减。
例2．已知二次函数，当时随的增大而减小，则的取值范围是_____．
变式1．已知二次函数（为实数，），当时，随的增大而增大，则的取值范围是__________．
变式2．已知点都在函数的图象上，则的大小关系是__________．(填“”，“”或“”)
考点3 最值
【解题思路】最值在顶点处取得。a>0最小值=顶点纵坐标；a<0最大值=顶点纵坐标。先求顶点坐标即可得到最值。
例3．抛物线的顶点坐标是___________
变式1．对于二次函数，下列说法正确的是（ ）
A．图象开口向下 B．对称轴是直线
C．与轴的交点是和 D．当时，随的增大而增大
变式2．已知二次函数．
(1)求函数图象的对称轴与顶点坐标．
(2)将函数图象向下平移个单位长度，若平移后的图象经过点，求的值．
考点4 a、b、c的符号与图象
【解题思路】开口方向看a；对称轴位置由a,b共同决定(左同右异)；与y轴交点(0,c)；Δ=b -4ac判断与x轴交点个数。
例4．二次函数图象开口向上，对称轴在y轴左侧，与y轴交于负半轴，则a、b、c符号判断正确的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
变式1．如图，若，，，则抛物线的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
变式2．已知二次函数的图象如图所示，则下列结论：①；②；③当时，y随x的增大而增大；④，其中正确的个数有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
一、选择题
1．（2026·广东珠海·三模）抛物线，其中，a，b，c能决定抛物线的增减性的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2026·四川成都·一模）如图，二次函数的图象经过，，三点，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．当时，函数值y随自变量x的增大而增大
C．当时，x的取值范围是
D．方程有两个不相等的实数解
3．（2026·陕西榆林·模拟预测）二次函数在平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
4．（2026·浙江杭州·一模）二次函数的图象的对称轴是直线________．
5．（25-26九年级上·浙江绍兴·期末）若抛物线的对称轴为直线，则_____．
6．（25-26九年级上·浙江温州·阶段检测）抛物线经过点，，则b的值为_______．
三、解答题
7．（25-26八年级下·浙江宁波·期中）如图，已知二次函数图象经过点和．
(1)求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标；
(2)当时，求函数的取值范围；
(3)当时，利用图象，直接写出的取值范围．
8．（25-26九年级上·浙江金华·期末）已知二次函数的图象经过，两点．求二次函数解析式并试判断点是否在此函数图象上．
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